Ce manuscrit comporte trois parties distinctes, la première concerne la simulation numérique d'écoulements de fluides. La deuxième partie porte sur les équations de l'électromagnétisme et leur couplage avec les équations cinétiques de Vlasov dans le cadre de simulations numériques en physique des plasmas. La dernière partie évoque rapidement des travaux qui ont donné lieu à des publications mais qui ne rentrent pas complètement dans un des deux cadres abordés précédemment. Dans la première partie, l'objectif est d'étendre aux maillages triangulaires non structurés une méthode numérique éprouvée pour résoudre les équations de Stokes bidimensionnelles : la méthode Marker And Cell qui a été développée sur des maillages en quadrilatères quasi-réguliers dans les années 60. L'idée proposée pour cela est de résoudre le problème de Stokes avec pour variables le tourbillon, la vitesse et la pression. Alors que les résultats numériques obtenus sur des maillages réguliers sont satisfaisants, ceux sur des maillages non structurés ne le sont pas. Il s'est avéré lors de l'étude théorique que ce problème est un problème de stabilité. On montre théoriquement et numériquement que la formulation tourbillon-vitesse-pression est une généralisation de la formulation fonction courant-tourbillon permettant la prise en compte de conditions limites plus générales. L'instabilité, due à des fonctions harmoniques discrètes, peut être levée en utilisant de véritables fonctions harmoniques, calculées à l'aide de leur représentation intégrale, dans le schéma numérique. On résout ainsi l'instabilité de la formulation fonction courant-tourbillon et on améliore les précédents résultats de convergence connus de cette formulation. En particulier, on démontre alors une convergence en moyenne quadratique du tourbillon de l'ordre de 3/2 à 2 dans les cas les plus réguliers (contre un-demi avant). Puis on utilise le fait que la formulation tourbillon-vitesse-pression est équivalente à la formulation fonction courant-tourbillon pour redéfinir une nouvelle formulation tourbillon-vitesse-pression. En effet, il est bien connu que la formulation classique en fonction courant-tourbillon (n'utilisée qu'en deux dimensions d'espace) est mal posée lorsque l'on cherche le tourbillon dans l'espace de Sobolev H1 car son gradient n'est alors pas contrôlé, mais bien posée dans un autre espace de fonctions moins régulières. On étend alors ce résultat au cas tri-dimensionnel et l'on obtient une nouvelle formulation en tourbillon-vitesse-pression bien posée dans un nouvel espace. On démontre aussi théoriquement que ce nouvel espace est bien celui introduit en 2D, ce qu'on confirme par des résultats numériques. La deuxième partie concerne la résolution d'équations cinétiques intervenant dans la simulation directe des plasmas et des faisceaux de particules chargées (modèles de Vlasov-Poisson ou Vlasov-Maxwell). Grâce à l'augmentation de la puissance de calculs des ordinateurs, la simulation de l'évolution des plasmas et des faisceaux de particules basée sur une résolution directe de l'équation de Vlasov sur un maillage de l'espace des phases devient une alternative aux méthodes particulaires (Particle In Cell) habituellement employées. La force de ces simulations directes réside dans le fait qu'elles ne sont pas bruitées (contrairement aux méthodes PIC) et que l'approximation est de même résolution sur tout l'espace des phases, en particulier dans les régions à faible densité de particules où des phénomènes physiques importants ont lieu. L'inconvénient principal est que beaucoup de points sont inutiles car la fonction de distribution des particules y est nulle, ce qui rend ces méthodes directes coûteuses en temps de calcul. On introduit alors une méthode de résolution directe de l'équation de Vlasov sur un maillage {\bf{mobile}} de l'espace des phases. Ce qui permet de ne mailler que la partie de l'espace des phases sur laquelle la fonction de distribution des particules est {\emph{a priori}} non nulle. Nous avons utilisé avec succès cette méthode de maillage mobile en 1D afin de simuler un problème d'interaction laser-plasma. Nous introduisons donc un maillage mobile de l'espace des phases qui suit parfaitement le développement des instabilités et permet de réduire drastiquement le temps de calcul. Nous avons aussi obtenu les premiers résultats d'une méthode de maillage mobile en 4D en couplant le maillage mobile et une méthode de décomposition de domaines. \\ En ce qui concerne la résolution des équations de Vlasov-Maxwell : nous travaillons sur le développement d'un solveur Maxwell éléments finis d'arêtes d'ordre élevé couplé à un code PIC en trois dimensions d'espaces (6D de l'espace des phases). Un point important afin que le couplage fonctionne est que l'équation de conservation de la charge doit être vérifiée au niveau numérique à chaque pas de temps. Ce qui implique que le courant obtenu à partir de l'évolution de l'équation de Vlasov doit être calculé d'une façon bien particulière. Les premiers résultats obtenus en 2D confirment que la méthode de calcul du courant proposée conserve bien la charge comme attendu.

