This work addresses the problem of stabilizing attitude dynamics with an unknown delay in feedback. Two cases are considered: 1) constant time-delay 2) time-varying time-delay. This is to our best knowledge the first result that provides asymptotically stable closed-loop control design for the attitude dynamics problem with an unknown delay in feedback. Strict upper bounds on the unknown delay are assumed to be known. The time-varying delay is assumed to be made of the constant unknown delay with a time-varying perturbation. Upper bounds on the magnitude and rate of the time-varying part of the delay are assumed to be known. A novel modification to the concept of the complete type Lyapunov-Krasovskii (L-K) functional plays a crucial role in this analysis towards ensuring stability robustness to time-delay in the control design. The governing attitude dynamic equations are partitioned to form a nominal system with a perturbation term. Frequency domain analysis is employed in order to construct necessary and sufficient stability conditions for the nominal system. Consequently, a complete type L-K functional is constructed for stability analysis that includes the perturbation term. As an intermediate step, an analytical solution for the underlying Lyapunov matrix is obtained. Departing from previous approaches, where controller parameter values are arbitrarily chosen to satisfy the sufficient conditions obtained from robustness analysis, a systematic numerical optimization process is employed here to choose control parameters so that the region of attraction is maximized. The estimate of the region of attraction is directly related to the initial angular velocity norm and the closed-loop system is shown to be stable for a large set of initial attitude orientations. / text

Neste trabalho, aborda-se o problema de estabilidade de sistemas com dados amostrados periodicamente, na presença de atuadores saturantes em posição e em taxa de variação. Os atuadores são modelados como sistemas de primeira ordem com saturação de entrada (saturação de magnitude) e do estado (saturação de taxa de variação). No modelo, considera-se que o sinal de controle é mantido constante entre dois instantes de amostragem consecutivos, enquanto as dinâmicas da planta linear e do atuador saturante são em tempo contínuo, i.e., não é feita discretização do sistema. O efeito da amostragem aperiódica é considerado através de um looped -funcional, derivado do funcional de Lyapunov-Krasovskii. O método desenvolvido relaciona uma função quadrática de Lyapunov e o funcional, considerando a amostragem assíncrona e o atuador saturante. Assim, se a derivada temporal do funcional ao longo das trajetórias do sistema for definida negativa, verifica-se que a função de Lyapunov é estritamente decrescente nos instantes de amostragem. Os efeitos das saturações são considerados por meio do uso da condição de setor generalizada. A partir do looped-funcional, da função de Lyapunov e das relações de setor generalizadas, são formuladas condições que permitem caracterizar a estabilidade e projetar ganhos estabilizantes da origem do sistema amostrado, em contexto local e global, através de algoritmos baseados na solução de LMIs. São propostas condições para maximização da estimativa da região de atração da origem ou, dado um conjunto de condições iniciais, para maximização do limite superior do intervalo de amostragem. As condições estabelecidas são válidas para o sistema com acesso a todos os estados, como também, no caso dos estados do atuador não estarem disponíveis `a medição. / This work addresses the problems of stability and stabilization of sampled-data systems taking into account aperiodic sampling and magnitude and rate saturating actuactors. The actuators are represented by a first-order system subject to input (magnitude saturation) and state (rate) saturation. In the considered model, the control signal is assumed to be constant between two successive sampling instants, while the dynamics of the linear plant and the saturating actuator are in continuous-time, i.e., no discretization is performed. The aperiodic sampling is taken into account from the method based on the input delay approach via looped-functional, derived from a time-dependent Lyapunov-Krasovskii functional. The developed method is based on a particular functional, that is related to a Lyapunov function. It is shown that if the time derivative of the looped- functional along the trajectories of the continuous-time system is strictly negative, then the Lyapunov function is strictly decreasing at sampling instants. The actuator saturations are taken into account from the use of a generalized sector condition. From the looped-functional, the Lyapunov function and the generalized sector conditions, the developed results lead to conditions that can be solved as LMI prob- lems for asymptotic stability assessment and stabilization local or global of the origin of the sampled-data system. Convex optimization problems are developed to com- pute an estimate of the region of attraction or, given a set of admissible initial conditions, compute the maximal admissible inter-sampling time for which the con- vergence of the trajectories to the origin is ensured. Theorical results are valid for systems with access to all the states, and also for the case that actuator states are not available to the measurement.

