Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons à ”l’exposant de Lyapu-nov” pour deux modèles en milieu aléatoire : la marche aléatoire en potentiel aléatoire, le mouvement brownien en potentiel poissonnien.Dans la première partie de la thèse (chapitre II), on étudie une marche aléatoire dans un potentiel aléatoire donné par une famille de variables aléa¬toires i.i.d. non-négatives. La continuité des exposants de Lyapunov par rap¬port à la loi du potentiel est démontrée dans le cas transient, c’est-à-dire en dimension d ≥ 3 ou en dimension 2 pour un potentiel borné inférieurement. On poursuit avec l’étude des exposants critiques : l’exposant de volume ξ et l’exposant de fluctuation X. On obtient l’une des inégalités suggérée par la conjecture de KPZ sous une condition de courbure de la forme asymptotique. Les exposants de Lyapunov jouent un rôle important dans cette étude.La deuxième partie de la thèse (chapitre III) est surtout consacrée à l’étude du brownien dans un potentiel aléatoire de longue portée. On débute cependant par un potentiel classique à portée finie. Sznitman (1987-1998) a étudié plusieurs aspects de ce modèle. Un premier résultat de cette partie est la continuité des exposants de Lyapunov par rapport au paramètre du pro¬cessus de Poisson. On étudie ensuite le modèle proposé par Lacoin (2012) qui est un modèle avec un potentiel à longue portée. Il a obtenu des estimations des exposants critiques sensiblement différentes de celles de Wüthrich (1998) pour le modèle de Sznitman. Dans cette thèse, on poursuit l’étude du modèle de Lacoin. On montre l’existence des exposants de Lyapunov, le théorème de la forme limite et une estimation de grandes déviations. / In this thesis, we are interested in Lyapunov exponent for two models in random media : random walk in random potential, Brownian motion in Poisson potential.In the first part (chapter II), we study a random walk in a random potential given by a family of i.i.d random non-negative variables. The continuity of Lyapunov exponents with respect to the law of potential is shown in the case transient, that is, in the dimension d ≥ 3 or in the dimension d = 2 for a lower bounded potential. Next, we consider the critical exponents : the exponent of volume ξ and the exponent of fluctuation X. We give an inequality suggested by the KPZ conjecture under a condition of asymptotic form. Lyapunov exponents play an important role in this work.The second part (chapter III) is mainly devoted to the study Brownian motion in a long-range random potential. However, we begin with a classical finite-range potential. Sznitman (1987-1998) investigated several aspects of this model. The first result of this part is the continuity of the Lyapunov exponents with respect to the parameter of the Poisson process. Then, we study the model proposed by Lacoin (2012) which is a long-range potential model. He obtained some estimations of critical exponents that are significantly different from those of Wüthrich (1998) for the model of Sznitman.In this thesis, we pursue the study of Lacoin model. We show the existence of Lyapunov exponents, the shape limit theorem and an estimation of large deviations

Die Charakterisierung hochdimensionaler Systeme mit Lyapunov-Instabilität wird durch das Lyapunov-Spektrum und die zugehörigen Lyapunov-Vektoren ermöglicht. Für eine Vielzahl von derartigen Systemen (Coupled-Map-Lattices, Hartkugel-Systeme, Systeme mit ausgedehnten Potentialen ...) konnte durch die Untersuchung der Lyapunov-Vektoren die Existenz von hydrodynamischen Lyapunov-Moden nachgewiesen werden. Diese kollektiven Anregungen zeigen sich in Lyapunov-Vektoren, deren Lyapunov-Exponenten dem Betrage nach am kleinsten sind. Da Lyapunov-Exponenten charakteristische Zeitskalen innerhalb der Systeme repräsentieren, ist durch die Lyapunov-Moden eine Untersuchung des Langzeitverhaltens möglich. In dieser Arbeit werden die hydrodynamischen Lyapunov-Moden durch Molekulardynamiksimulationen von mehrkomponentigen Lennard-Jones-Flüssigkeiten untersucht. Die Charakterisierung der Lyapunov-Moden zeigt im weiteren eine Ähnlichkeit zu Dispersionsrelationen von Phononen.

