Cette thèse traite du problème d’optimisation de formes dans le contexte de la mécanique des solides en contact. Le modèle physique considéré est celui de solides linéaires élastiques en petites déformations, en contact (glissant ou avec frottement de Tresca) avec un corps rigide. Les formulations mathématiques étudiées sont deux versions régularisées de l’inéquation variationnelle décrivant le système d’origine : la formulation pénalisée et la formulation Lagrangien augmenté. Comme ces deux formulations présentent des non différentiabilités, nous proposons une approche par dérivées directionnelles pour obtenir les dérivées de forme associées. En particulier, pour chacune des formulations, nous exprimons des conditions suffisantes pour que la solution soit dérivable par rapport à la forme. Ceci nous permet de construire un algorithme d’optimisation topologique de type gradient, s’appuyant sur les dérivées obtenues et une représentation des formes par des ensembles de niveau (level-sets). L’algorithme bénéficie en outre d’une technique de découpage de maillage qui permet d’obtenir une représentation explicite de la forme à chaque itération, et ainsi d’appliquer fortement les conditions aux limites sur la zone de contact. Après avoir détaillé les différentes étapes de la méthode, nous présentons des résultats numériques en deux et trois dimensions pour en tester la validité. / This thesis deals with shape optimization for contact mechanics. More specifically, the linear elasticity model is considered under the small deformations hypothesis, and the elastic bodyis assumed to be in contact (sliding or with Tresca friction) with a rigid foundation. The mathematical formulations studied are two regularized versions of the original variational inequality: the penalty formulation and the augmented Lagrangian formulation. In order to get the shape derivatives associated to those two non-differentiable formulations, we suggest an approach based on directional derivatives. Especially, we derive sufficient conditions for the solution to be shape differentiable. This allows to develop a gradient-based topology optimization algorithm, built on these derivatives and a level-set representation of shapes. The algorithm also benefits from a mesh-cutting technique, which gives an explicit representation of the shape at each iteration, and enables to apply the boundary conditions strongly on the contact zone. The different steps of the method are detailed. Then, to validate the approach,some numerical results on two-dimensional and three-dimensional benchmarks are presented.

L'objectif de ce travail est de proposer une nouvelle approche pour la résolution du problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb tridimensionnel en mécanique des solides. On s'intéresse à des systèmes dynamiques composés de plusieurs corps possédant un nombre fini de degrés de liberté: rigides, ou déformables qui sont des approximations spatiales de modèles continus. Le frottement entre les corps est modélisé en utilisant une formulation classique de la loi de Coulomb. Après discrétisation en temps (ou approximation quasi-statique), on obtient à chaque pas de temps un problème contenant des équations de complémentarité sur un produit de cônes du second ordre, et d'autres équations. Plusieurs méthodes de résolution ont été proposées pour différentes formulations équivalentes de ce problème, en particulier par Moreau, Alart et Curnier, et De Saxcé. En considérant les équations de complémentarité comme celles des conditions d'optimalité (KKT) d'un problème d'optimisation, on propose une reformulation équivalente nouvelle sous forme d'un problème de minimisation paramétrique convexe couplé avec un problème de point fixe. Grâce à ce point de vue, on démontre l'existence de solutions sous une hypothèse assez faible, et vérifiable en pratique. De plus, on peut souvent calculer effectivement l'une de ces solutions en résolvant numériquement l'équation de point fixe. Les performances de cette approche sont comparées à celles des méthodes existantes.

