La première partie de cette thèse porte sur l’étude de la marche aléatoire sur le tore Td := Rd/Zd définie par une mesure de probabilité SLd(Z). Pour étudier le Théorème Central Limite et la loi du logarithme itéré, nous appliquons la méthode de Gordin qui consiste à se ramener à des martingales. Pour cela, nous utilisons un résultat de Bourgain, Furmann, Lindenstrauss et Mozes nous permettant de résoudre l’équation de Poisson pour des points ayant de bonnes propriétés diophantiennes. Dans la deuxième partie, nous étudions la marche sur Rd\{0} définie par l’action de SLd(R) et nous montrons un résultat de vitesse de convergence dans le théorème de renouvellement de Guivarc’h et Le Page. / The first part of this thesis deals with the random walk on the torus Td := Rd/Zd defined by a robability measure on SLd(Z). To study the Central Limit Theorem and the Law of the Iterated Logarithm, we apply Gordin’s method. To do so, we use a result proved by Bourgain, Furmann, Lindenstrauss and Mozes to solve Poisson’s equation at point’s having good diophantine properties.In the second part, we study the walk on Rd \ {0} defined by the action of SLd(R) and we prove a result about the rate of convergence in Guivarc’h and Le Page’s renewal theorem.

L’un des principaux objectifs de la physique des réacteurs nucléaires est de caractériser la répartition aléatoire de la population de neutrons au sein d’un réacteur. Les fluctuations de cette population sont liées à la nature stochastique des interactions des neutrons avec les noyaux fissiles du milieu : diffusion, capture stérile, ou encore émission de plusieurs neutrons lors de la fission d’un noyau. L’ensemble de ces mécanismes physiques confère une structure aléatoire branchante à la trajectoire des neutrons, alors modélisée par des marches aléatoires. Avec environs 10⁸ neutrons par centimètre cube dans un réacteur de type REP à pleine puissance en conditions stationnaires, les grandeurs physiques du système (flux, taux de réaction, énergie déposée) sont, en première approximation, bien représentées par leurs valeurs moyennes respectives. Ces observables physiques moyennes obéissent alors à l’équation de transport linéaire de Boltzmann. Au cours de ma thèse, je me suis penchée sur deux aspects du transport qui ne sont pas décrits par cette équation, et pour lesquels je me suis appuyée sur des outils issus de la théorie des marches aléatoires. Tout d’abord, grâce au formalisme de Feynman-Kac, j’ai étudié les fluctuations statistiques de la population de neutrons, et plus particulièrement le phénomène de « clustering neutronique », qui a été mis en évidence numériquement pour de faibles densités de neutrons (typiquement un réacteur au démarrage). Je me suis ensuite intéressée à différentes propriétés de la statistique d’occupation des neutrons effectuant un transport anormal (càd non-exponentiel). Ce type de transport permet de modéliser le transport dans des matériaux fortement hétérogènes et désordonnés, tel que les réacteurs à lit de boulets. L’un des aspects novateurs de ce travail est la prise en compte de la présence de bords. En effet, bien que les systèmes réels soient de taille finie, la plupart des résultats théoriques pré-existants sur ces thématiques ont été obtenus sur des systèmes de taille infinie. / One of the key goals of nuclear reactor physics is to determine the distribution of the neutron population within a reactor core. This population indeed fluctuates due to the stochastic nature of the interactions of the neutrons with the nuclei of the surrounding medium: scattering, emission of neutrons from fission events and capture by nuclear absorption. Due to these physical mechanisms, the stochastic process performed by neutrons is a branching random walk. For most applications, the neutron population considered is very large, and all physical observables related to its behaviour, such as the heat production due to fissions, are well characterised by their average values. Generally, these mean quantities are governed by the classical neutron transport equation, called linear Boltzmann equation. During my PhD, using tools from branching random walks and anomalous diffusion, I have tackled two aspects of neutron transport that cannot be approached by the linear Boltzmann equation. First, thanks to the Feynman-Kac backward formalism, I have characterised the phenomenon of “neutron clustering” that has been highlighted for low-density configuration of neutrons and results from strong fluctuations in space and time of the neutron population. Then, I focused on several properties of anomalous (non-exponential) transport, that can model neutron transport in strongly heterogeneous and disordered media, such as pebble-bed reactors. One of the novel aspects of this work is that problems are treated in the presence of boundaries. Indeed, even though real systems are finite (confined geometries), most of previously existing results were obtained for infinite systems.

Un automate cellulaire probabiliste (ACP) est une chaîne de Markov sur un espace symbolique. Le temps est discret, les cellules évoluent de manière synchrone, et le nouvel état de chaque cellule est choisi de manière aléatoire, indépendamment des autres cellules, selon une distribution déterminée par les états d'un nombre fini de cellules situées dans le voisinage. Les ACP sont utilisés en informatique comme modèle de calcul, ainsi qu'en biologie et en physique. Ils interviennent aussi dans différents contextes en probabilités et en combinatoire. Un ACP est ergodique s'il a une unique mesure invariante qui est attractive. Nous prouvons que pour les AC déterministes, l'ergodicité est équivalente à la nilpotence, ce qui fournit une nouvelle preuve de l'indécidabilité de l'ergodicité pour les ACP. Alors que la mesure invariante d'un AC ergodique est triviale, la mesure invariante d'un ACP ergodique peut être très complexe. Nous proposons un algorithme pour échantillonner parfaitement cette mesure. Nous nous intéressons à des familles spécifiques d'ACP, ayant des mesures de Bernoulli ou des mesures markoviennes invariantes, et étudions les propriétés de leurs diagrammes espace-temps. Nous résolvons le problème de classification de la densité sur les grilles de dimension supérieure ou égale à 2 et sur les arbres. Enfin, nous nous intéressons à d'autres types de problèmes. Nous donnons une caractérisation combinatoire des mesures limites pour des marches aléatoires sur des produits libres de groupes. Nous étudions les mesures d'entropie maximale de sous-décalages de type fini sur les réseaux et sur les arbres. Les ACP interviennent à nouveau dans ce dernier travail.