Ce travail présente des méthodes d'optimisation de forme associées à un programme de calcul de champ dans des structures électrostatiques bidimensionnelles ou axisymétriques. Dans un premier chapitre, la méthode numérique utilisée pour le calcul du champ ; à savoir la méthode des équations intégrales de frontières ; est exposée en détail. Quelques améliorations, en particulier une technique efficace d'intégration adaptative, sont présentées. Le second chapitre est consacré au calcul numérique de la sensibilité des solutions aux paramètres géométriques ayant servi à décrire la structure. Les deux chapitres suivants sont consacrés aux méthodes d'optimisation, déterministes (s'appuyant sur le calcul des gradients) ou aléatoires (recuit simulé, génétique) Les variantes choisies sont testées sur des fonctions analytiques. Le dernier chapitre montre l'application des méthodes d'optimisation sur des structures électrostatiques réelles (forme d'électrodes, profils diélectriques), et démontre leur efficacité en particulier par des comparaisons avec des résultats trouvés dans la littérature.

Afin de permettre l’utilisation de hautes fréquences dans le domainedu chauffage par induction industriel, l’emploi d’inducteurs multibrins est envisagé.Or, les pertes occasionnées dans ces inducteurs peuvent être importantes etdépendent fortement de leur géométrie interne qui est complexe. Pour faciliter laconception d’inducteurs multibrins à faibles pertes, il est nécessaire d’en comprendrele comportement électromagnétique. Dans cette thèse, nous présentons ledéveloppement d’un logiciel de calcul parallèle dévolu à la modélisation électromagnétique3D d’inducteurs multibrins. Nous décrivons une méthode originale deconstruction de la géométrie des inducteurs. Ce logiciel est basé sur une méthodenumérique de type intégrale ayant l’avantage de ne pas nécessiter le maillage desespaces entre les brins. L’emploi du calcul parallèle est une des grandes forces de celogiciel. Les études réalisées montrent l’impact de la géométrie sur le comportementde ce type d’inducteur. / In order to enable to use high frequencies in the domain of the industrialinductive heating, the use of multi-wires inductors is considered. But, lossesoccurring into that inductors can be important and strongly depend on their complexinternal geometry. To facilitate the design of lossless multi-wires inductors, it isnecessary to under stand their electromagnetic behavior. In this thesis, we presentthe development of a software of parallel computation intended to the 3D electromagneticmodeling of multi-wires inductors. We describe an original method ofbuilding of the geometry of that inductors. This software is based on an integralmethod in which the meshing of spaces between the wires is unnecessary. The useof parallel computing is one of the great forces of this software. The studies werealized show the impact of the geometry on the behavior of that type of inductor.

La méthode PEEC est connue comme une bonne méthode pour la modélisation des interconnexions électriques dans les domaines de l’électronique de puissance et l’électrotechnique. Elle s'applique à une large gamme de dispositifs : circuits imprimés, bus-barres, conducteurs massifs. Elle est particulièrement bien adaptée pour la modélisation de régions conductrices du type filaire. Cependant, elle est requise d’un maillage structuré(discrétisation des géométries en quadrangles) et l’approche est limitée en fréquence (grande épaisseur de peau). Enfin, il semble actuellement difficile d’envisager la modélisation de conducteurs volumiques dans une formulation PEEC standard.Cette thèse développe des formulations intégrales en utilisant des éléments de facette afin d’lever des verrous de la méthode PEEC standard évoqués ci-dessus. Elle constitue de fait une généralisation de la méthode PEEC standard par la prise en compte de maillages non structurés (volumique et surfacique) et la prise en compte de notion de régions minces à faible épaisseur de peau.Les applications visées sont la modélisation de systèmes de conducteurs complexes (des régions non simplement connexes) en prenant en compte des connexions entre des régions (volumique/filaire, surfacique/filaire,volumique/surfacique et surfacique/surfacique). / The PEEC method is known as a good method for modeling electrical connections in the domains of powerelectronics and electrical engineering. It applies to a wide range of devices: printed circuits, bus-bars, solidconductors. It is particularly well adapted for modeling the wire type conductive regions. However, it is requireda structured mesh (discretization geometries quadrangles) and this approach is limited in frequency (high skindepth). Finally, it now seems difficult to envisage modeling of the volume conductors in standard PEECformulation.This thesis develops integrals formulations using facet elements to improve the above mentioned limitations ofthe standard PEEC method. It is in fact a generalization of the standard PEEC method by taking into accountunstructured meshes (volume and surface) and taking into account the notion of thin region with a small skindepth.The applications are the modeling of complex systems of conductors (non-simply connected regions) taking intoaccount the connections between regions (volume / wireframe, surface / wired volume / surface and surface /surface).