La résolution des problèmes de contact avec frottement est d’une grande importance dans beaucoup d’applications en ingénierie. Pour ces applications, la précision et l’optimisation du temps de calcul sont des contraintes impératives mais souvent contradictoires. Les problèmes industriels portent généralement sur des géométries complexes et tridimensionnelles composées de matériaux au comportement non linéaire. De ce fait, si on utilise la méthode des éléments finis, ils mènent à des problèmes discrets non linéaires et de grande taille. Ces derniers, après linéarisation, entraînent des systèmes algébriques de plusieurs milliers voire de millions d’inconnues ne pouvant être résolus que par des méthodes itératives. Ceci implique que les méthodes fréquemment utilisées, la pénalisation et le lagrangien augmenté, ne peuvent être considérées en raison du mauvais conditionnement de la matrice sous-jacente donc de leur effet négatif sur la convergence des méthodes itératives. Nous proposerons une approche itérative efficace pour résoudre les problèmes de contact associés à des applications industrielles : une résolution permettant d’avoir des résultats numériques précis en un temps de calcul acceptable. Cette approche sera basée sur la méthode des multiplicateurs de Lagrange et une méthode de résolution du système linéaire associé qui n’est pas tout à fait standard. Cette dernière s’insère dans un processus itératif à plusieurs niveaux qui représente la principale contribution de la thèse. Nous présenterons la stratégie adoptée qui est différente de celles de la littératurepour la résolution des problèmes de types point de selle et en ferons une étude complète. Pour valider notre approche, nous étudierons des exemples numériques académiques de problèmes de contact classiques. Nous présenterons aussi des problèmes industriels de très grande taille afin d’illustrer l’efficacité, la précision et la performance en temps de calcul de la méthode développée dans cette thèse. / Solving friction contact problems is of great importance in many engineering applications. For these applications, the accuracy and the optimization of the calculation cost are imperative but often contradictory. Industrial problems generally involve complex and three-dimensional geometries composed of materials that exhibit non-linear behavior. Consequently, using the finite element method, they lead to large-scale non linear discrete problems and, after linearization, to algebraic systems of several thousand or even millions of unknowns and ultimately tocalculations needing iterative methods. This implies that the frequently used methods, the penalization and the augmented Lagrangian, are to be banned because of their negative effect on the condition number of the underlying discrete systems and thus on the convergence of theiterative methods. We will propose an efficient iterative approach to solve the contact problems associated with industrial applications: a resolution allowing to have accurate numerical results in an acceptable computation time.This approach will be based on the method of Lagrange multiplier and a method for solving the associated linear system that is not quite standard. The latter is part of an iterative, multi-level process that represents the main contribution of the thesis. We will present the adopted strategy, which is different from what is found in the literature, for the resolution of saddle-type problems and will make a complete study of it. To validate our approach, we will study academic numerical examples of classical contact problems. We will also present some large-scale industrial problems in order to illustrate the efficiency, accuracy and computation performance of the method developed in this thesis.

Cette thèse traite de la modélisation de systèmes de corps rigides soumis à un nombre fini de contraintes unilatérales. Comme toute modélisation, celle-ci ne constitue au mieux qu'une approximation de la réalité. Pour des architectures lourdes comme les robots marcheurs, les masses importantes des différents segments peuvent remettre en cause l'hypothèse de rigidité des corps, du moins à l'instant des impacts. Notons néanmoins que les phénomènes vibratoires aux moments des chocs ne remettent nullement en question l'aspect "corps rigides" grace à un un coefficient de restitution prenant en compte de manière explicite l'énergie dissipée par les vibrations. Une autre critique potentielle de l'approche pour laquelle nous avons opté est que les appuis au sol peuvent être réalisés par l'intermédiaire de structures molles, en collant par exemple des semelles en caoutchouc pour lesquelles la loi de frottement sec d'Amontons-Coulomb ne constituerait qu'une piètre approximation (il serait alors nécessaire d'avoir recours à un modèle incluant du frottement visqueux). Notons encore que des résultats expérimentaux récents concernant des chocs de barres pouvant constituer une première approximation d'une jambe d'un bipède avec un sol rigide montrent que le modèle très simple d'Amontons-Coulomb appliqué au niveau impulsionnel livre des résultats acceptables.

