In this technical note we use insights from the theory of projective geometry to provide novel and non-algebraic proofs of convergence of continuous-time fictitious play for a class of games. As a corollary we obtain a kind of equilibrium selection result, whereby continuous-time fictitious play converges to a particular equilibrium contained in a continuum of equivalent equilibria for symmetric 4x4 zero-sum games.

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The objective of this research was to analyze the development of a didactic sequence elaborated and geared to the teaching of geometry through folding techniques and other play activities, verifying their contributions to the conceptual evolution and motor skills of the students. The research was developed with students of the 3rd year of elementary school of a state school, located in the municipality of Nossa Senhora do Socorro, in Sergipe. It is a qualitative research on the practice itself. Modality defined by João Paulo da Ponte as a research on the practice itself (PPP). In this perspective, the researcher acted as teacher of the group investigated. The analytical focus, taking into account a sociocultural perspective of education, turned mainly to the discursive interactions configured in the classroom everyday, which were analyzed based on theories of Vygotsky and Bakhtin, as well as in some Analytical categories proposed by Mortimer and Scott. The data were obtained and treated with inspiration in the interactional ethnography. Through filming and field notes, the actions of the teacher and students were recorded. Each class of the didactic sequence, recorded in video, was mapped in episodes, which were submitted to the analysis, and the most representative ones were transcribed, and their analysis was deepened. The obtained results indicate that the interactions guided and fomented by the teacher in the classroom, as well as the mediating tools used by them favored the development and learning of the mathematical content explored, contributed to the evolution of the students' motor skills, enabled the dialogue with Art and the formation of the basic concepts of geometry. / Esta pesquisa teve por objetivo analisar o desenvolvimento de uma sequência didática elaborada e voltada para o ensino de geometria, por meio de técnicas de dobraduras e outras atividades lúdicas, verificando as suas contribuições para a evolução conceitual e de habilidades motoras dos alunos. A pesquisa foi desenvolvida com alunos do 3º ano do Ensino Fundamental de uma escola estadual, localizada no município de Nossa Senhora do Socorro, em Sergipe. Trata-se de uma pesquisa qualitativa sobre a própria prática. Modalidade definida por João Paulo da Ponte como pesquisa sobre a própria prática (PPP). Nessa perspectiva, a pesquisadora atuava como professora da turma investigada. O foco analítico, tendo-se em vista uma perspectiva sociocultural de educação, voltou-se, principalmente, para as interações discursivas configuradas no cotidiano da sala de aula, as quais foram analisadas com base nas teorias de Vygotsky e Bakhtin, bem como em algumas categorias analíticas propostas por Mortimer e Scott. Os dados foram obtidos e tratados com inspiração na etnografia interacional. Por meio de filmagens e anotações de campo, as ações da professora e dos alunos foram registradas. Cada aula da sequência didática, registrada em vídeo, foi mapeada em episódios, os quais foram submetidos à análise, sendo que os mais representativos foram transcritos, tendo sua análise aprofundada. Os resultados obtidos indicam que as interações guiadas e fomentadas pela professora em sala de aula, bem como as ferramentas mediadoras por ela utilizadas favoreceram o desenvolvimento e a aprendizagem do conteúdo matemático explorado, contribuíram para a evolução das habilidades motoras dos alunos, possibilitaram o diálogo com Arte e a formação dos conceitos básicos de geometria.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Melanie Lerner Grinkraut.pdf: 4483294 bytes, checksum: 498ebeb44b05124be4090304a7b550a5 (MD5) Previous issue date: 2009-08-13 / This present study looked into the professional development of two Mathematics teachers, as a result of their participation in a research project called AProvaME (Argumentation and Proof in Mathematics Education), carried out by Pontifícia Universidade Católica (PUC) of São Paulo. Besides participating as researchers in the project, these teachers were studying for their Professional Mathematics Education Master s degree and teaching in public high schools. The present research monitored their processes during two years, while they were developing, implementing and evaluating learning situations in Geometry, which searched for the proof construction from the students, by the integration of Cabri-Géomètre software in the activities. According to the AProvaME proposal, during their participation in the project, these teachers were involved in a context, where group practices, as reflection, collaboration and investigation, besides others related to teaching experience, as the reflection on their own practice, were developed. This study aimed to check to what extent the teacher s participation in this project, propitiated a change in their conceptions and practices, influencing their professional development. In order to reach this goal, the theoretical references articulated the theories about professional development, the proof and the use of technological resources in the educational environment. The research s methodology