Nous nous intéressons aux cristaux liquides nématiques, qui sont une phase de la matière intermédiaire entre les liquides et les solides cristallins. Ces états sont caractérisés par la présence de défauts ponctuels ou de ligne. Le but de cette thèse est d'apporter une contribution à l'étude mathématique des défauts, dans le cadre de la théorie variationnelle de Landau-de Gennes. Dans le premier chapitre, nous étudions les minimiseurs de l'énergie dans des domaines bornés de dimension deux. Lorsque la constante élastique tend vers zéro, les minimiseurs convergent vers une application localement harmonique, avec un nombre fini de singularités ponctuelles. Au voisinage de celles-ci, les minimiseurs sont biaxes (le molécules sont alignées localement dans plusieurs directions). Le deuxième chapitre est consacré à l'analyse asymptotique des minimiseurs en dimension trois, en supposant l'énergie majorée par le logarithme de la constante élastique. Comme dans le cas bidimensionnel, nous obtenons un résultat de compacité des minimiseurs, mais cette fois l'application limite peut présenter à la fois des singularités ponctuelles et de ligne. Nous donnons aussi des conditions suffisantes pour que l'hypothèse sur l'énergie évoquée précédemment soit satisfaite. Le troisième chapitre porte sur l'existence de minimiseurs à symétrie radiale dans une couronne en dimension trois. Enfin, dans le dernier chapitre nous présentons une obstruction topologique à l'existence de champs de vecteurs unitaires de faible régularité, sur des variétés à bord. Ce résultat constitue une étape préliminaire à l'étude de modèles variationnels pour les films nématiques sur une surface. / Nematic liquid crystals are an intermediate phase of matter, sharing properties with liquids and crystalline solids. They are composed of molecules which can flow freely, but tend to align locally along some preferred directions. Nematic phases exhibit defects, which can occur at isolated points or along lines, and are one of their mean features. This thesis mainly aims at discussing some mathematical results about defects and their generation, in the framework of the Landau-de Gennes theory. In the first chapter, we study minimizers of the energy functional in a bounded, smooth domain in dimension two. We show that, as the elastic constant tends to zero, minimizers converge to a locally harmonic map with a finite number of point singularities. Minimizers are biaxial in the core of defects (that is, more than one preferred direction of molecular alignment exists at a given point). Chapter two deals with the asymptotic analysis of minimizers in dimension three. We assume that the energy is comparable to the logarithm of the elastic constant and prove a compactness result. However, the limiting map is now allowed to have line singularities as well as point singularities. We also provide sufficient conditions for the logarithmic energy estimate to be satisfied. In chapter three, we study the existence of radially symmetric minimizers on spherical shells, in dimension three. Finally, in chapter four, we discuss a topological obstruction to the existence of unit vector fields of low regularity, on a compact manifold with boundary. This result can be understood as a first step in the analysis of some variational models for a surface coated with a thin nematic film.

Thesis (Ph.D.); Submitted to Iowa State Univ., Ames, IA (US); 12 Dec 2003. / Published through the Information Bridge: DOE Scientific and Technical Information. "IS-T 2048" Stavroula Foteinopoulou. 12/12/2003. Report is also available in paper and microfiche from NTIS.

In dieser Arbeit betrachten wir zwei Ansätze zur Untersuchung von Korrelationsfunktionen in eindimensionalen konformen Feldtheorien mit Defekten (dCFT1), insbesondere solche, die durch 1/2-BPS-Wilson-Linien-Defekte in den drei- und vierdimensionalen superkonformen Theorien definiert sind, die für die AdS/CFT-Korrespondenz relevant sind. Zunächst verwenden wir den analytischen konformen Bootstrap, um zwei Beispiele von Defektkorrelatoren auszuwerten. Der Vier-Punkt-Korrelator des Verschiebungs-Supermultipletts, das auf der 1/2-BPS-Wilson-Linie in der ABJM-Theorie eingefügt ist, wird bis zur dritten Ordnung in einer starken Kopplungsexpansion berechnet und reproduziert die expliziten Witten-Diagramm-Berechnungen erster Ordnung. Anschließend wird der Fünf-Punkt-Korrelator von 1/2-BPS-Operatoren, die auf der 1/2-BPS-Wilson-Linie in N=4 Super-Yang-Mills eingefügt sind, untersucht und in einer starken Kopplungsexpansion bis zur ersten Ordnung gebootstrapped. Anschließend werden die CFT1-Daten extrahiert, die bestätigen, dass das Mischen von Operatoren die anomale Dimension erster Ordnung nicht beeinflusst. Der zweite Ansatz betrachtet die allgemeine Struktur von Korrelatoren in effektiven Theorien in AdS2. Es werden alle skalaren n-Punkt-Kontakt-Witten-Diagramme für externe Operatoren mit ganzzahligem konformem Gewicht berechnet. Effektive Theorien in AdS2, die durch eine Wechselwirkungslagrange mit einer beliebigen Anzahl von Ableitungen definiert sind, werden dann betrachtet und mit Hilfe eines neuen Formalismus der Mellin-Amplituden für 1d-CFTs bis zur ersten Ordnung gelöst. Schließlich wird die diskretisierte Wirkung der Cusped-Wilson-Linie als alternative Möglichkeit zur Gewinnung nicht-perturbativer Daten vorgestellt: durch die Gitterfeldtheorie. / In this thesis, we consider two approaches to the study of correlation functions in one-dimensional defect Conformal Field Theories (dCFT1), in particular those defined by 1/2-BPS Wilson line defects in the three- and four-dimensional superconformal theories relevant in the AdS/CFT correspondence. In the first approach, we use the analytic conformal bootstrap to evaluate two examples of defect correlators. The four-point correlator of the displacement supermultiplet inserted on the 1/2-BPS Wilson line in ABJM theory is computed to the third order in a strong-coupling expansion and reproduces the explicit first-order Witten diagram calculations. The CFT1 data are then extracted from this correlator, and the operator mixing is solved at first order. Consequently, all-order results are derived for the part of the correlator with the highest logarithm power, uniquely determining the double-scaling limit. Then, the five-point correlator of 1/2-BPS operators inserted on the 1/2-BPS Wilson line in =4 super Yang-Mills are studied. The superblocks are derived for all channels of the OPE, and the five-point correlator is bootstrapped to first order in a strong coupling expansion. The CFT1 data are then extracted, confirming that operator mixing does not affect the first-order anomalous dimension. The second approach considers the general structure of correlators in effective theories in AdS2. All scalar n-point contact Witten diagrams for external operators of integer conformal weight are computed. Effective theories in AdS2 defined by an interaction Lagrangian with an arbitrary number of derivatives are then considered and solved to first order using a new formalism of Mellin amplitudes for 1d CFTs. Finally, the cusped Wilson line discretised action is presented as an alternative way to obtain non-perturbative data: through Lattice Field Theory.