Thesis (M.S.)--Brigham Young University. Dept. of Mathematics, 2005. / Includes bibliographical references (leaves 112-113).

Universiẗat, Diss., 2004--München.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:08Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2005-09-05Bitstream added on 2014-06-13T20:16:05Z : No. of bitstreams: 1 nascimento_rp_me_sjrp.pdf: 368298 bytes, checksum: d1ffd79129c70e6a0b4236136ff5e58e (MD5) / Neste trabalho é feito um estudo aprofundado da estabilidade de sistemas alternantes, principalmente via teoria de Lie. Inicialmente são apresentados os principais conceitos básicos da álgebra de Lie, necessários para o estudo dos critérios de estabilidade dos sistemas alternantes. Depois são discutidos critérios de estabilidade para sistemas alternantes. É feita a exposição da demonstração de que para todo sistema linear da forma ? x = Apx p = 1, 2,...,N, com as matrizes Ap assintóticamente estáveis e comutativas duas a duas, existe uma função de Lyapunov quadrática comum. Uma condição suficiente para estabilidade assintótica de um sistema linear alternante é apresentada em termos da álgebra de Lie gerada por uma família infinita de matrizes. A saber, se esta álgebra de Lie é solúvel, então o sistema alternante é estável para uma mudança arbitrária de sinal. Em seguida são estudadas condições mais fracas. Supondo que a álgebra de Lie não é solúvel, mas é decomponível na soma de um ideal solúvel e uma subálgebra com grupo de Lie compacto, então o sistema alternante é globalmente exponencialmente uniformemente estável. Entretanto, se o grupo de Lie não for compacto, verifica-se que é possível gerar uma família finita de matrizes estáveis tais que o correspondente sistema linear alternante não é estável. Finalmente, os resultados correspondentes de estabilidade local para sistemas alternantes não lineares são apresentados. / In this work it is undertaken a deep study of stability for switched systems, mainly via Lie algebraic Theory. At first, the basic concepts and results from Lie algebra necessary for the study of stability of switched systems are presented. Criteria for stability are discussed. It is also done an exposition of the proof that all linear systems ? x = Apx, p = 1, 2, ...,N, with stable and pairwisely commutative matrices Ap, have common quadratic Lyapounov functions. A sufficient condition for asymptotic stability of switched linear systems is presented in term of the Lie algebra generated by a family infinite matrices. That is, if this Lie algebra is solvable, then the switched systems are stable for an arbitrary change of sinal. Next weaker conditions are studied. If the Lie algebra is decomposable into two subalgebras in which one is a solvable ideal and the other has a compact Lie group, then the switched systems are globally exponentially uniformly stable. However, if the Lie group is not compact, it is also possible to generate a finite family of stable matrices such that the corresponding switched linear systems are not stable. Finally, corresponding local stability results are presented for nonlinear systems.

In this thesis we propose a description of the operad defining post-Lie algebras in terms of rooted trees and we discuss some applications of such a construction. In particular, we re-derive both the free post-Lie algebra defined in [22] and the main result of the paper [8]. Furthermore, a possible extension of the concept of symmetric brace algebra to the category of the post-Lie algebras is proposed. / Nessa tese propomos a descrição da operad que define as álgebras pós-Lie em termos de árvores enraizadas e discutimos algumas aplicações dessa construção. Em particular, nós obtemos novamente a álgebra pós-Lie livre definida em [22] e o resultado principal do artigo [8]. Além disso, uma possível extensão do conceito de álgebra brace simétrica à categoria de álgebras pós-Lie é apresentada.

Let g be a complex semisimple Lie algebra, Vλ an irreducible g-module with high weight λ, pI a standard parabolic subalgebra of g with Levi factor £I and nil radical nI, and H*(nI, Vλ) the cohomology group of Λn'I ⊗Vλ. We describe the decomposition of H*(nI, Vλ) into irreducible £1-modules.

