Cette thèse est consacrée à l'étude spectrale de l'opérateur solution canonique du dbar en liaison avec les opérateurs de Hankel dans le cas de plusieurs variables complexes.<br />Dans un premier temps, on étudie les propriétés spectrales de l'opérateur solution canonique du dbar restreint aux (0,1)-formes à coefficients holomorphes. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes, pour que l'opérateur solution canonique du dbar soit borné, compact et appartienne à la p-ème classe de Schatten, et ce dans le cas d'une ou plusieurs variables et pour toute une classe d'espaces de Hilbert contenant des espaces de Hilbert de fonctions holomorphes classiques comme des espaces de Bergman à poids, des espaces de Fock, des espaces de Sobolev de fonctions holomorphes, des espaces de Hardy-Sobolev, l'espace de Hardy ou l'espace invariant de Moebius. <br /><br /><br />Dans un second temps, on s'intéresse à l'existence d'un opérateur de Hankel défini sur un espace de Hilbert de fonctions holomorphes, de symbole antiholomorphe non trivial dans une classe de Schatten donnée et on cherche à étudier le rapport entre la croissance d'une fonction f et la taille des valeurs singulières de l'opérateur de Hankel induit par f-bar. <br /> Dans ce travail, on considère les grands opérateurs de Hankel de symbole antiholomorphe définis sur l'espace de Hardy du disque unité de C, l'espace de Dirichlet ou des espaces de Sobolev de fonctions holomorphes sur le disque unité de C. On donne d'abord une condition nécessaire et suffisante sur p pour que la p-ème classe de Schatten contienne un opérateur de Hankel de symbole antiholomorphe non trivial. Ensuite, on caractérise les fonctions f pour lesquelles l'opérateur de Hankel de symbole f-bar est un opérateur de Hilbert-Schmidt. En outre, on établit des conditions nécessaires sur f pour que l'opérateur induit par f-bar soit un opérateur borné, compact et appartienne à la p-ème classe de Schatten, excepté dans le cas de l'espace de Dirichlet.

Le point de départ de ce travail est l'étude de la géométrie d'un espace polonais remarquable construit par Urysohn en 1925, presque oublié pendant 60 ans puis très étudié depuis 1986, date à laquelle Katětov en a donné une nouvelle construction. Celle-ci est basée sur l'espace E(X) des fonctions de Katětov sur un espace métrique X. Ces fonctions sont l'outil majeur de cette thèse; nous caractérisons les polonais X tels que E(X) est séparable, puis utilisons E(X) pour montrer (répondant à une question d'A.S Kechris) que tout groupe compact métrisable est isométrique au groupe d'isométries d'un espace métrique compact. Nous utilisons ensuite ces techniques pour donner de nouveaux résultats sur la géométrie de l'espace d'Urysohn et sur ses isométries. Nous appliquons également notre travail à l'étude de divers problèmes de classification « définissables » ; en particulier, nous calculons la complexité borélienne de la relation d'isométrie entre espaces de Banach séparables.

La notion de preuves en programmation logique est examinée à deux niveaux différents. D'un point de vue externe, la "théorie classique" de la programmation logique est complètement formalisée dans le calcul des constructions inductives. Après avoir envisagé le problème de la définition de fonctions partielles dans un système dans lequel seules les fonctions totales sont représentables, l'unification est obtenue en réutilisant une preuve formelle existante portant sur un sur-ensemble des termes. Les propriétés fondamentales des SLD-résolution sont alors formalisées. Le niveau de détail imposé par la mécanisation des preuves considérées a mis en relief la complexité cachée de certaines preuves: le mécanisme de renommage est traité de manière explicite, transformant ainsi certaines certitudes théoriques en réalités. D'un point de vue interne, les preuves SLD,finies ou infinies, sont comparées à celles que l'on peut obtenir, par induction ou par co-induction, à partir des clauses d'un programme logique vues comme des règles d'inférence. Dans le cas fini la correspondance est complète ("ce que calcule un programme est prouvable") tandis que dans le cas infini, certains objets non calculables sont toutefois prouvables. Les propriétés classiques des définitions co-inductives et la comparaison de certaines dérivations infinies à des termes de preuve d'un type co-inductif, se révèlent utiles tant pour expliquer les résultats d'incomplétude d'approches existantes que pour définir une sémantique valide et complète pour une classe de dérivations infinies (précisement celles qui ne construisent pas de termes infinis).(résumé de l'auteur)

Cette thèse est consacrée à l'étude de problèmes statistiques d'estimation non paramétrique. Un signal bruité multidimensionnel est observé (par exemple une image dans le cas de la dimension deux) et nous nous fixons l'objectif de le reconstruire \emph{au mieux}.<br /><br />Pour réaliser ce but, nous nous plaçons dans le cadre de la théorie adaptative au sens minimax : nous cherchons un seul estimateur qui atteint simultanément sur chaque espace fonctionnel d'une collection la <>.<br /><br />Nous donnons un nouveau critère pour choisir une famille de normalisations optimale. Ce critère est plus sophistiqué que ceux introduits par Lepski (1991) puis Tsybakov (1998) et est mieux adapté au cas multidimensionnel.<br /><br />Ensuite, nous donnons deux résultats adaptatifs (en estimation ponctuelle) par rapport à deux collections différentes d'espaces de H

On développe ici l'analyse pseudodifférentielle des opérateurs agissant sur les fonctions à valeurs complexes sur k?, où k est un corps non archimédien. Cette étude met en jeu, pour commencer, une géné-ralisation au cas p--adique des méthodes obligatoires (calcul de Weyl, représentation d'Heisenberg) ou souhaitables (utilisation de familles d'états cohérents et caractérisation des classes d'opérateurs par leur action sur ces états) de l'analyse pseudodifférentielle. On en déduit une caractérisation "à la Beals" de classes d'opérateurs, ainsi qu'un calcul fonctionnel des opérateurs de poids un. L'absence d'opérateurs de dérivation interdit bien sûr tout développement "à la Moyal" de la composition de deux symboles: mais, utilisant la théorie des caractères multiplicatifs de k^(×), on donne une formule de composition reliant la décomposition en termes "homogènes" d'un produit f?f? aux décompositions de cette espèce de f? et f?