CETTE THESE RASSEMBLE DIVERSES CONTRIBUTIONS MATHEMATIQUES ET NUMERIQUES A LA CHIMIE QUANTIQUE. LE CHAPITRE 1 EST CONSACRE A UNE PRESENTATION DE L'ESPRIT ET DES MODELES DE LA CHIMIE QUANTIQUE. LE CHAPITRE 2 TRAITE DE LA CONVERGENCE D'ALGORITHMES POUR LA RESOLUTION DES EQUATIONS DE HARTREE-FOCK. LES CHAPITRES SUIVANTS PORTENT SUR DES PROBLEMES SPECIFIQUES AUX SYSTEMES MOLECULAIRES IN SITU, C'EST-A-DIRE EN INTERACTION AVEC UN ENVIRONNEMENT EXTERIEUR. UNE PREMIERE APPROCHE POUR SIMULER LES EFFETS D'ENVIRONNEMENT CONSISTE A TRAITER L'INTERACTION ENTRE LE SYSTEME MOLECULAIRE ET LE MILIEU EXTERIEUR COMME UNE PERTURBATION. AU CHAPITRE 3, ON ETEND LA THEORIE DES PERTURBATIONS DES OPERATEURS LINEAIRES AU CADRE NON LINEAIRE DU MODELE DE HARTREE-FOCK. L'INTERACTION D'UN SYSTEME MOLECULAIRE AVEC UN ENVIRONNEMENT EST SOUVENT UN PROCESSUS DYNAMIQUE. C'EST LE CAS BIEN EVIDEMMENT DES QU'ON ETUDIE UNE REACTION CHIMIQUE. LE CHAPITRE 4 CONSISTE EN L'ANALYSE MATHEMATIQUE D'UNE DES APPROXIMATIONS DE L'EQUATION DE SCHODINGER DEPENDANT DU TEMPS QUI DECRIT LA DYNAMIQUE DU SYSTEME : LE MODELE DE HARTREE-FOCK NON ADIABATIQUE. LA QUASI-TOTALITE DES REACTIONS CHIMIQUES INTERESSANT L'INDUSTRIE OU LES SCIENCES DE LA VIE SE DEROULENT EN PHASE LIQUIDE, OU LES EFFETS DE SOLVANTS JOUENT UN ROLE DETERMINANT. LES CHAPITRES 5, 6 ET 7 CONCERNENT LA RESOLUTION NUMERIQUE DES MODELES DE CONTINUUM QUI SONT LES MODELES DE SOLVATATION OFFRANT A L'HEURE ACTUELLE LE MEILLEUR COMPROMIS ENTRE QUALITE DES RESULTATS ET TEMPS DE CALCUL.

Ces dernières années, la Méthode Intégrale de Volume (MIV) a reçu une attention particulière pour lamodélisation des problèmes électromagnétiques en basse fréquence. Son intérêt principal est l’absencedu maillage de la région air, ce qui rend la méthode légère et rapide. Associée aux méthodes decompression matricielle la MIV devient aujourd'hui une alternative compétitive à la méthode deséléments finis pour la modélisation de dispositifs électromagnétiques ayant un volume d'airprépondérant.Ce rapport porte sur le développement de deux formulations intégrales de volume pour la résolution deproblèmes magnétostatiques avec prise en compte des matériaux non linéaires, des aimants, desbobines, des circuits magnétiques avec ou sans entrefer et des régions minces magnétiques. Lapremière est une formulation en flux de mailles indépendantes basée sur l'interpolation par éléments defacette. La deuxième est une formulation en potentiel vecteur magnétique basée sur l'interpolation paréléments d'arête. L'application de ces formulations permet d’une part d'obtenir des résultats précismême en présence d’un faible maillage et d’autre part de résoudre aisément des problèmes nonlinéaires. Des méthodes de calcul de la force magnétique globale ainsi que du flux magnétique dansles bobines ont été également mises en oeuvre. Les développements informatiques ont été réalisés dansla plateforme MIPSE et ont été validés sur des problèmes académiques ainsi que sur quelquesdispositifs industriels. / In recent years, the Volume Integral Method (VIM) has been received particular attention formodeling of low frequency electromagnetic problems. The main advantage of this method is thatinactive regions do not to be discretized, which makes it light and rapid. Associated with matrixcompression methods, the VIM is a competitive alternative to the finite element method for modelingelectromagnetic devices containing a predominant air volume.This PhD thesis focuses on the development of two volume integral formulations for solvingmagnetostatic problems, in the presence of nonlinear materials, magnets, coils, multiply connectedmagnetic regions, and the presence of magnetic shielding. The first one is a mesh magnetic fluxformulation based on the interpolation of facet elements and the second one is a magnetic vectorpotential formulation based on the interpolation of edge elements. The application of theseformulations provides accurate results even with coarse meshes and allows solving straightforwardnonlinear magnetostatic problems. Methods for computing global magnetic force and magnetic fluxthrough a coil were also implemented as part of this work. Developments performed in the MIPSEplatform were validated on academic case-tests as well as some industrial devices.

