Orientador: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Juliano Gonçalves Oler / Banca: Jéfferson Luiz Rocha Bastos / Resumo: O objetivo deste trabalho é ampliar os conhecimentos sobre números complexos já adquiridos no ensino médio. Diversas formas de representação e propriedades operatórias são abordadas. Para este fim, primeiramente, os números complexos são definidos a partir do conceito de matrizes quadradas de ordem 2, e portanto, serão definidos como pares ordenados de números reais. Na sequência, a partir da apresentação geométrica dos conceitos e operações, é estudado o plano complexo estendido, as Transformações de Möbius e a Projeção Estereográfica / Abstract: The objective of this paper is to extend the concepts of complex numbers already acquired in high school. Many forms of representation and operative properties are used. For that, first, the complex numbers are defined from the concept of square matrices of order 2, and will therefore be defined as ordered pairs of real numbers. Following, from the geometric presentation of concepts and operations, it is studied the extended complex plane, the M¨obius Transformations and the Stereographic Projection / Mestre

Orientador: Jéfferson Luiz Rocha Bastos / Banca: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Juliano Gonçalves Oler / Resumo: O objetivo deste trabalho e apresentar aos alunos do Ensino Médio um roteiro para a construção de gráficos de funções polinomiais do terceiro grau utilizando conceitos básicos de limites e derivadas, que não costumam ser trabalhados na Educação Básica. A maneira proposta provém da necessidade de se ampliar o entendimento de conteúdos que o aluno utiliza sem se aprofundar em sua origem, muitas vezes memorizando as técnicas sem, de fato, compreendê-las. Para tal objetivo, fazemos uma análise das principais de nifições e teoremas relacionados a sequências, limites e derivadas. Em seguida, há o estudo das variações das funções e, por fim, a proposta de um roteiro para a construção de gráficos / Abstract: This work aims to introduce some guidelines to High School students in order to build on third degree polynomial function graphs. It is intended to use basic concepts of limit and derivatives, which are not usually taught at Junior School. The suggested approach outlines the necessity of enlarging and improving the understanding of syllabus that is used by the student with no adequate knowledge of its origin, and occasionally trying to know techniques by heart without understanding them. Thus, we do an analysis of the main de nitions and theorems related to sequences, limit and derivatives. Afterwards, there is the study of function variation and, nally, the proposed guidance to graph construction / Mestre

Orientador: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: German Jesus Lozada Cruz / Banca: Tiago de Carvalho / Resumo: Este trabalho tem por objetivo estudar os máximos e mínimos de funções de uma e de duas variáveis reais, bem como apresentar uma proposta para estudo dos pontos extremos de funções quadráticas no Ensino Médio. Para tanto, estudamos a existência de valores máximos e mínimos de funções contínuas, culminando na demonstração do Teorema de Weierstrass. Posteriormente, fazemos um estudo detalhado para funções deriváveis, evidenciando resultados conhecidos, como os Testes de Derivadas e, exemplificando tais resultados através de exemplos de aplicação direta e problemas clássicos voltados para otimização. Por fim, propomos material para o estudo dos máximos e mínimos de funções quadráticas, visando o trabalho com vértice de parábolas e fixação do conteúdo através de diversas situações problemas que tendem a chamar atenção dos alunos pelo fato de não serem totalmente abstratas / Abstract: This work aims to study the maximum and the minimum for functions of one and two real variables, as well as submit a proposal to study the extreme points of quadratic functions in high school. Therefore, we study the existence of maximum and minimum values of continuous functions, culminating with the proof of Weierstrass Theorem. Later on, we perform a detailed study for derivable functions, showing results known as the Derived Test and exemplifying such Examples of results through direct application and classical problems in optimization. Finally, we propose materials for studying the maximum and minimum of quadratic functions, aimed parabolas working with vertex and determining their content via various problem situations that tend to draw students' attention by not being totally abstract / Mestre