Dans un contact pneu/chaussée, le bruit de roulement résulte de l’interaction mécanique entre les aspérités de la chaussée et les pains de la bande de roulement. À l’issue de cette interaction, des forces compressives apparaissent pour repousser les deux corps en contact. Ces forces conduisent à la vibration du pneumatique. Ces vibrations sont à l’origine du bruit rayonné. Le travail de cette thèse s’inscrit dans le cadre de l’évaluation du bruit de roulement. L’objectif est double. Premièrement, il s’agit de comprendre les mécanismes à l’œuvre dans un processus de roulement de deux surfaces rugueuses qui engendrent une vibration puis du bruit. Deuxièmement, on cherche à mettre en évidence l’influence des aspérités de la chaussée sur les forces dynamiques interfaciales et sur le bruit généré. Dans ce contexte, on propose un nouveau modèle 3D de contact dynamique basé sur la décomposition modale de la réponse du pneumatique. Cette nouvelle approche permet de réduire considérablement le temps CPU. Le pneumatique est modélisé par une plaque orthotrope sur fondation élastique. Le problème de contact est résolu par la méthode de pénalité. On a validé ce modèle analytiquement. Cet outil permet de prédire finement ce qui se passe dans la zone de contact. Nous pouvons prédire les forces de contact et les vitesses vibratoires. En outre, il permet de déterminer l’aire de contact et les cartes de pression. À l’échelle locale, les caractéristiques d’un choc sont connues. On est capable de déterminer la force maximale du choc, à partir de l’évolution temporelle de la force de contact, et sa durée mais aussi le pourcentage de temps du choc. / In a tire road contact, the rolling noise results from the mechanical interaction between the asperities of the roadway and the tread pattern. Following this interaction, compressive forces appear to push the two bodies in contact. These forces lead to the vibration of the tyre. These vibrations are the origin of the radiated noise. The work of this thesis falls within the evaluation of rolling noise. The objective is twofold. First, we seek to understanding the mechanisms involved in a rolling process of two rough surfaces that generate vibration and then noise. Second, we aim to show the influence of the road asperities on the interfacial dynamic forces and on the noise generated. In this context, we propose a new 3D model of the dynamic contact based on a modal decomposition of the tyre response. This new approach significantly reduces CPU time. The tyre is modeled by an orthotropic plate on a elastic foundation. The contact problem is solved by the penalty method. This model was validated analytically. This tool allows us to finely predict what happens in the contact area. We can predict contact forces and vibratory velocities. Moreover, it makes it possible to determine the contact area and the pressure maps. At the local scale, the characteristics of a shock are known. We are able not only to determine the maximum force of impact, using time evolution of the contact force, and its duration but also the percentage of shock time.

La simulation de la dynamique des systèmes multicorps avec contact frottant joue un rôle important dans un grand nombre d'applications industrielles.Elle est même devenue une partie importante du développement de nouveaux produits, de la vérification et même de l'optimisation de leur conception pour améliorer les anciens produits.Les travaux présentés dans cette thèse font partie d'une collaboration entre l'équipe BiPoP, équipe de recherche de l'INRIA Grenoble, et Schneider Electric.Le but principal de ces travaux est de comprendre l'influence du jeu dans les articulations, ainsi que l'influence du dimensionnement industriel et les tolérances géométriques sur lecomportement global des liaisons mécaniques. Plus spécifiquement nous avons étudié le mini-disjoncteur C-60 (domaine dans lequel la sécurité humaine doit être garantie), pour répondre à cette demande de robustesse, tout en respectant les tolérances sur les pièces constituant le disjoncteur C-60.Le jeu radial dans les articulations pivot est une source de variabilité dans les conditions initiales du système, mais également dans la dégradation de ses performances.La dégradation du système se présente toujours sous forme de vibrations, de bruit, de forces de réactions très grandes dans les articulations, de mauvaise précision et exactitude de la sortie.Le but est d'étudier l'influence des conditions initiales et le déplacement hors-plan, ainsi que l'effet de polarisation en trois dimensions.Un objectif supplémentaire est de développer un banc d'essai virtuel efficace pour reproduire les mesures obtenues sur un vrai banc d'essai en laboratoire, en utilisant la plateforme logicielle SICONOS qui utilise la méthode NSCD (Non Smooth Contact Dynamic) introduite par J.J. Moreau et M. Jean.Le schéma NSCD a prouvé son efficacité numérique: il est capable de traiter des problèmes de complémentarité, le contact ainsi que les impacts et les lois de frottement multivaluées.Le but est de comprendre quelle est la meilleure description géométrique pour simuler de très petits jeux.L'étude complète est divisée en deux parties. La progression part du cas planaire pour arriver au cas spatial, et la complexité suit le même chemin.Dans