was focused in the qualitative investigation, using the case study, considered as analytic, investigating both teachers as multiple cases . These two teachers passed through different processes in their courses, while participating in the AProvaME, which occurred partly because their own personal characteristics, their experience as students and teachers and what they had lived in the project, leading to different evidences of professional development. To one of them, the participation in a group, where practices as reflection, collaboration and investigation were developed, turned to be catalyst to promote changing in conceptions and practices, reflecting in his professional development. The other one, who was not submitted to these practices in such a strong way, could not break with previous conceptions and practices. In spite of this, the results already suggest that to both teachers the participation in the project lead them to broaden their mathematical knowledge. They also became aware of the possibilities of computers use in the learning activities and the difficulties which involves this integration. In the end of the AProvaME, it was verified the importance given by the teachers to the experienced process, in a way that they started to take into account the students development mathematical skills, the reasoning involved in the proof process, even if many times the students were not able to reach the required mathematical formalization. This study presents indications that the way how researches projects are conducted, included in processes of continuity teacher s education programs, where occur group practices, such as reflection, collaboration and investigation, could establish excellent opportunities of professional development for the teachers that attended the project. However, individual and personal factors can also interfere, because the group does not always benefit to all the people involved. This study tried to reveal ways to rethink formative processes, which can result in professional development / Este trabalho investigou o desenvolvimento profissional de dois professores de Matemática, como decorrência de sua participação em um projeto de pesquisa, o AProvaME (Argumentação e Prova na Matemática Escolar), conduzido pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC). Além de participarem como pesquisadores no projeto, eram alunos do Mestrado Profissional em Ensino de Matemática e lecionavam no Ensino Médio em escolas públicas estaduais. A presente pesquisa acompanhou-os no decorrer de dois anos durante o processo em que elaboraram, aplicaram e analisaram situações de aprendizagem em conteúdos pertencentes à Geometria, que buscavam a construção da prova por parte de seus alunos, por meio da integração do software Cabri-Géomètre nas atividades. De acordo com a proposta do AProvaME, durante a participação neste projeto, eles estiveram inseridos em um contexto, no qual foram desenvolvidas práticas coletivas de reflexão, colaboração e investigação, além de outras relacionadas à experiência docente, como reflexões sobre a própria prática. Este estudo objetivou averiguar em que medida a participação destes professores no projeto promoveu transformações em concepções e práticas, e influenciou o seu desenvolvimento profissional. Para atingir tal objetivo, o referencial teórico articulou as teorias sobre o desenvolvimento profissional, a prova e o uso de recursos da informática em um contexto educacional. A metodologia de pesquisa localizou-se no âmbito da investigação qualitativa, usando o estudo de caso que, pôde ser caracterizado como analítico, considerando-se como casos múltiplos , os dois professores. Estes passaram por processos diferentes no decorrer de seus respectivos percursos inseridos no AProvaME, que ocorreram em parte devido às características pessoais, às experiências discente e docente anteriores e ao que cada um vivenciou no projeto, proporcionando indícios de desenvolvimento profissional diferenciados. Enquanto para um deles, a participação em uma prática de grupo reflexiva, colaborativa e investigativa mostrou-se catalisadora na promoção de mudanças em concepções e práticas, refletindo em seu desenvolvimento profissional, o outro não submetido a estas práticas de forma tão intensa, aliado a fatores pessoais, não conseguiu romper com concepções e práticas anteriores. Apesar disto, os resultados ainda sugerem que para ambos participar do projeto possibilitou a ampliação de seu conhecimento matemático em relação aos temas tratados; a sensibilização quanto às possibilidades de utilização dos computadores em atividades de ensino; e as dificuldades relacionadas com esta integração. Constatou-se ao final do AProvaME, a importância que atribuíram ao processo vivenciado, na medida em que passaram a valorizar as produções dos alunos, o raciocínio desenvolvido na elaboração da prova, ainda que, muitas vezes, estes não conseguissem atingir a formalização matemática esperada. Este estudo apresenta indícios de que a forma como projetos de pesquisa são conduzidos, inseridos em processos de formação continuada, nos quais ocorram práticas de grupo, como as de reflexão, colaboração e investigação, podem consistir em excelentes oportunidades de desenvolvimento profissional para os professores participantes. Contudo, fatores individuais e pessoais também podem interferir, pois nem sempre o grupo consegue beneficiar a todos os envolvidos. Este estudo procurou revelar caminhos para repensar-se processos de formação que possam resultar em desenvolvimento profissional