Orientador: José Roberto Nogueira / Banca: Suetônio de Almeida Meira / Banca: Aline Cristina Soterroni / Resumo: As equações de diferenças têm aplicações na Matemática (Geometria Fractal, por exemplo), na Economia, na Farmacologia, entre outras áreas. Elas são usada para modelar sistemas dinâmicos que evoluem em intervalos de tempo discretos. As equações de diferenças também são chamadas de recorrências e podem ser resolvidas através de interações. O principal objetivo deste trabalho é fazer um estudo sobre as equações de diferenças de 1ª e 2ª ordem. Apresentam-se os principais resultados teóricos bem como os métodos de resolução. Destaca-se o uso dos operadores diferença e antidiferença para resolver equações de diferenças de 1ª ordem e, do operador deslocamento, para resolver equações de diferenças de 2ª ordem, em particular, as de coeficientes constantes. Faz-se também um estudo do comportamento das soluções das equações de diferenças. Apresenta-se como exemplos de aplicações em sala de aula, situações problema contextualizadas, como o Triângulo de Sierpinski, a Torre de Hánoi e a Sequência de Fibonacci, que servem de base para o material didático voltado para o Ensino médio, que propõe atividades que favorecem o uso da tecnologia, através do software GeoGebra, de materiais concretos e da modelagem matemática / Abstract: The equations of differences have applications in Mathmatics (Fractal geometry, for example), in Economy, in Pharmacology, among other subjects. They are used to modeliny dynamical systems that evolute in discrete time intervals. The equations of differences also are called recurrences and can be resolved through iterations. The main objective of this work is to have a study about equations of differences of 1st and 2nd degreed. The main theoretical results and the resolutions methods are showed. The used of difference operators and anti difference operators to resolve the equations of differencesof 1st order and the displacement operator are highlighted, to resolve the equations of differences of 2nd order, in particular, the constant coefficients. Also a behavior study of the equations of differences solutions is made example of applications in the classroom are presented such as contextualized problem situations like the Sierpinski Triangle, the Hanoi Tower and the Fibonacci Sequence, serving as a basis of technology through the GeoGebra Software, of concrete materials and mathematical modeling / Mestre

Orientador: Aylton Pagamisse / Banca: Rui Marcos de Oliveira Barros / Banca: Marco Antonio Piteri / Resumo: Os logaritmos foram criados, na primeira metade do século XVII, para facilitar os cálculos matemáticos tornando-se um instrumento de cálculo eficiente, pois tem como propriedade fundamental transformar produtos em soma. Atualmente, mesmo com o uso de modernas máquinas de calcular ao alcance de todos, sua importância não é menor do que foi no passado, pois está relacionada a vários fenômenos naturais. Apesar das diversas aplicações, além da Matemática Financeira (juros simples e contínuos) há também aplicações na Física, Química, Biologia, Geografia e Música. Na minha experiência profissional, resolver problemas que inclua os logaritmos é considerado complicado por muitos estudantes, que não compreendem seu conceito e nem a sua utilidade. O presente trabalho trata de uma abordagem para solucionar situaçõesproblemas envolvendo os logaritmos, através de um esquema de resolução que explora os detalhes do enunciado, organizando os dados relevantes, a transposição para a linguagem matemática e desenvolvimento dos cálculos até a resposta final. Para atingir tal objetivo, é feito uma revisão do surgimento dos logaritmos, do conceito de potenciação, função exponencial, logaritmo como área e função logarítmica. Além disso, é apresentado o logaritmo aplicado em diversas áreas / Abstract: Logarithms were created in the first half of the seventeenth century, to facilitate the mathematics becoming an efficient calculation tool, it has become a fundamental property products sum. Currently, even with the use of modern calculators available to all, its importance is no less than