le cas planaire, on analyse un mécanisme à quatre barres avec du jeu quand une des articulations est commandée en boucle ouverte, ou par retour d'état linéaire ou non-linéaire(PD, linéarisation par retour d'état, ou commande passive).L'accent est mis sur la quantification de la dégradation des performances quand du jeu est ajouté dans les articulations. On montre alors que les commandes par retour d'état se comportent de façon robuste.Dans le cas spatial, le mécanisme C-60 est analysé précisément pour explorer les possibilités de relaxer les tolérances industrielles sur les pièces sans compromettre ni les performances ni la sécurité. L'influence de l'entrée, du modèle et des incertitudes numériques sur le modèle C-60 est étudiée.L'influence induite par le jeu et le coefficient de frottement dans les articulations sur la performance du produit est étudiée.Pour valider le modèle de simulation, des expériences sont effectuées sur des prototypes d'essai et les résultats sont comparés avec les simulations numériques.Nous avons trouvé une bonne correlation entre les résultats numériques et expérimentaux.L'analyse statistique~(analyse du pire cas, et par des simulations basées sur la méthode de Monte-Carlo) a été réalisée pour trouver la dispersion des conditions fonctionnelles.En plus des variations dimensionnelles, la tolérence aux variations géométriques comme la forme, l'orientation et la position, est analysée.Ce travail de recherche devrait aider les concepteurs à simuler le comportement du système mécanique avec une articulation de révolution imparfaite,depuis l'étape de conception préliminaire jusqu'à la fin de la conception pour avoir une amélioration significative de la planification et du budget. / Dynamic simulation of multibody systems with unilateral contact and friction plays an important role in a wide range of industrial applications. It has become an integral part of new product development, verification/optimization of the design and to enhance the old products.This work is a part of collaboration between the BiPoP research team of INRIA Grenoble and the Schneider Electric company.The main goal of this thesis is to understand the influence of clearances in the revolute joints on the overall behaviour of the linkage mechanisms and specifically on the C-60 miniature circuit breaker where human safety must be guaranteed.In other words, the objective is to address the robustness of the C-60 breaker with respect to the production tolerances, which areexpressed in the form of dimensional and geometrical variations on the parts. These variations are the source of clearance in the joints of the mechanism.The radial clearance in the revolute joints is a source of variability in the initial conditions of the system and also the degradation of the system's performance. The degradation of the system isalways in the form of vibration, noise, very high reaction forces at the joints.The aim is to study the influence of initial conditions and the out-of-plane motion, so the polarization effect in three dimensional case.Another objective is to develop the time efficient virtual test bench to reproduce the measurements of real test bench in the laboratory using the open-source simulation software SICONOS which is based on the NonSmooth Contact Dynamic method (NSCD) introduced by J.J. Moreau and M. Jean.The NSCD scheme is proven to be a quite efficient numerical method, capable of handling complementarity conditions, as well as impacts and set-valued friction laws.The goal is to understand what is the most appropriate geometricdescription which allows to simulate very small clearances.The complete study is divided in two main sections.The progress through these partsgoes from the planar to the spatial case, the complexity follows the same advance.In the planar case, a four-bar mechanism with joint clearance, when one joint is actuated by collocated open-loop or state feedback controllers (PD, statefeedback linearization, passivity-based) is analysed. The focus is put on how much the performancedeteriorates when clearances are added in the joints. It is shown that collocated feedback controllersbehave in a robust way.In the spatial case, the C-60 mechanism is analysed precisely to explore the possibilities to relax the manufacturing tolerances on the parts withoutany compromise on either performance or the human safelyThe influence of the input, model and numerical uncertainties on the C-60 model is studied. The joint-wise influences of the clearance and coefficient of friction on theproduct performance are studied.To validate the simulation model, experiments are carried-out on the prototype samples and the results are compared with the simulations.We found quite good correlation between the virtual and experimental results.A statistical analysis~(worst-case and Monte Carlo simulation) has been carried out to find out the dispersion of the functional conditions.In addition to dimensional variations, the geometrical variations such as form, orientation and position tolerances are also analyzed.This research work shall help the designers to simulate the real time behaviour of the mechanical systems with the imperfect revolutejoint from the pre-design stage till the end of the design, to have good improvement on schedule and budget.