La dynamique des systèmes hyperboliques est considérée bien comprise du point de vue topologique aussi bien que du point de vue stochastique. S. Smale et R. Abraham ont donné un exemple montrant que, en général, les systèmes hyperboliques ne sont pas denses parmi tous les systèmes diffélrentiables. Dans les années 1970, M. Brin et Y. Pesin ont proposé une nouvelle notion: hyperbolicité partielle pour affaiblir la notion d’hyperbolicité. Un but de cette thèse est de comprendre la dynamique de certains systèmes partiellement hyperboliques du point de vue stochastique aussi bien que du point de vue topologique. Du point de vue stochastique, nous démontrons les résultats suivants: — Il existe un sous-ensemble U ouvert et dense de difféomorphismes non hyperboliques robustement transitifs loin de tangences homocliniques, tels que pour tout f ∈ U, il existe des mesures ergodiques non hyperboliques qui sont limite faible des mesures périodiques, avec un seul exposant de Lyapunov nul, et dont les supports sont la variété entière; — Il existe un sous-ensemble ouvert et dense de l’ensemble des difféomorphismes partiellement hyperboliques (mais non hyperboliques) de dimension centrale un dont les feuilletages forts sont robustement minimaux, de sorte que la fermeture de l’ensemble des mesures ergodiques est l’union de deux convexes qui sont la fermeture des ensembles de mesures ergodiques hyperboliques de deux s-indices différents respectivement; ces deux ensembles convexes se coupent le long de la fermeture de l’ensemble des mesures ergodiques non hyperboliques. Par conséquent, toute mesure ergodique non hyperbolique est approchée par des mesures périodiques. C’est le cas pour une perturbation robustement transitive du temps un d’un flot d’Anosov transitif, ou du produit fibré d’un difféomorphisme d’Anosov sur le tore par une rotation du cercle. Ces résultats sont basés sur des résultats locaux dont les démonstrations impliquent beaucoup de définitions techniques. Du point de vue topologique, pour tout flot d’Anosov non transitif sur des variétés de dimension 3 orientables, nous construisons de nouveaux difféomorphismes partiellement hyperboliques en composant le temps t des flots d’Anosov (pour t > 0 large) avec des twists de Dehn le long des tores transversaux. Ces nouveaux difféomorphismes partiellement hyperboliques sont robustement dynamiquement cohérents. Cela généralise dans un cas général le processus spécial dans [BPP] pour construire de nouveaux difféomorphismes partiellement hyperboliques. De plus, nous démontrons que pour les nouveaux difféomorphismes partiellement hyperboliques que nous avons construits, leurs feuilletages centraux sont topologiquement équivalentes aux flots d’Anosov utilisés pour les construire. En conséquence, la structure des feuilles centrales des nouveaux difféomorphismes partiellement hyperboliques est la même que la structure des orbites d’un flot d’Anosov. La présence de mesures ergodiques non hyperboliques montre la non hyperbolicité des systémes. Dans cette thése, nous cherchons également à comprendre: dans quelle mesure la présence de mesures ergodiques non hyperboliques peut-elle caractériser le degré de non-hyperbolicité des systèmes? Nous démontrons que, pour les difféomorphismes génériques, si une classe homoclinique contient des orbites périodiques d’indices différents et sans certaines dominations, il existe une mesure ergodique non hyperbolique avec plus d’un exposant de Lyapunov qui s’annule et dont le support est la classe homoclinique entière. Le nombre d’exposants de Lyapunov nuls montre combien d’hyperbolicité a été perdue dans un tel type de systèmes. / The dynamics of hyperbolic systems is considered well understood from topological point of view as well as from stochastic point of view. S. Smale and R. Abraham gave an example showing that, in general, the hyperbolic systems are not dense among all differentiable systems. In 1970s, M. Brin and Y. Pesin proposed a new notion: partial hyperbolicity to release the notion of hyperbolicity. One aim of this thesis is to understand the dynamics of certain partially hyperbolic systems from stochastic point of view as well as from topological point of view. From stochastic point of view, we prove the following results: — There exists an open and dense subset U of robustly transitive nonhyperbolic diffeomorphisms far from homoclinic tangency, such