in the past, because it is related to various natural phenomena. Despite several applications in addition to the Financial Mathematics (simple and continuous interest) there are also applications in physics, chemistry, biology, geography and music. In my professional experience, solve problems involving logarithms is considered complicated by many students who do not understand its concept nor its usefulness. This work is an approach to solving problem situations involving logarithms, through a resolution scheme that explores the details of the statement by organizing relevant data, transposed into mathematical language and development of calculations to the final answer. To achieve this goal, it is made a revision of emergence of logarithms, the concept of empowerment, exponential function, logarithm as area and logarithmic function. Moreover, the logarithm is shown applied in several areas / Mestre

Com o intuito de melhorar o ensino e a aprendizagem da Matemática nas escolas, buscamos investigar como tornar mais compreensível e interessante o estudo dos logaritmos no Ensino Médio e qual a possibilidade de se usar a Metodologia da Resolução de Problemas para isso. O percurso metodológico da investigação compreendeu estudos teórico sobre a Resolução de Problemas como metodologia de ensino; estudos detalhados sobre as potências e suas propriedades, bem como dos logaritmos; elaboração e aplicação de uma sequência de ensino envolvendo problemas de diversos tipos; análise e discussão dos resultados coletados. Os problemas foram dispostos de tal forma que os alunos puderam trabalhar com todos os conceitos e propriedades dos logaritmos necessárias para o Ensino Médio. A sequência foi aplicada para 23 estudantes do 1◦ ano do Ensino Médio, em uma escola cooperativa da cidade de Xanxerê - SC, o Colégio Intelectus. Para isso foram utilizadas 15 aulas de 50 minutos cada, sendo 13 para aplicação da sequência de ensino e 2 para aplicação dos testes avaliativos. Em sua grande maioria, as atividades foram desenvolvidas em grupos de 2 ou 3 pessoas. Os resultados foram obtidos através da análise qualitativa das anotações do diário de campo, que foram registradas pelo professor pesquisador após a realização de um questionário respondido pelos alunos no final do trabalho e análise quantitativa dos testes aplicados. Os resultados apontaram que o ensino de Logaritmos por meio da Resolução de Problemas despertou o interesse nos alunos pelo conteúdo e contribuiu para que a aprendizagem ocorresse dentro do esperado. Além disso, o trabalho contribui para a formação continuada do professor, melhorando e complementando, a sequência de ensino para aplicações de futuras novas turmas. / In order to improve the teaching and learning of mathematics at schools, we seek to investigate how to make it understandable and interesting study of logarithms in high school and what’s the possibility of using the Problem Solving Methodology for it. The methodological approach of the research comprised theoretical studies on the Troubleshooting and teaching methodology; detailed on the powers and properties studies as well as logarithms; development and implementation of a sequence of learning problems involving various types; analysis and discussion of the results listed. The problems have been arranged in a way that students might work with all concepts and properties of logarithms required for high school. The sequence was applied for 23 students from the first year of high school in a cooperative school called Intelectus in Xanxere SC. For this, it was used 15 lessons of 50 minutes each, 13 for applying the teaching sequence and two of them for the application of the evaluative tests. Most of the activities were conducted in groups of two or three students. The results were obtained through the qualitative analysis of daily notes, which were recorded by the teacher researcher after each meeting, qualitative analysis of a questionnaire answered by the students at the end of the work and quantitative analysis of the tests. The results showed that teaching logarithms by Troubles hooting sparked off interest in students and contributed to learning occurred according to the expected. Moreover, the work contributes to the continuing education of teachers, improving and complementing the teaching sequence for future new classes of applications.