Neste trabalho, aborda-se o problema de estabilidade de sistemas com dados amostrados periodicamente, na presença de atuadores saturantes em posição e em taxa de variação. Os atuadores são modelados como sistemas de primeira ordem com saturação de entrada (saturação de magnitude) e do estado (saturação de taxa de variação). No modelo, considera-se que o sinal de controle é mantido constante entre dois instantes de amostragem consecutivos, enquanto as dinâmicas da planta linear e do atuador saturante são em tempo contínuo, i.e., não é feita discretização do sistema. O efeito da amostragem aperiódica é considerado através de um looped -funcional, derivado do funcional de Lyapunov-Krasovskii. O método desenvolvido relaciona uma função quadrática de Lyapunov e o funcional, considerando a amostragem assíncrona e o atuador saturante. Assim, se a derivada temporal do funcional ao longo das trajetórias do sistema for definida negativa, verifica-se que a função de Lyapunov é estritamente decrescente nos instantes de amostragem. Os efeitos das saturações são considerados por meio do uso da condição de setor generalizada. A partir do looped-funcional, da função de Lyapunov e das relações de setor generalizadas, são formuladas condições que permitem caracterizar a estabilidade e projetar ganhos estabilizantes da origem do sistema amostrado, em contexto local e global, através de algoritmos baseados na solução de LMIs. São propostas condições para maximização da estimativa da região de atração da origem ou, dado um conjunto de condições iniciais, para maximização do limite superior do intervalo de amostragem. As condições estabelecidas são válidas para o sistema com acesso a todos os estados, como também, no caso dos estados do atuador não estarem disponíveis `a medição. / This work addresses the problems of stability and stabilization of sampled-data systems taking into account aperiodic sampling and magnitude and rate saturating actuactors. The actuators are represented by a first-order system subject to input (magnitude saturation) and state (rate) saturation. In the considered model, the control signal is assumed to be constant between two successive sampling instants, while the dynamics of the linear plant and the saturating actuator are in continuous-time, i.e., no discretization is performed. The aperiodic sampling is taken into account from the method based on the input delay approach via looped-functional, derived from a time-dependent Lyapunov-Krasovskii functional. The developed method is based on a particular functional, that is related to a Lyapunov function. It is shown that if the time derivative of the looped- functional along the trajectories of the continuous-time system is strictly negative, then the Lyapunov function is strictly decreasing at sampling instants. The actuator saturations are taken into account from the use of a generalized sector condition. From the looped-functional, the Lyapunov function and the generalized sector conditions, the developed results lead to conditions that can be solved as LMI prob- lems for asymptotic stability assessment and stabilization local or global of the origin of the sampled-data system. Convex optimization problems are developed to com- pute an estimate of the region of attraction or, given a set of admissible initial conditions, compute the maximal admissible inter-sampling time for which the con- vergence of the trajectories to the origin is ensured. Theorical results are valid for systems with access to all the states, and also for the case that actuator states are not available to the measurement.

Neste trabalho, aborda-se o problema de estabilidade de sistemas com dados amostrados periodicamente, na presença de atuadores saturantes em posição e em taxa de variação. Os atuadores são modelados como sistemas de primeira ordem com saturação de entrada (saturação de magnitude) e do estado (saturação de taxa de variação). No modelo, considera-se que o sinal de controle é mantido constante entre dois instantes de amostragem consecutivos, enquanto as dinâmicas da planta linear e do atuador saturante são em tempo contínuo, i.e., não é feita discretização do sistema. O efeito da amostragem aperiódica é considerado através de um looped -funcional, derivado do funcional de Lyapunov-Krasovskii. O método desenvolvido relaciona uma função quadrática de Lyapunov e o funcional, considerando a amostragem assíncrona e o atuador saturante. Assim, se a derivada temporal do funcional ao longo das trajetórias do sistema for definida negativa, verifica-se que a função de Lyapunov é estritamente decrescente nos instantes de amostragem. Os efeitos das saturações são considerados por meio do uso da condição de setor generalizada. A partir do looped-funcional, da função de Lyapunov e das relações de setor generalizadas, são formuladas condições que permitem caracterizar a estabilidade e projetar ganhos estabilizantes da origem do sistema amostrado, em contexto local e global, através de algoritmos baseados na solução de LMIs. São propostas condições para maximização da estimativa da região de atração da origem ou, dado um conjunto de condições iniciais, para maximização do limite superior do intervalo de amostragem. As condições estabelecidas são válidas para o sistema com acesso a todos os estados, como também, no caso dos estados do atuador não estarem disponíveis `a medição. / This work addresses the problems of stability and stabilization of sampled-data systems taking into account aperiodic sampling and magnitude and rate saturating actuactors. The actuators are represented by a first-order system subject to input (magnitude saturation) and state (rate) saturation. In the considered model, the control signal is assumed to be constant between two successive sampling instants, while the dynamics of the linear plant and the saturating actuator are in continuous-time, i.e., no discretization is performed. The aperiodic sampling is taken into account from the method based on the input delay approach via looped-functional, derived from a time-dependent Lyapunov-Krasovskii functional. The developed method is based on a particular functional, that is related to a Lyapunov function. It is shown that if the time derivative of the looped- functional along the trajectories of the continuous-time system is strictly negative, then the Lyapunov function is strictly decreasing at sampling instants. The actuator saturations are taken into account from the use of a generalized sector condition. From the looped-functional, the Lyapunov function and the generalized sector conditions, the developed results lead to conditions that can be solved as LMI prob- lems for asymptotic stability assessment and stabilization local or global of the origin of the sampled-data system. Convex optimization problems are developed to com- pute an estimate of the region of attraction or, given a set of admissible initial conditions, compute the maximal admissible inter-sampling time for which the con- vergence of the trajectories to the origin is ensured. Theorical results are valid for systems with access to all the states, and also for the case that actuator states are not available to the measurement.