that forany f ∈ U, there exist non-hyperbolic ergodic measures as the weak*- limit of periodic measures, with only one vanishing Lyapunov exponent, and whose supports are the whole manifold; — There exists an open and dense subset of partially hyperbolic (but nonhyperbolic) diffeomorphisms with center dimension one whose strong foliations are robustly minimal, such that the closure of the set of ergodic measures is the union of two convex sets which are the closure of the sets of hyperbolic ergodic measures of two different s-indices respectively; these two convex sets intersect along the closure of the set of nonhyperbolic ergodic measures. As a consequence, every non-hyperbolic ergodic measure is approximated by periodic measures. That is the case for robustly transitive perturbation of the time one map of a transitive Anosov flow, or of the skew product of an Anosov torus diffeomorphism by a rotation of the circle. These results are based on some local results whose statements involve in lots of technical definitions. From topological point of view, for any non-transitive Anosov flow on orientable 3-manifolds, we build new partially hyperbolic diffeomorphisms by composing the time t-map of the Anosov flow (for t > 0 large) with Dehn twists along transverse tori. These new partially hyperbolic diffeomorphisms are robustly dynamically coherent. This generalizes the special process in [BPP] for constructing new partially hyperbolic diffeomorphisms to a general case. Furthermore, we prove that for the new partially hyperbolic diffeomorphisms we built, their center foliations are topologically equivalent to the Anosov flows used for building them. As a consequence, one has that the structure of the center leaves of the new partially hyperbolic diffeomorphisms is the same asthe structure of the orbits of an Anosov flow. The presence of non-hyperbolic ergodic measures shows the non-hyperbolicity of the systems. In this thesis, we also attempt to understand: to what extent, can the presence of non-hyperbolic ergodic measures character how far from hyperbolicity the systems are? We prove that, for generic diffeomorphisms, if a homoclinic class contains periodic orbits of different indices and without certain dominations, then there exists a non-hyperbolic ergodic measure with more than one vanishing Lyapunov exponents and whose support is the whole homoclinic class. The number of vanishing Lyapunov exponents shows how much hyperbolicity has been lost in such kind of systems.

This thesis focuses on possibility of chaotic (specially economic) time-series prediction. Chaotic time-series are unpredictable in long-term due to their high sensitivity on initial conditions. Nevertheless, their behavior should be more or less predictable in short-term. Goal of this thesis is to show, how much and if any prediction, is possible by non-linear prediction method, and try to reveal or to reject presence of chaotic behavior in them. Work is split into three chapters. Chapter One briefly introduces chosen important concepts and methods from this area. In addition, to describe some prediction methods, there are outlined which indicators and methods are possible to use in order to find possibilities and boundaries of this prediction. Chapter Two is focused on modifications of FracLab software, which is used for create this prediction. Last chapter is experimental. Besides the description of examined time-series and methods, it includes discussion of results.

This thesis deals with a complex analysis and prediction of foreign exchange markets. It uses advanced artificial intelligence methods, namely neural networks and chaos theory. It introduces unconventional approaches and methods of each of these areas, compares them and uses on a real problem. The core of this thesis is a comparison of several prediction models based on completely different principles and underlying theories. The outcome is then a selection of the most appropriate prediction model called NAR + H. The model is evaluated according to several criteria, the pros and cons are discussed and approximate expected profitability and risk are calculated. All analytical, prediction and partial algorithms are implemented in Matlab development environment and form a unified library of all used functions and scripts. It also may be considered as a secondary main outcome of the thesis.