Com o intuito de melhorar o ensino e a aprendizagem da Matemática nas escolas, buscamos investigar como tornar mais compreensível e interessante o estudo dos logaritmos no Ensino Médio e qual a possibilidade de se usar a Metodologia da Resolução de Problemas para isso. O percurso metodológico da investigação compreendeu estudos teórico sobre a Resolução de Problemas como metodologia de ensino; estudos detalhados sobre as potências e suas propriedades, bem como dos logaritmos; elaboração e aplicação de uma sequência de ensino envolvendo problemas de diversos tipos; análise e discussão dos resultados coletados. Os problemas foram dispostos de tal forma que os alunos puderam trabalhar com todos os conceitos e propriedades dos logaritmos necessárias para o Ensino Médio. A sequência foi aplicada para 23 estudantes do 1◦ ano do Ensino Médio, em uma escola cooperativa da cidade de Xanxerê - SC, o Colégio Intelectus. Para isso foram utilizadas 15 aulas de 50 minutos cada, sendo 13 para aplicação da sequência de ensino e 2 para aplicação dos testes avaliativos. Em sua grande maioria, as atividades foram desenvolvidas em grupos de 2 ou 3 pessoas. Os resultados foram obtidos através da análise qualitativa das anotações do diário de campo, que foram registradas pelo professor pesquisador após a realização de um questionário respondido pelos alunos no final do trabalho e análise quantitativa dos testes aplicados. Os resultados apontaram que o ensino de Logaritmos por meio da Resolução de Problemas despertou o interesse nos alunos pelo conteúdo e contribuiu para que a aprendizagem ocorresse dentro do esperado. Além disso, o trabalho contribui para a formação continuada do professor, melhorando e complementando, a sequência de ensino para aplicações de futuras novas turmas. / In order to improve the teaching and learning of mathematics at schools, we seek to investigate how to make it understandable and interesting study of logarithms in high school and what’s the possibility of using the Problem Solving Methodology for it. The methodological approach of the research comprised theoretical studies on the Troubleshooting and teaching methodology; detailed on the powers and properties studies as well as logarithms; development and implementation of a sequence of learning problems involving various types; analysis and discussion of the results listed. The problems have been arranged in a way that students might work with all concepts and properties of logarithms required for high school. The sequence was applied for 23 students from the first year of high school in a cooperative school called Intelectus in Xanxere SC. For this, it was used 15 lessons of 50 minutes each, 13 for applying the teaching sequence and two of them for the application of the evaluative tests. Most of the activities were conducted in groups of two or three students. The results were obtained through the qualitative analysis of daily notes, which were recorded by the teacher researcher after each meeting, qualitative analysis of a questionnaire answered by the students at the end of the work and quantitative analysis of the tests. The results showed that teaching logarithms by Troubles hooting sparked off interest in students and contributed to learning occurred according to the expected. Moreover, the work contributes to the continuing education of teachers, improving and complementing the teaching sequence for future new classes of applications.

Made available in DSpace on 2013-08-07T18:51:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 000397320-Texto+Completo-0.pdf: 991579 bytes, checksum: 1d51b203964c7521d8058a73d0b68edf (MD5) Previous issue date: 2007 / The aim of this research was investigate how to aid undergraduate students to overcome their difficulties regarding to Calculus subject, especially on Computer Science courses. After identify the lack of knowledge regarding to functions concepts as the main cause to student’s failure we proposed a group of activities in Modular Object- Oriented Dynamic Learning Environment (MOODLE). The set of activities were created using MOODLE as Virtual Class in order to help students to overcome their difficulties. It necessary work together with the discipline professor to maintain a tuning process between the virtual and the face-to-face class. The results showed us the possibilities of such environment and it pointed out some good self-study habits developed by students. / A pesquisa realizada buscou identificar as deficiências de conteúdos, em termos de pré-requisitos de Matemática do Ensino Médio, que os alunos ingressantes no ensino superior, especialmente aqueles que se dirigem à área de computação, apresentam. A partir dessa investigação, elaborou-se uma proposta de ações a serem realizadas por professores universitários, a fim de minimizar os índices de reprovação ou evasão dos alunos da disciplina de Cálculo “A” decorrentes da falta de conhecimento de conteúdos básicos que deveriam ser apreendidos no Ensino Médio. Esta dissertação apresenta uma proposta metodológica para conjugar esforços de professores e monitores da disciplina de Cálculo “A” na recuperação de conteúdos previamente identificados, mediante um conjunto de atividades desenvolvidas no ambiente MOODLE. Os resultados da pesquisa demonstraram que a utilização do ambiente MOODLE e a criação de uma Monitoria Virtual de apoio ao estudo, complementar à disciplina de Cálculo A, auxiliaram os alunos a desenvolver competências no sentido de superarem suas dificuldades com relação aos prérequisitos necessários para estudar e aprender os conteúdos de Cálculo “A”.