Orientador: José Francisco Gomes / Banca: Abraham Hirsz Zimerman / Banca: Paulo Teotônio Sobrinho / Resumo: As equações GNLS (generalized nonlinear Schröndinger equations) possuem como caso particular as equações CNLS, que funcionam como modela para a geração de sólitons em fibras ópticas, na ausência de efeitos dissipativos. Nesta dissertação discutimos a construção sistemática desta classe de modelos integráveis, através das álgebras de Lie de dimensão infinita XXXXXXX bem como a construção das soluções de N-sólitons. Em particular, discutimos em detalhe o caso associado à XXXXXX / Abstract: The GNLS equations (generalized nonlinear Schröndinger equations) contain as a particular case the CNLS equations, which can be regarded a model for soliton generation in optical fibers, in the absense of dissipative efects. In this work we discuss a systematic construction for this class of integrable models, by the using of the infinite dimensional Lie algebras XXXXX. We also discuss the construction of N-soliton solutions, in particular the case associated to XXXXX / Mestre

As Álgebras Quânticas foram recentemente introduzidas como uma generalização das álgebras de Lie clássicas e estão sendo intensamente investigadas, tanto de um ponto de vista matemático quanto em aplicações envolvendo problemas de Mecânica Estatística e Física Molecular. As representações dessas álgebras podem ser construídas a partir de técnicas tradicionais e apresentam novidades se o parâmetro de deformação q for uma raiz complexa da unidade, e neste caso pode ocorrer perda de irredutibilidade e conseqüentemente alterações nas dimensões dessas representações. Primeiramente, estudamos as representações no caso clássico, a seguir introduzimos as deformações quânticas nas relações de comutação envolvendo os geradores associados as raízes simples. Posteriormente, estudamos especificamente o caso em que q é uma raiz complexa da unidade, à procura de novas reduções dimensionais que não aparecem no caso clássico. Mais precisamente, nos detemos ao estudo das representações das álgebras deformadas Uq(su(2)) e Uq(sl(3)), determinando suas a dimensões, os vetores de base do espaço portador e as suas matrizes irredutíveis. Por fim, calculamos o operador de Casimir quadrático deformado procurando saber como ficam as regras de ramificação da cadeia Uq(sl(3)) &#8835 Uq(sl(2)). / The Quantum Algebras has been recently introduced as a generalization of classical Lie algebras. The representations of these algebras can be built from the traditional techniques and arise novelty, if the parameter of deformation q is a root of unity, in this case, can occur loss of irreducibility and consequently alteration in the dimension of these representations. First of all, we study the representations in the classic case, after that we introduce the quantum deformation in the commuting relations involving the generators associated with the simple roots. Subsequently we studied specifically the case that q is a root of unity, searching for dimensional reduction that do not appear in the classic algebras. More exactly, we studied the deformed representations of Uq(su(2)) e Uq(sl(3)), determining t heir dimensions, t he base vectors of t he carrier space and their irreducible matrices. Finally, we calculated the deformed quadratic Casimir operator in the chain Uq(sl(3)) &#8835 Uq(sl(2)).

We start with the recollection of basic results about differential manifolds and Lie groups. We also recall some preliminary terminologies in Lie algebra. Then we define the Lie algebra corresponding to a Lie group. In the next section, we define a strongly continuous representation of a Lie group on a Banach space. We further define the smooth, analytic and entire vectors for a given representation. Then, we move on to develop some necessary and sufficient criteria to characterize smooth, analytic and entire vectors. We, in particular, take into account of some specific representations of Lie groups like the regular representation of R, the irreducible representations of Heisenberg groups, the irreducible representations of the group of Affine transformations and finally the representations of non-compact simple Lie groups.

Root systems are a fundamental concept in the theory of Lie algebra. In this thesis, we will use two different kind of graphs to represent the group generated by reflections acting on the elements of the root system. The root systems we are interested in are those of type A2, B2 and G2. After drawing the graphs, we will study the algebraic groups corresponding to those root systems. We will use three different techniques to give a geometric description of the homogeneous spaces G/P where G is the algebraic group corresponding to the root system and P is one of its parabolic subgroup. Finally, we will make a link between the graphs and the multiplication of basis elements in the Chow group CH(G/P).

The realizations of the basic representation of the affine general linear Lie algebra on (r x r) matrices are well-known to be parametrized by partitions of r and have an explicit description in terms of vertex operators on the bosonic/fermionic Fock space. In this thesis, we give a geometric interpretation of these realizations in terms of geometric operators acting on the equivariant cohomology of certain Nakajima quiver varieties.