The repulsive delta-function interaction model in one dimension is reviewed for spinless particles and for spin-1/2 fermions. The problem of solving the differential equation related to the Schrödinger equation is reduced by the Bethe ansatz to a system of algebraic equations. The delta-function interaction is shown to have no effect on spinless fermions which therefore behave like free fermions, in agreement with Pauli's exclusion principle. The ground-state problem of spinless bosons is reduced to an inhomogeneous Fredholm equation of the second kind. In the limit of impenetrable interactions, the spinless bosons are shown to have the energy spectrum of free fermions. The model for spin-1/2 fermions is reduced by the Bethe ansatz to an eigenvalue problem of matrices of the same sizes as the irreducible representations R of the permutation group of N elements. For some R's this eigenvalue problem itself is solved by a generalized Bethe ansatz. The ground-state problem of spin-1/2 fermions is reduced to a generalized Fredholm equation.

Si les systèmes quantiques à une dimension ont longtemps été vus comme de simples modèle-jouets, bon nombre sont à présent réalisés dans les expériences d’atomes ultra-froids. Dans ces expériences, le potentiel de confinement du gaz induit nécessairement une inhomogénéité spatiale. Cette inhomogénéité brise l'invariance par translation qui joue un rôle clé dans les solutions analytiques, notamment celle de l'Ansatz de Bethe. On propose dans cette thèse de développer une théorie des champs effective à même de caractériser ces gaz quantiques inhomogènes, en généralisant la théorie du liquide de Luttinger. Dans ces conditions la métrique de l'action effective est courbe. Sous une hypothèse de séparation des échelles, les paramètres de l'action peuvent néanmoins être fixés par les solutions de l'Ansatz de Bethe. Le problème peut alors se ramener au cas d'un espace plat en faisant appel aux théories conformes. On est ainsi amené à résoudre le champ libre gaussien inhomogène, qui donne accès à toutes les fonctions de corrélations du modèle considéré. Dans cette thèse, on s'intéresse plus particulièrement au modèle de Lieb-Liniger. Les résultats obtenus sont comparés au système simulé par DMRG. / One-dimensional quantum systems have long been seen as simple toy-models but are nowadays often realized in ultracold atoms experiments. In those experiments the confining potential creates a spatial inhomogeneity. This breaks the translation invariance which plays a key role in exact analytical solutions as the Bethe Ansatz. In this thesis, we propose an effective theory generalizing the Luttinger liquid approach for inhomogeneous systems. In this setup, the effective action lives in curved space. However, making the hypothesis of separation of scales allow to compute the action's parameters by using Bethe Ansatz. The problem can then be solved in flat space by using tools from conformal theory. This leads us to solving the inhomogeneous gaussian free field that gives access to all correlation functions of the model under investigation. Here we focus on the Lieb-Liniger model. Our results are tested against DMRG simulations.

Nous présentons dans ce manuscrit des mesures de corrélations spatiales à un et deux corps effectuées sur un gaz de bosons unidimensionnel et ultra-froid piégé à la surface d'une microstructure. Les corrélations à deux corps sont mises en évidence par des mesures de fluctuations de densité in situ ; les corrélations à un corps sont sondées grâce à des mesures de distributions en impulsion. Nous avons observé des fluctuations de densité sub-poissoniennes dans le régime d'interactions faibles, mettant ainsi en évidence pour la première fois le sous-régime du régime de quasi-condensat dans lequel la fonction de corrélation à deux corps est dominée par les fluctuations quantiques. Nous avons également observé des fluctuations sub-poissoniennes quelle que soit la densité dans le régime d'interactions fortes ; notre mesure constitue la première observation d'un unique gaz de bosons unidimensionnel dans ce régime. Le piège magnétique que nous avons utilisé est un piège modulé qui possède la propriété remarquable de découplage entre confinements transverse et longitudinal. Cette spécificité nous a permis de façonner à volonté la forme du confinement longitudinal. En particulier, nous avons pu obtenir des pièges harmoniques et quartiques. Nous avons également utilisé les propriétés de ce piège modulé afin de réaliser une lentille magnétique longitudinale. Cette technique nous a permis de mesurer la distribution en impulsion du gaz, dans le régime d'interactions faibles. Nous présentons deux résultats, obtenus de part et d'autre de la transition molle entre les régimes de gaz de Bose idéal et de quasi-condensat. Sur le plan théorique, nous montrons qu'une théorie de champ classique ne suffit pas à décrire quantitativement cette transition molle pour les paramètres typiques de l'expérience. Nous avons donc recours à des calculs Monte-Carlo quantiques. La température extraite de l'ajustement de nos donnée par ces calculs est en bon accord avec celle obtenue en ajustant les fluctuations de densité in situ avec la thermodynamique de C. N. Yang et C. P. Yang. Enfin, nous démontrons une méthode de compensation de la gravité (piégeage harmonique résiduel) lors de la phase de lentille magnétique, qui nous permet d'améliorer considérablement la résolution en impulsion de cette technique. / In this manuscript, we present spatial one and two-body correlation measurements performed on a one-dimensional gas of ultra-cold bosons trapped at the surface of a microstructure. Two body correlations are highlighted by measurements of in situ density fluctuations and one-body correlations are probed through measurements of momentum distributions.We observed sub-Poissonian density fluctuations in the regime of weak interactions, thus demonstrating for the first time the regime of quasi-condensate in which the two-body correlation function is dominated by quantum fluctuations. We also observed sub-Poissonian fluctuations regardless of the density in the regime of strong interactions. Our measurement is the first observation of a single one-dimensional gas of bosons in this regime.The magnetic trap that we used is a modulated trap that has the remarkable property of decoupling between transverse and longitudinal confinements. This specificity has enabled us to engineer at will the shape of the longitudinal confinement. In particular, we were able to obtain harmonic and quartic traps.