Depuis de nombreuses années, le givrage a été identifié comme un danger dans le domaine de l’aéronautique.L’accrétion de givre se produit lorsque des gouttelettes d’eau surfondue se déposent sur une surface, enparticulier le bord d’attaque d’une aile ou la lèvre d’entrée d’air moteur, et gèlent après l’impact. Ceci peutensuite engendrer une dégradation des performances aérodynamiques, un dysfonctionnement des sondes ouencore un endommagement du moteur. C’est pourquoi cette problématique est étudiée avec attention. Lesessais en vol et en soufflerie étant longs et coûteux, la simulation numérique de l’accrétion de givre est devenueun outil nécessaire dans le processus de conception et de certification des avions. Cette thèse s’inscrit dans le contexte de la modélisation 3D de l’accrétion de givre, et plus particulièrement des couches limites dynamique et thermique qui se développent autour du corps givré. Les outils numériques devant être rapides et robustes, l’approche proposée dans cette thèse pour le calcul aérodynamique est une méthode couplée Euler/couche limite intégrale. Ainsi, un modèle intégral est développé pour représenterle développement de la couche limite dynamique. La partie thermique est modélisée soit par une méthodesimplifiée basée sur des approches algébriques, soit par une méthode intégrale. Cette modélisation des coucheslimites dynamique et thermique est valable sur paroi lisse ou rugueuse et permet de fournir notamment lecoefficient de frottement et le coefficient d’échange thermique qui sont nécessaires pour un calcul d’accrétion degivre. Les équations intégrales de couche limite, associées à leurs relations de fermeture, sont ensuite résoluespar une méthode Volumes-Finis sur maillage surfacique non structuré, qui est bien adaptée pour les géométriescomplexes. De plus, des traitements numériques spécifiques sont mis en œuvre pour améliorer la précision dela méthode au voisinage du point d’arrêt et pour rendre le code robuste au passage du décollement.Après la validation de la méthode de couche limite, le code est utilisé dans les chaînes de givrage 2D et 3Dde l’ONERA pour des applications d’accrétion de givre. Ceci permet de montrer l’intérêt de la méthode entermes de robustesse et de précision par rapport aux codes de couche limite habituellement utilisés dans lescodes de givrage actuels. / Icing has since long been identified as a serious issue in the aeronautical world. Ice accretion occurs whensupercooled water droplets impinge on a surface, particularly the leading edge of a wing or an engine inlet, andfreeze after the impingement. This can lead to degradation of aerodynamic performances, sensor malfunctionor engine damage. This is why this issue is being carefully studied. The lengthy and costly flight and windtunnel tests have made numerical simulation of ice accretion a necessary tool in the aircraft design andcertification process. The present work deals with the 3D numerical modeling of ice accretion, and more particularly the modeling of the dynamic and thermal boundary layers that develop around an iced body. Since numerical tools must befast and robust, the approach proposed in this thesis for aerodynamic computation is a coupled Euler/integralboundary layer method. Thus, an integral model is developed to represent the development of the dynamicboundary layer. The thermal part is modeled either by a simplified method based on algebraic approaches,or by an integral method. This modeling of the dynamic and thermal boundary layers is valid on smoothor rough walls and provides the friction coefficient and heat exchange coefficient that are necessary for thecalculation of ice accretion. The integral boundary layer equations, associated with their closure relations,are then solved by a Finite-Volume method on unstructured surface mesh, that is well suited for complexgeometries. In addition, specific numerical treatments are implemented to improve the accuracy of the methodin the vicinity of the stagnation point and to make the code robust to separated boundary layers.After validation of the boundary layer method, the code is used in ONERA’s 2D and 3D icing tools foricing applications. This demonstrates the value of the method in terms of robustness and accuracy comparedto the boundary layer codes more commonly used in current icing tools.