Ces travaux s'inscrivent dans le cadre d'un partenariat entre SNECMA (Société Nationale d'Etude et de Construction de Moteurs d'Avion), l'Equipe Structures et Simulations du laboratoire GeM à l'Ecole Centrale de Nantes et le Département de Vibrations et d'Acoustique de l'Université du Michigan, avec pour objectif le développement de modèles de prédiction d'interaction rotor/stator dans un moteur d'avion. En effet, afin de rester un acteur compétitif, un motoriste a un objectif principal : augmenter le rendement d'un moteur d'avion en accord avec les normes en vigueur. La minimisation du jeu entre l'extrémité des aubes des différents composants en rotation et le carter qui leur fait face est une réponse à cette contrainte. Malheureusement, la diminution de cette distance augmente sensiblement les possibilités de contact entre les deux parties. Les conséquences d'un tel phénomène pouvant être dramatiques pour le moteur, le bureau d'études doit concevoir des structures capables de résister à ces différentes sollicitations dynamiques : il est donc primordial de comprendre l'origine et l'action de ces forces de contact pour réduire de façon optimale le jeu entre les deux parties sans compromettre la sécurité des passagers. Dans cette étude, nous nous concentrons plus particulièrement sur l'interaction entre deux modes de vibration à diamètres, caractéristiques des structures à symétrie axiale, pendant laquelle les structures se touchent légèrement pour atteindre des régimes permanents potentiellement dangereux. A cet effet, trois modèles de complexité croissante sont proposés et analysés, en plus de deux méthodes de résolution complémentaires développées dans les domaines fréquentiel et temporel. Ces trois modèles prédisent une vitesse de rotation critique au-dessus de laquelle, sous certaines conditions qui restent difficiles à déterminer, les amplitudes de vibrations deviennent importantes. Ils ont aussi permis une meilleure compréhension du phénomène d'interaction modale et de ses caractéristiques physiques.

La plupart des méthodes de calcul utilisées en mécanique des solides, pour résoudre des problèmes non stationnaires sont basées sur un découpage entre le temps et l'espace. Dans la majorité des logiciels existants, les calculs s'effectuent par une discrétisation de l'espace en utilisant des méthodes, comme, par exemple, la Méthode des Éléments Finis et ensuite, une discrétisation en temps par différences finies. On pourrait se demander : que se passerait-il si la discrétisation en espace et en temps s'effectuait sans aucune séparation ? De là, beaucoup de questions se posent, entre autres : serait-il possible de gagner en temps de calcul et en précision ? En résumé, quel est l'intérêt de cette méthode ? La Méthode des Éléments Finis Espace-Temps (STFEM) que nous présenterons dans ce mémoire se distingue des autres méthodes du fait de la possibilité de non séparation des variables espace et temps.