[ES] La naturaleza aleatoria que caracteriza algunos fenómenos en sistemas físicos reales (e.g., ingeniería, biología, economía, finanzas, epidemiología y otros) nos ha planteado el desafío de un cambio de paradigma del modelado matemático y el análisis de sistemas dinámicos, y a tratar los fenómenos aleatorios como variables aleatorias o procesos estocásticos. Este enfoque novedoso ha traído como consecuencia nuevas especificidades que la teoría clásica del modelado y análisis de sistemas dinámicos deterministas no ha podido cubrir. Afortunadamente, maravillosas contribuciones, realizadas sobre todo en el último siglo, desde el campo de las matemáticas por científicos como Kolmogorov, Langevin, Lévy, Itô, Stratonovich, sólo por nombrar algunos; han abierto las puertas para un estudio bien fundamentado de la dinámica de sistemas físicos perturbados por ruido. En la presente tesis se discute el uso de ecuaciones diferenciales algebraicas estocásticas (EDAEs) para el modelado de sistemas multifísicos en red afectados por perturbaciones estocásticas, así como la evaluación de su estabilidad asintótica a través de exponentes de Lyapunov (ELs). El estudio está enfocado en EDAEs d-index-1 y su reformulación como ecuaciones diferenciales estocásticas ordinarias (EDEs). Fundamentados en la teoría ergódica, es factible analizar los ELs a través de sistemas dinámicos aleatorios (SDAs) generados por EDEs subyacentes. Una vez garantizada la existencia de ELs bien definidas, hemos procedido al uso de técnicas de simulación numérica para determinar los ELs numéricamente. Hemos implementado métodos numéricos basados en descomposición QR discreta y continua para el cómputo de la matriz de solución fundamental y su uso en el cálculo de los ELs. Las características numéricas y computacionales más relevantes de ambos métodos se ilustran mediante pruebas numéricas. Toda esta investigación sobre el modelado de sistemas con EDAEs y evaluación de su estabilidad a través de ELs calculados numéricamente, tiene una interesante aplicación en ingeniería. Esta es la evaluación de la estabilidad dinámica de sistemas eléctricos de potencia. En el presente trabajo de investigación, implementamos nuestros métodos numéricos basados en descomposición QR para el test de estabilidad dinámica en dos modelos de sistemas eléctricos de potencia de una-máquina bus-infinito (OMBI) afectados por diferentes perturbaciones ruidosas. El análisis en pequeña-señal evidencia el potencial de las técnicas propuestas en aplicaciones de ingeniería. / [CA] La naturalesa aleatòria que caracteritza alguns fenòmens en sistemes físics reals (e.g., enginyeria, biologia, economia, finances, epidemiologia i uns altres) ens ha plantejat el desafiament d'un canvi de paradigma del modelatge matemàtic i l'anàlisi de sistemes dinàmics, i a tractar els fenòmens aleatoris com a variables aleatòries o processos estocàstics. Aquest enfocament nou ha portat com a conseqüència noves especificitats que la teoria clàssica del modelatge i anàlisi de sistemes dinàmics deterministes no ha pogut cobrir. Afortunadament, meravelloses contribucions, realitzades sobretot en l'últim segle, des del camp de les matemàtiques per científics com Kolmogorov, Langevin, Lévy, Itô, Stratonovich, només per nomenar alguns; han obert les portes per a un estudi ben fonamentat de la dinàmica de sistemes físics pertorbats per soroll. En la present tesi es discuteix l'ús d'equacions diferencials algebraiques estocàstiques (EDAEs) per al modelatge de sistemes multifísicos en xarxa afectats per pertorbacions estocàstiques, així com l'avaluació de la seua estabilitat asimptòtica a través d'exponents de Lyapunov (ELs). L'estudi està enfocat en EDAEs d-index-1 i la seua reformulació com a equacions diferencials estocàstiques ordinàries (EDEs). Fonamentats en la teoria ergòdica, és factible analitzar els ELs a través de sistemes dinàmics aleatoris (SDAs) generats per EDEs subjacents. Una vegada garantida l'existència d'ELs ben definides, hem procedit a l'ús de tècniques de simulació numèrica per a determinar els ELs numèricament. Hem implementat mètodes numèrics basats en descomposició QR discreta i contínua per al còmput de la matriu de solució fonamental i el seu ús en el càlcul dels ELs. Les característiques numèriques i computacionals més rellevants de tots dos mètodes s'illustren mitjançant proves numèriques. Tota aquesta investigació sobre el modelatge de sistemes amb EDAEs i avaluació de la seua estabilitat a través d'ELs calculats numèricament, té una interessant aplicació en enginyeria. Aquesta és l'avaluació de l'estabilitat dinàmica de sistemes elèctrics