Made available in DSpace on 2013-08-07T18:51:55Z (GMT). No. of bitstreams: 1 000432491-Texto+Completo-0.pdf: 457876 bytes, checksum: afe879eaf91f6bc5490c99507ab7c67a (MD5) Previous issue date: 2011 / This dissertation aims to analyze the approach of this plane geometry in math books approved and distributed by National Book Program for Education (PNLD) in 2009. Currently, the textbook still represents an important tool in the teaching and learning, both for the teacher, and for the student and therefore must be critically examined for their qualification. The question investigated in this research is: What is the contribution of the approach plane geometry on the books distributed by PNLD 2009 for the development of geometric thinking in students? To support research, the history textbooks in Brazil and PNLD, and the van Hiele theory on the development of geometric thought, were considered. Indicators for the analysis of the books were set based on this theory. We analyzed the three most collections chosen by teachers. The analysis of these books shows a non-homogeneous distribution of examples that contribute to the objectives at each level of van Hiele theory, with few activities that contribute to the development of the last level of geometric thinking. Furthermore, we found great discrepancies in the number of examples presented in each book. / Esta dissertação tem por objetivo analisar a abordagem da geometria plana presente nos livros de Matemática aprovados e distribuídos pelo Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio (PNLD) em 2009. Atualmente, o livro didático ainda representa importante instrumento no processo de ensino e aprendizagem, tanto para o professor, quanto para o aluno e, por isso, deve ser criticamente analisado para a sua qualificação. A questão investigada na pesquisa é: Qual a contribuição da abordagem da geometria plana presente nos livros distribuídos pelo PNLD 2009 para o desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos? Para fundamentar a pesquisa, o histórico do livro didático no Brasil e do PNLD, e a teoria de van Hiele sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico, foram considerados. Indicadores para a análise dos livros foram definidos com base nessa teoria. Foram analisadas as três coleções mais escolhidas pelos professores. A análise desses livros mostra uma distribuição não homogênea de exemplos que contribuem para os objetivos em cada nível da teoria van Hiele, sendo poucas as atividades que contribuem para o desenvolvimento do último nível do pensamento geométrico. Além disso, foi encontrada discrepância na quantidade de exemplos significativos para o desenvolvimento do pensamento geométrico, apresentados em cada livro.

Made available in DSpace on 2013-08-07T18:51:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 000390105-Texto+Completo-0.pdf: 595003 bytes, checksum: b65efc6c9bb80a9d7bf33c337f9f0f95 (MD5) Previous issue date: 2006 / The 21st century society requires a complexity of significative information to the citizens’ social and professional life so that it promotes constant and systematic knowledge upgrade. Furthermore, analyses of mathematics curriculum frameworks in High School have emphasized the need to develop competences promoting the development of scientific thought as well as the acquisition of mathematical knowledge to be applied in different contexts. Due to problems faced by teachers to propose contextualized activities that make it possible to the student to mathematize situations and to match theory with practice, the need of identifying the main learning problems detected in high school students in Rio Grande do Sul emerges. The National Institute for Educational Research and Studies (INEP) has collected information since the 1990s about the performance of Brazilian students through the National Basic Education Evaluation System (SAEB), which is a national assessment that uses samples from both Elementary and High School. The research was undertaken with the help of a group of High School Mathematics teachers of a state school in Cachoeira do Sul, Rio Grande do Sul, Brazil.An action research was done aiming transformation: the improvement of mathematics classroom settings, teaching practice and consequently the teaching-learning process. Under such circumstances, the investigators have met every fortnight in sessions of study, reflection and evaluation, indicating the main deficiencies revealed by the investigated subjects from detailed analysis