Este trabalho tem como objetivo principal contribuir para o aperfeiçoamento do professor de matemática seja ele em formação ou em atuação. Buscamos oferecer um material que possa servir de referência técnica, histórica e epistemológica para o estudo do Logaritmo Natural. Discutimos aqui o conceito de Conhecimento Especializado do Conteúdo, cunhado por pesquisadores da Universidade de Michigan e liderados por Deborah Ball. Em seu artigo Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? (2008), eles levantam a questão \"Qual matemática o professor deve conhecer para dar cabo do trabalho de ensinar?\", dado que o conhecimento matemático necessário para o docente difere do conhecimento matemático requerido em outras profissões. Fazemos aqui uma análise crítica da abordagem utilizada para o tema em alguns livros didáticos de Ensino Médio, descrevemos de modo detalhado a construção da Função Logarítmica como realmente ocorreu no século XVII, ou seja, por meio de áreas de regiões sob a curva xy = 1, e definimos a função exponencial como a inversa dela, enfoque esse com caráter fortemente geométrico e que deu origem à noção de integral definida. Mostramos também a estreita relação existente entre as Progressões Aritméticas, Geométricas, Trigonometria e o próprio tema principal. Obtemos ainda a formalização do número irracional e tanto pelo método tradicional usado em livros de Cálculo e Análise como a decorrente da teoria apresentada. Por fim, apresentamos algumas situações curiosas que envolvem direta ou indiretamente essa constante e que podem ser trabalhadas com alunos da Educação Básica. / The main objective of this work is to contribute to the improvement of the mathematics teacher, whether in training or acting. We seek to offer a material that can serve as a technical, historical and epistemological reference for the study of the Natural Logarithm. We discuss here the concept of Specialized Content Knowledge, coined by University of Michigan researchers and led by Deborah Ball. In your article Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? (2008), they raise the question \"What mathematics does the teacher need to know for teaching?\", since the mathematical knowledge required for the teacher differs from the mathematical knowledge required in other professions. Here we present a critical analysis of the approach used for the subject in some high school textbooks. We describe in detail the construction of the Logarithmic Function as actually occurred in the seventeenth century, that is, through areas of regions under the curve xy = 1, and we define the exponential function as the inverse of it, a focus with a strongly geometric character that gave rise to the notion of definite integral. We also show the close relationship between Arithmetic, Geometric, Trigonometry and the main theme itself. We also obtain the formalization of the irrational number e, both by the traditional method used in Calculus and Analysis books and by the theory presented. Finally, we present some curious situations that directly or indirectly involve this constant and that can be worked with Basic Education students.

Submitted by bruna ortiz (brunaortiz.f@gmail.com) on 2016-07-18T13:54:46Z No. of bitstreams: 1 Dissertação-João Cruz Neto.pdf: 2926026 bytes, checksum: 80af843dade67c0e4a42dffdc933b945 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-07-27T13:25:52Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação-João Cruz Neto.pdf: 2926026 bytes, checksum: 80af843dade67c0e4a42dffdc933b945 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2016-07-27T13:28:25Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação-João Cruz Neto.pdf: 2926026 bytes, checksum: 80af843dade67c0e4a42dffdc933b945 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-07-27T13:28:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação-João Cruz Neto.pdf: 2926026 bytes, checksum: 80af843dade67c0e4a42dffdc933b945 (MD5) Previous issue date: 2015-08-12 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Many math topics are apresented in basic education without a meaningful context, both in textbooks and in the classroom, this is, for exemple, with the natural logarithm function and the exponential function. This work will make a geometric approach these issues by establishing an inter-relationship between the area of a track x y 􀀀 1 = 0 hyperbole with the natural logarithm, introducing some basic aspects of the theory necessary to understand. The required prerequisites are the solid knowledge of the basic functions defined in the field of real numbers. Present a conceptual approach limits functions, sequences and numerical series, hyperbole and the study on the area of a track x y 􀀀 1 = 0 hyperbole, from this area define the natural logarithm and their properties, the natural logarithm function and its inverse, the exponential function. Is inevitable, considering our proposal for this work, that some results are presented, accepted and used in demonstration. / Muitos temas da Matemática são apresentados no ensino básico sem um contexto significativo, tanto nos livros didáticos quanto em sala de aula, isso ocorre, por exemplo, com a função logaritmo natural e a função exponencial. Neste trabalho faremos uma abordagem geométrica desses temas estabelecendo uma inter-relação entre a área de uma faixa da hipérbole x y􀀀1 = 0 com o logaritmo natural, introduzindo alguns aspectos básicos da teoria necessária a sua compreensão. Os prerrequisitos exigidos são os conhecimentos sólidos das funções elementares definidas no campo dos números reais. Apresentamos uma abordagem conceitual sobre limites de funções, sequências e séries numéricas, a hipérbole e o estudo sobre a área de uma faixa da hipérbole x y 􀀀 1 = 0; para a partir desta área definirmos o logaritmo natural e suas propriedades, a função logaritmo natural e sua inversa, a função exponencial. É inevitável, levando em conta a nossa proposta para esse trabalho, que alguns resultados sejam apresentados, admitidos e usados sem demonstração.