Le bruit de frottement de deux surfaces rugueuses est dû à la vibration verticale engendrée par les impacts inter-aspérités de deux solides glissants. Il relève de la physique des interfaces multicontact dont les propriétés sont encore largement méconnues. L'objet de cette thèse est de comprendre les mécanismes de transfert d'énergie et de génération des vibrations à l'oeuvre à l'interface entre deux surfaces rugueuses en glissement relatif. Ces interfaces présentent des spots de contact qui se renouvellent très rapidement mais dont la physique statistique reste à découvrir. Un outil numérique est spécialement développé pour étudier efficacement ce phénomène aux échelles microscopique et macroscopique. Les simulations sont effectuées à l'aide de centres de calcul haute performance à Lyon. Elles ont mené aux conclusions suivantes. Le niveau de la vibration Lv (dB) est une fonction croissante du logarithme de la rugosité de surface Ra et de la vitesse de glissement V, ce qui est en accord avec les résultats expérimentaux issus de la littérature. De plus, grâce à cet outil numérique, on a pu analyser précisément les chocs entre surfaces définis à partir de l'évolution temporelle de la force de contact. Leur durée est de l'ordre de 0.1 ms, la force maximale de contact peut atteindre 100 fois le poids propre du solide glissant, et le nombre de chocs est de l'ordre de 10000 par seconde pour une surface de l'ordre de 4 cm2. Les chocs sont donc des excitations transitoires brèves mais nombreuses et intenses. Ces chocs se comportent comme les sources d'énergie vibratoire qui sont responsables d'un transfert d'énergie à l'interface. C'est en effet la transformation de l'énergie cinétique du mouvement solide glissant en énergie vibratoire qui est responsable du bruit de frottement.

Le bruit de frottement de deux surfaces rugueuses est dû à la vibration verticale engendrée par les impacts inter-aspérités de deux solides glissants. Il relève de la physique des interfaces multicontact dont les propriétés sont encore largement méconnues. L'objet de cette thèse est de comprendre les mécanismes de transfert d'énergie et de génération des vibrations à l'œuvre à l'interface entre deux surfaces rugueuses en glissement relatif. Ces interfaces présentent des spots de contact qui se renouvellent très rapidement mais dont la physique statistique reste à découvrir. Un outil numérique est spécialement développé pour étudier efficacement ce phénomène aux échelles microscopique et macroscopique. Les simulations sont effectuées à l'aide de centres de calcul haute performance à Lyon. Elles ont mené aux conclusions suivantes. Le niveau de la vibration Lv (dB) est une fonction croissante du logarithme de la rugosité de surface Ra et de la vitesse de glissement V, ce qui est en accord avec les résultats expérimentaux issus de la littérature. De plus, grâce à cet outil numérique, on a pu analyser précisément les chocs entre surfaces définis à partir de l'évolution temporelle de la force de contact. Leur durée est de l'ordre de 0.1 ms, la force maximale de contact peut atteindre 100 fois le poids propre du solide glissant, et le nombre de chocs est de l'ordre de 10000 par seconde pour une surface de l'ordre de 4 cm2. Les chocs sont donc des excitations transitoires brèves mais nombreuses et intenses. Ces chocs se comportent comme les sources d'énergie vibratoire qui sont responsables d'un transfert d'énergie à l'interface. C'est en effet la transformation de l'énergie cinétique du mouvement solide glissant en énergie vibratoire qui est responsable du bruit de frottement. / The friction noise between two rough surfaces is caused by the vertical vibration generated by inter-asperity impacts of sliding solids. This phenomenon involves the physics of multicontact interfaces, a field which is largely unknown. The purpose of this thesis is to understand the mechanisms of noise generation and the energy transfer process between two rough surfaces in sliding contact. The contact spots in the interface are rapidly renewed during the movement in a random fashion but their statistical properties remain to be discovered. A numerical tool is developed in order to efficiently study this phenomenon at both macroscopic and microscopie scales. The simulations are carried out thanks to the high performance computing centre in Lyon. This study leads to the following conclusions. The vibration level Lv (dB) is an increasing logarithm function of surface roughness Ra and sliding velocity V. This statement is consistent with experimental results available in the literature. Moreover, we can analyze precisely the asperity shocks which are defined from the time evolution of the contact force. The shock duration is of the order of 0.1 ms, the maximal contact force can reach to 100 times the weight of sliding solid, and the shock rate is of the order of 10000 for a surface of 4 cm2 . The asperity shocks are transient excitations, brief but abundant and intensive. These shocks behave like vibrational energy sources and are responsible of the energy transfer in the interface. This is the transformation process of kinetic energy to vibrational energy which is responsible of friction noises.