of SAEB/2003 test, which was answered by the students in the third grade of High School. The required abilities of every subject were also observed as well as the possible causes for their low achievement in the test and possible methodological and evaluative alternatives, which may be introduced in this context aiming to enhance the teaching-learning process in which students in this level have been involved with. The researchers proposed several methodological situations in order to contribute to the qualification of the Mathematics teaching-learning process, such as the replanning of teaching activities, the reorganization of group work, the use of technological resources and games in the classroom as well as the reorientation of the use of bibliographic resources. Aiming to observe the evolution of the students` knowledge, the researchers have pointed fundamental actions to the evaluative process and the criteria and parameters used, being observed the characteristics of the students involved. The researchers have also suggested evaluative alternatives such as the use of written reports and/or oral presentations, the use of a file card of personal register, of portfolia and self-evaluation activities, besides the written tests and the results of group work. The proposed suggestions and the correspondent evidence may contribute to the qualification of teachers` practice and to the Mathematics learning process. / A sociedade do século XXI requer uma complexidade de informações significativas para a vida social e profissional do cidadão que propicie a qualificação constante e sistemática do seu conhecimento. Por sua vez, as revisões curriculares no ensino de Matemática, em nível médio, têm enfatizado a necessidade de desenvolver competências promovendo o desenvolvimento do pensamento científico e a aquisição de saberes matemáticos para aplicação em diferentes contextos. Devido às dificuldades encontradas pelos professores em propor atividades contextualizadas que possibilitem ao aluno matematizar situações e estabelecer relações entre teoria e prática, surge a necessidade de identificar os principais problemas de aprendizagem em Matemática percebidos nos alunos de ensino médio das escolas públicas do Estado do RS. O INEP – Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais, desde a década de 90, obtém informações sobre o desempenho dos alunos brasileiros por meio do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica – SAEB, uma avaliação nacional que utiliza amostras do ensino fundamental e médio. O trabalho foi desenvolvido com um grupo de professoras da disciplina de Matemática de uma escola pública estadual de Cachoeira do Sul, RS – Brasil.O trabalho utilizou a abordagem metodológica da pesquisa-ação, com o interesse de transformação: melhorar a sala de aula, a prática docente e conseqüentemente o processo ensino aprendizagem. Para tanto, as pesquisadoras reuniram-se quinzenalmente em sessões de estudo, reflexão e avaliação, apontando as principais deficiências dos respondentes a partir da análise criteriosa dos itens da prova do SAEB – 2003 aplicada aos alunos da 3ª série do ensino médio. Foram observadas as habilidades pretendidas para cada conteúdo abordado, as possíveis causas do desempenho insatisfatório na resolução das questões e foram propostas alternativas metodológicas e avaliativas para serem introduzidas nesse contexto, visando a aperfeiçoar o processo de ensino e aprendizagem dos alunos nesse nível de ensino. As pesquisadoras propuseram diversas situações metodológicas no sentido de contribuir para a qualificação da aprendizagem no ensino da Matemática tais como o replanejamento das atividades de ensino, a reorganização do espaço de aprendizagem, a valorização dos trabalhos em grupo, a utilização dos recursos tecnológicos e jogos na sala de aula e a reorientação do emprego dos recursos bibliográficos. Empenhadas em acompanhar a evolução do conhecimento dos alunos, apontaram ações fundamentais para o processo avaliativo como a revisão dos critérios e parâmetros utilizados, observadas as características dos alunos envolvidos. Sugeriram ainda alternativas avaliativas como o emprego de relatórios escritos e/ou apresentações orais, o uso de ficha de registro pessoal, de portfólio e de auto-avaliação, além dos testes escritos e dos resultados de trabalho em grupo. As sugestões propostas e os argumentos correspondentes podem contribuir para a qualificação da prática do professor e da aprendizagem dos alunos em Matemática.