Este trabalho tem como objetivo principal contribuir para o aperfeiçoamento do professor de matemática seja ele em formação ou em atuação. Buscamos oferecer um material que possa servir de referência técnica, histórica e epistemológica para o estudo do Logaritmo Natural. Discutimos aqui o conceito de Conhecimento Especializado do Conteúdo, cunhado por pesquisadores da Universidade de Michigan e liderados por Deborah Ball. Em seu artigo Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? (2008), eles levantam a questão \"Qual matemática o professor deve conhecer para dar cabo do trabalho de ensinar?\", dado que o conhecimento matemático necessário para o docente difere do conhecimento matemático requerido em outras profissões. Fazemos aqui uma análise crítica da abordagem utilizada para o tema em alguns livros didáticos de Ensino Médio, descrevemos de modo detalhado a construção da Função Logarítmica como realmente ocorreu no século XVII, ou seja, por meio de áreas de regiões sob a curva xy = 1, e definimos a função exponencial como a inversa dela, enfoque esse com caráter fortemente geométrico e que deu origem à noção de integral definida. Mostramos também a estreita relação existente entre as Progressões Aritméticas, Geométricas, Trigonometria e o próprio tema principal. Obtemos ainda a formalização do número irracional e tanto pelo método tradicional usado em livros de Cálculo e Análise como a decorrente da teoria apresentada. Por fim, apresentamos algumas situações curiosas que envolvem direta ou indiretamente essa constante e que podem ser trabalhadas com alunos da Educação Básica. / The main objective of this work is to contribute to the improvement of the mathematics teacher, whether in training or acting. We seek to offer a material that can serve as a technical, historical and epistemological reference for the study of the Natural Logarithm. We discuss here the concept of Specialized Content Knowledge, coined by University of Michigan researchers and led by Deborah Ball. In your article Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? (2008), they raise the question \"What mathematics does the teacher need to know for teaching?\", since the mathematical knowledge required for the teacher differs from the mathematical knowledge required in other professions. Here we present a critical analysis of the approach used for the subject in some high school textbooks. We describe in detail the construction of the Logarithmic Function as actually occurred in the seventeenth century, that is, through areas of regions under the curve xy = 1, and we define the exponential function as the inverse of it, a focus with a strongly geometric character that gave rise to the notion of definite integral. We also show the close relationship between Arithmetic, Geometric, Trigonometry and the main theme itself. We also obtain the formalization of the irrational number e, both by the traditional method used in Calculus and Analysis books and by the theory presented. Finally, we present some curious situations that directly or indirectly involve this constant and that can be worked with Basic Education students.

Submitted by ANA KARLA PEREIRA RODRIGUES (anakarla_@hotmail.com) on 2017-09-04T15:09:18Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1305751 bytes, checksum: e328135f0399052c0b94303d6ed26e2d (MD5) / Approved for entry into archive by Viviane Lima da Cunha (viviane@biblioteca.ufpb.br) on 2017-09-04T15:54:43Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1305751 bytes, checksum: e328135f0399052c0b94303d6ed26e2d (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-04T15:54:43Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1305751 bytes, checksum: e328135f0399052c0b94303d6ed26e2d (MD5) Previous issue date: 2017-01-19 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The Euler's Number, denoted by e and corresponding to the base of the Natural Logarithms, despite being one of the most important constants in Mathematics, both by the variety of its mathematical implications and by the number of its practical applications, remains unknown to many people. It is common to nd Engineering or even Exact Sciences students who only became aware of the existence of e after taking a Calculus Course. It is also not di cult to nd students who, even after such contact, seem to never realize the importance of this number. The e is a versatile constant. Although, in general, it appears related to results involving Di erential and Integral Calculus, it is present in several problems of di erent Mathematics areas. We can nd it, besides Analysis and Function Theory, in Financial Mathematics, Combinatorial Analysis, Probability, Trigonometry, Geometry, Statistics, Number Theory. In this work, we make a brief historical analysis about the discovery of the Euler's Number, we present its de nition, as well as alternative ways of characterizing it through in nite sums and products. We also address two interesting problems in which it is present: the counting of the number of partitions of a nite non-empty set and obtaining an approximation for the factorial of a natural number, in which we nd the Stirling's Approximation. / O Número de Euler, denotado por e e correspondente à base dos Logaritmos Naturais, apesar de ser uma das constantes mais importantes da Matemática, tanto pela variedade de suas implicações matemáticas quanto pela quantidade de suas aplicações práticas, permanece desconhecido por muitos. É comum encontrarmos estudantes de Engenharia, ou até mesmo das Ciências Exatas, que só tomaram conhecimento da existência do e após um curso de Cálculo. Também não é difícil nos depararmos com alunos que, mesmo após tal contato, parecem nunca terem percebido a importância desse número. O e é uma constante versátil. Apesar de, em geral, aparecer relacionado a resultados envolvendo o Cálculo Diferencial e Integral, ele se faz presente em diversos problemas de diferentes áreas da Matemática. Podemos encontrá-lo, além da Análise e Teoria de Funções, na Matemática Financeira, na Análise Combinatória, na Probabilidade, na Trigonometria, na Geometria, na Estatística, na Teoria dos Números. Neste trabalho, realizamos uma breve análise histórica sobre o descobrimento do Número de Euler, exibimos sua de nição, além de formas alternativas de caracterizá-lo através de somas e produtos in nitos, e abordamos dois interessantes problemas nos quais ele se faz presente: o da contagem do número de partições de um conjunto não vazio nito e o da obtenção de uma aproximação para o fatorial de um número natural, no qual nos deparamos com a Fórmula de Stirling.