L'objet de cette thèse est l'étude de sous-groupes discrets de<br />$PU(2,1)$, groupe des isométries holomorphes de l'espace hyperbolique complexe de dimension (complexe) 2. On s'intéresse en particulier aux groupes engendrés par des transformations elliptiques, i.e. ayant un point fixe dans cet espace. <br /><br /> Les deux fils conducteurs de ce travail sont d'une part l'utilisation des sous-espaces lagrangiens (ou plans réels) ainsi que des réflexions associées (des involutions antiholomorphes), et de l'autre<br />l'étude et la compréhension des exemples de réseaux de $PU(2,1)$<br />construits par Mostow en 1980.

Mes travaux ont portés successivement sur:<br />- les flots d'Anosov en dimension 3,<br />- l'étude des (G,X)-structures, avec en premier plan les structures affines plates,<br />- la géométrie lorentzienne en courbure constante et leus aspects causaux.<br />Ce long mémoire recouvre tous ces sujets, en mettant en évidence leurs interconnexions.

Let E be a one-parameter family of elliptic curves over a number field. It is natural to expect the average root number of the curves in the family to be zero. All known counterexamples to this folk conjecture occur for families obeying a certain degeneracy condition. We prove that the average root number is zero for a large class of families of elliptic curves of fairly general type. Furthermore, we show that any non-degenerate family E has average root number 0, provided that two classical arithmetical conjectures hold for two homogeneous polynomials with integral coefficients constructed explicitly in terms of E.<br />The first such conjecture -- commonly associated with Chowla -- asserts the equidistribution of the parity of the number of primes dividing the integers represented by a polynomial. We prove the conjecture for homogeneous polynomials of degree 3.<br />The second conjecture used states that any non-constant homogeneous polynomial yields to a square-free sieve. We sharpen the existing bounds on the known cases by a sieve refinement and a new approach combining height functions, sphere packings and sieve methods.

Nous nous sommes penchés sur différents aspects des problèmes<br />d'optimisation stochastique qui, à notre connaissance, ont été peu<br />étudiés. Ainsi, nous nous sommes intéressés au problème de l'effet dual,<br />puis à la discrétisation des contraintes de mesurabilité, à la<br />résolution numérique de problèmes avec contraintes en information statique et enfin,<br />nous avons étudié les conditions d'optimalité d'un problème<br />d'optimisation stochastique, le but recherché étant de mieux<br />comprendre comment intervient la contrainte de mesurabilité dans la<br />caractérisation de la (ou des) solution(s) optimale(s). Notre approche<br />numérique du problème est originale de deux points de vue :<br />Elle utilise les topologies sur l'espace des sigma-algèbres<br /> pour mesurer la perte d'information due à la discrétisation de la<br /> contrainte de mesurabilité. L'étude de cet espace nous a permis entre<br /> autres d'apporter de nouveaux résultats qui constituent des éléments<br /> essentiels dans notre étude~;<br />Nous montrons que l'erreur de discrétisation provient de la<br /> contribution de deux termes d'erreur : une erreur issue de la <br /> discrétisation de la contrainte de mesurabilité et une autre erreur<br /> issue de l'approximation de l'espérance.<br /><br />Nous donnons dans ce mémoire des résultats asymptotiques de<br />convergence d'une suite de problèmes discrets vers le problème<br />d'origine. Nous avons également, sur des problèmes particuliers, des<br />résultats de type Lipschitz sur la fonction valeur. Par ailleurs,<br />l'étude des conditions d'optimalité nous a permis d'obtenir deux<br />possibilités différentes d'approche d'un problème de commande optimale<br />stochastique.

L'algorithme de complétion de Knuth-Bendix permet, dans certains<br />cas, d'utiliser les systèmes de réécriture pour décider le<br />problème du mot dans un monoïde. Le problème du mot est alors<br />réduit a un calcul de forme normale. Cependant, tous les monoïdes<br />décidables ne peuvent pas être résolus de cette façon. Un<br />programme, initie par Squier, vise a caractériser par des<br />invariants algébriques la classe des monoïde décidables par<br />réécriture.<br />L'objectif de cette thèse est d'étendre ce travail a la réécriture<br />de termes.<br />Nous établissons des conditions de finitude homologique pour<br />l'existence de présentations convergentes de type fini par<br />réécriture de termes de théories équationnelles du premier ordre<br />avec une sorte. Une théorie équationnelle est sémantiquement<br />décrite par une théorie algébrique au sens de Lawvere. Nous<br />introduisons l'homologie de ces théories à coefficients dans les<br />bimodules non additifs, comme généralisation de l'homologie de<br />MacLane des anneaux. Cette homologie admet une interprétation en<br />terme d'homologie de Hochschild-Mitchell de la petite catégorie<br />sous-jacente. Nous généralisons les résolutions libres de Squier<br />et Kobayashi, établies en réécriture de mots, à la réécriture de<br />petites catégories. En utilisant ces résolutions, nous montrons<br />qu'une théorie algébrique admettant une présentation convergente<br />de type fini est de type bi-$\mathrm(PF)_(\infty)$. Nous<br />construisons une théorie équationnelle, non unaire, décidable et<br />n'admettant pas de présentation convergente de type fini.