Dizertační práce se zabývá procesy, které jsou řízeny systémy zpožděných diferenciálních rovnic $$x'(t) =f(t,x_t,u),\,\,\,\, t\ge t_{0}$$ kde $t_0 \in \mathbb{R}$, funkce $f$ je definována v jistém podprostoru množiny $[t_0,\infty)\times {C}_{\tau}^{m}\times {\mathbb{R}}^r$, $m,r \in \mathbb{N}$, ${C}_{\tau}^{m}=C([-\tau,0],{\mathbb{R}}^{m})$, $\tau>0$, $x_t(\theta):=x(t+\theta)$, $\theta\in[-\tau,0]$, $x\colon [t_0-\tau,\infty)\to \mathbb{R}^{m}$. Za předpokladu $f(t,\theta_m^*,\theta_r)=\theta_m$, kde ${\theta}_m^*\in {C}_{\tau}^{m}$ je nulová vektorová funkce, $\theta_r$ a $\theta_m$ jsou $r$ a $m$-dimenzionální nulové vektory, je říd\'cí funkce $u=u(t,x_t)$, $u\colon[t_0,\infty)\times _^\to \mathbb^$, $u(t,_m^*)=\theta_r$ určena tak, že nulové řešení $x(t)=\theta_m$, $t\ge t_-\tau$ systému je asymptoticky stabilní a pro libovolné řešení $x=x(t)$ integrál $$\int _{t_}^\omega \left(t,x_t,u(t,x_t)\right)\diff t,$$ kde $\omega$ je pozitivně definitní funkcionál, existuje a nabývá své minimální hodnoty v daném smyslu. Pro řešení tohoto problému byla Malkinova metoda pro obyčejné diferenciální systémy rozšířena na zpožděné funkcionální diferenciální rovnice a byla použita druhá metoda Lyapunova. Výsledky jsou ilustrovány příklady a aplikovány na některé třídy zpožděných lineárních diferenciálních rovnic.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre général de l'étude de la dynamique de populations. Elle porte sur la modélisation et l'analyse mathématique de l'hématopoïèse, le processus de production et de régulation des cellules sanguines. La population de cellules est perçue comme un milieu continu avec une structuration en âge et en espace. Nous avons commencé par analyser des modèles d'équations différentielles et aux différences à retard discret et distribué. Ces modèles à retard permettent de mettre en évidence des comportements particuliers tels que l'existence de solutions périodiques. Ensuite, nous avons pris en compte l'aspect spatial et la diffusion des cellules dans ces modèles, tout en sachant que la structuration en espace, dans le cas de l'hématopoïèse, a été très peu abordée par le passé. Un nouveau modèle a été obtenu du point de vue mathématique. Une étude d'existence d'ondes progressives est effectuée lorsque le domaine est non borné et lorsque le domaine est borné une étude de stabilité des états stationnaires ainsi que de l'existence d'une bifurcation de Hopf est réalisée / This thesis focuses on the study of population dynamics. It is devoted to the mathematical analysis and modeling of hematopoiesis, which is the process leading to the production and regulation of blood cells. The cell's population is seen as a continuous medium structured in age and space. We analyzed models of differential-difference system with discrete- and distributed -delay. These models can exhibit specific behaviors such as the existence of periodic solutions. Then we consider a space structuration and the diffusion of cells in such models, knowing that the space structure has not been widely studied in the case of hematopoiesis. A new model is obtained from the mathematical point of view. We studied the existence of traveling waves when the domain is unbounded. When the domain is bounded, the stability of stationary solutions and the existence of a Hopf bifurcation are obtained