de potència. En el present treball de recerca, implementem els nostres mètodes numèrics basats en descomposició QR per al test d'estabilitat dinàmica en dos models de sistemes elèctrics de potència d'una-màquina bus-infinit (OMBI) afectats per diferents pertorbacions sorolloses. L'anàlisi en xicotet-senyal evidencia el potencial de les tècniques proposades en aplicacions d'enginyeria. / [EN] The random nature that characterizes some phenomena in the real-world physical systems (e.g., engineering, biology, economics, finance, epidemiology, and others) has posed the challenge of changing the modeling and analysis paradigm and treat these phenomena as random variables or stochastic processes. Consequently, this novel approach has brought new specificities that the classical theory of modeling and analysis for deterministic dynamical systems cannot cover. Fortunately, stunning contributions made overall in the last century from the mathematics field by scientists such as Kolmogorov, Langevin, Lévy, Itô, Stratonovich, to name a few; have opened avenues for a well-founded study of the dynamics in physical systems perturbed by noise. In the present thesis, we discuss stochastic differential-algebraic equations (SDAEs) for modeling multi-physical network systems under stochastic disturbances, and their asymptotic stability assessment via Lyapunov exponents (LEs). We focus on d-index-1 SDAEs and their reformulation as ordinary stochastic differential equations (SDEs). Supported by the ergodic theory, it is feasible to analyze the LEs via the random dynamical system (RDSs) generated by the underlying SDEs. Once the existence of well-defined LEs is guaranteed, we proceed to the use of numerical simulation techniques to determine the LEs numerically. Discrete and continuous QR decomposition-based numerical methods are implemented to compute the fundamental solution matrix and use it in the computation of the LEs. Important numerical and computational features of both methods are illustrated through numerical tests. All this investigation concerning systems modeling through SDAEs and their stability assessment via computed LEs finds an appealing engineering application in the dynamic stability assessment of power systems. In this research work, we implement our QR-based numerical methods for testing the dynamic stability in two types of single-machine infinite-bus (SMIB) power system models perturbed by different noisy disturbances. The analysis in small-signal evidences the potential of the proposed techniques in engineering applications. / Mi agradecimiento al estado ecuatoriano que, a través del Programa de Becas para el Fortalecimiento y Desarrollo del Talento Humano en Ciencia y Tecnología 2012 de la Secretaría Nacional de Educación Superior, Ciencia y Tecnología (SENESCYT), han financiado mis estudios de doctorado. / González Zumba, JA. (2020). Dynamic Modeling and Stability Analysis of Stochastic Multi-Physical Systems Applied to Electric Power Systems [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/158558 / TESIS

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We study two topics on surface diffeomorphisms, their mapping classes and dynamics. For the mapping classes of a punctured disc, we study the $\ZxZ$ subgroups of the fundamental groups of the corresponding mapping tori. An application is the proof of the fact that a satellite knot with braid pattern is prime. For the mapping classes of the disc minus a Cantor set, we study a special type of reducible mapping class. This has direct application on the embeddings of solenoids in $\mathbb{S}^3$. We also give some examples of other types of mapping classes of the disc minus a Cantor set. For the dynamics of surface diffeomorphisms, we prove three formulas for computing the topological pressure of a $C^1$-generic conservative diffeomorphism with no dominated splitting and show the continuity of topological pressure with respect to these diffeomorphisms. We prove for these generic diffeomorphisms that there is no equilibrium states with positive measure theoretic entropy. In particular, for hyperbolic potentials, there are no equilibrium states. For $C^1$ generic conservative diffeomorphisms on compact surfaces with no dominated splitting and $\phi_m(x):=-\frac{1}{m}\log \Vert D_x f^m\Vert, m \in \mathbb{N}$, we show that there exist equilibrium states with zero entropy and there exists a transition point $t_0$ for the one parameter family $\lbrace t \phi_m\rbrace_{t\geq 0}$, such that there is no equilibrium states for $ t \in [0, t_0)$ and there is an equilibrium state for $t \in [t_0,+\infty)$.