La théorie des bifurcations est utilisée pour étudier certains aspects des systèmes dynamiques qui intervient lorsqu'un petit changement d'un paramètre physique produit un changement majeur dans l'organisation du système. Ces phénomènes ont lieu dans les systèmes physiques, chimiques, biologiques, écologiques, économiques et sociaux. Cette idée unificatrice a été appliquée pour modéliser et explorer à la fois tant les systèmes sociaux que les systèmes physiques. Dans la première partie de cette thèse, nous appliquons les outils de la physique statistique et de la théorie des bifurcations pour modéliser le problème des décisions binaires dans les sciences sociales. Nous avons mis au point un schéma permettant de prédire l’apparition de sauts extrêmes dans ces systèmes en se basant sur la notion de précurseurs, utilisés comme signal d'alerte d'apparition de ces événements catastrophiques. Nous avons également résolu un modèle mathématique d’effondrement social fondé sur une équation de "régression logistique" utilisée pour décrire la croissance d’une population et la façon dont celle-ci peut être influencée par des ressources limitées. Ce modèle présente des bifurcations sous-critiques et nous avons étudié sa relation avec le phénomène social du « sunk-cost effect » (effet de coût irrécupérable). Ce dernier phénomène explique l’influence des investissements passés sur les décisions présentes, et la combinaison de ces deux phénomènes est utilisé comme modèle pour expliquer la désintégration de certaines sociétés anciennes (basés sur des témoignages archéologiques). Dans la deuxième partie de cette thèse, nous étudions les systèmes macroscopiques décrits par des équations différentielles stochastiques multidimensionnelles ou, de manière équivalente, par les équations multidimensionnelles de Fokker-Planck. Afin de calculer la fonction de distribution de probabilité (PDF), nous avons introduit un nouveau schéma alternatif de calcul basé sur les intégrales de chemin (« Path Integral ») lié aux processus stochastiques. Les calculs basés sur les intégrales de chemin sont effectués sur des systèmes uni et bidimensionnels et successivement comparés avec certains modèles dont on connaît la solution pour confirmer la validité de notre méthode. Nous avons également étendu ce schéma pour estimer le temps d’activation moyen (« Mean Exit Time »), ce qui a donné lieu à une nouvelle expression de calcul pour les systèmes à dimension arbitraire. A` noter que pour le cas des systèmes dynamiques à deux dimensions, les calculs de la fonction de distribution de probabilité ainsi que du temps de sortie moyen ont validé le schéma des intégrales du chemin. Ça vaut la peine de souligner que la perspective de poursuivre cette ligne de recherche repose sur le fait que cette méthode est valable pour les « non gradient systems » assujettis à des bruits d'intensité arbitraires. Cela ouvre la possibilité d'analyser des situations plus complexes où, à l'heure actuelle, il n'existe aucune méthode permettant de calculer les PDFs et/ou les METs. / Bifurcations in continuous dynamical systems, i.e., those described by ordinary differential equations, are found in a multitude of models such as those used to study phenomena related to physical, chemical, biological, ecological, economic and social systems. Using this concept as a unifying idea, in this thesis, we apply it to model and explore both Social as well as Physical systems. In the first part of this thesis we apply tools of statistical physics and bifurcation theory to model a problem of binary decision in Social Sciences. We find an scheme to predict the appearance of extreme jumps in these systems based on the notion of precursors which act as a kind of warning signal for the upcoming appearance of these catastrophic events. We also solve a mathematical model of social collapse based on a logistic re-growing equation used to model population grow and how limited resources change grow patterns. This model exhibits subcritical bifurcations and its relation to the social phenomenon of sunk-cost effect is studied. This last phenomenon explains how past investments affect current decisions and the combination of both phenomena is used as a model to explain the disintegration of some ancient societies, based on evidence from archeological records. In the second part of this thesis, we study macroscopic systems described by multidimensional stochastic differential equations or equivalently by their deterministic counterpart, the multidimensional FokkerPlanck equation. A new and alternative scheme of computation based on Path Integrals, related to stochastic processes is introduced in order to calculate the Probability Distribution Function. The computations based on this Path Integral scheme are performed on systems in one and two dimensions and contrasted to some soluble models completely validating this method. We also extended this scheme to the case of computation of Mean Exit Time, finding a new expression for each computation in systems in arbitrary dimensions. It is worth noting that in case of two-dimensional dynamical systems, the computations of both the probability distribution function as well as of the mean exit time validated the Path Integral scheme and the perspective for continuing this line of work are based on the fact that this method is valid for both arbitrary non gradient systems and noise intensities. This opens the possibility to explore new cases, for which no methods are known to obtain them.