Au cours des deux dernières décennies, les signaux chaotiques ont été de plusen plus pris en compte dans les télécommunications, traitement du signal ou transmissionssécurisées. De nombreux articles ont été publiés qui étudient la densitéspectrale de puissance (DSP) des signaux générés par des transformations spécifiques.La concentration sur la DSP est due à l’importance de la fréquence dans lestélécommunications et la transmission sécurisée. Grâce au grand nombre de systèmessans fil, la disponibilité des fréquences de transmission et de réception est de plus enplus rare pour les communications sans fil. Aussi, les médias guidés ont des limitationsliées à la bande passante du signal. Dans cette thèse, nous étudions certainespropriétés associées à la bifurcation collision de frontière pour une transformationunidimensionnelle linéaire par morceaux avec trois pentes et deux paramètres. Nouscalculons les expressions analytiques de l’autocorrélation et de la densité spectralede puissance des signaux chaotiques générés par les transformations linéaires parmorceaux. Nous montrons l’existence d’une forte relation entre les différents typesde densité spectrale de puissance (passe-bas, passe-haut ou coupe-bande) et les paramètresde bifurcation. Nous notons également en évidence une relation entre le typede spectre et l’ordre des cycles attractifs. Le type du spectre dépend de l’existencedes orbites périodiques au-delà de la bifurcation de collision de frontière qui a donnénaissance au chaos. Nous utilisons ensuite les transformations chaotiques pour étudierla fonction d’ambiguïté. Nous combinons quelques transformations chaotiquesbien déterminées pour obtenir un spectre large bande avec une bonne fonction d’ambiguïtéqui peut être utilisée en système radar / During the two last decades, chaotic signals have been increasingly consideredin telecommunications, signal processing or secure transmissions. Many papers haveappeared which study the power spectral density (PSD) of signals issued from somespecific maps. This interest in the PSD is due to the importance of frequency in thetelecommunications and transmission security. With the large number of wirelesssystems, the availability of frequencies for transmission and reception is increasinglyuncommon for wireless communications. Also, guided media have limitations relatedto the bandwidth of a signal. In this thesis, we investigate some properties associatedto the border-collision bifurcations in a one-dimensional piecewise-linear map withthree slopes and two parameters. We derive analytical expressions for the autocorrelationsequence, power spectral density of chaotic signals generated by our piecewiselinearmap. We prove the existence of strong relation between different types of thepower spectral density (low-pass, high-pass or band-stop) and the parameters. Wealso find a relation between the type of spectrum and the order of attractive cycleswhich are located after the border collision bifurcation between chaos and cycles.We use the chaotic transformations to study the ambiguity function. We combinesome chaotic transformations well determined to obtain a broadband spectrum witha good ambiguity function that can be used in radar systems

Die Charakterisierung hochdimensionaler Systeme mit Lyapunov-Instabilität wird durch das Lyapunov-Spektrum und die zugehörigen Lyapunov-Vektoren ermöglicht. Für eine Vielzahl von derartigen Systemen (Coupled-Map-Lattices, Hartkugel-Systeme, Systeme mit ausgedehnten Potentialen ...) konnte durch die Untersuchung der Lyapunov-Vektoren die Existenz von hydrodynamischen Lyapunov-Moden nachgewiesen werden. Diese kollektiven Anregungen zeigen sich in Lyapunov-Vektoren, deren Lyapunov-Exponenten dem Betrage nach am kleinsten sind. Da Lyapunov-Exponenten charakteristische Zeitskalen innerhalb der Systeme repräsentieren, ist durch die Lyapunov-Moden eine Untersuchung des Langzeitverhaltens möglich. In dieser Arbeit werden die hydrodynamischen Lyapunov-Moden durch Molekulardynamiksimulationen von mehrkomponentigen Lennard-Jones-Flüssigkeiten untersucht. Die Charakterisierung der Lyapunov-Moden zeigt im weiteren eine Ähnlichkeit zu Dispersionsrelationen von Phononen.