L'objet de cette thèse est la formulation et l'étude de modèles structurés de croissance dans un chemostat, qui est un appareil permettant la culture de micro-organismes dans des conditions très contrôlées. Plus particulièrement, nous serons intéressés par la description de la taille d'organismes phytoplanctoniques. Dans une première partie, nous donnons quelques précisions biologiques, présentons ensuite le dispositif expérimental, puis introduisons les modèles élémentaires utilisés pour la description mathématique du chemostat. La deuxième et principale partie de cette thèse commence par une introduction aux modèles structurés de populations, l'accent étant mis sur la description des populations cellulaires. Ensuite sont étudiés successivement des modèles discrets en temps détaillant de manière précise la division cellulaire, des modèles en équations différentielles ordinaires vérifiant la propriété dite de conservation de la matière, et enfin une classe de modèles ne vérifiant pas cette propriété. Nous terminons cette thèse par une ouverture sur les possibles applications à d'autres contextes du type de modélisation que nous développons.

Cette thèse étudie la catégorie dérivée du bloc principal du groupe fini GL(2,q) en caractéristique l. On dispose grâce à la théorie de Deligne-Lusztig de deux complexes Le et Ls. Si l est différent de 2 alors les l-sous-groupes de Sylow de GL(2,q) sont abéliens, je vérifie que si l divise q-1 (respectivement q+1) alors le complexe Le (respectivement Ls) induit une équivalence dérivée ``splendide'' entre la somme des blocs de défaut maximal de GL(2,q) et l'algèbre du normalisateur d'un l-sous-groupe de Sylow. Ceci vérifie la conjecture de Broué. Si l=2 et q est impair, alors les l-sous-groupes de Sylow de GL(2,q) ne sont pas abéliens. Je montre que si q est congru à 1 ou 7 modulo 8 alors il n'existe aucun sous-groupe local H de GL(2,q) tel que les blocs principaux de H et de GL(2,q) sont de même type. Si q est congru à 3 ou 5, je considère le normalisateur dans GL(2,q) d'un sous-groupe de Sylow de SL(2,q). Je montre que son bloc principal est de même type que celui de GL(2,q) puis que ces deux blocs sont reliés par une équivalence dérivée ``splendide''. J'utilise ensuite la théorie des A-infini-algèbres. A partir des complexes Le et Ls je construis une A-infini-algèbre minimale dont la catégorie dérivée est équivalente à celle du bloc principal de GL(2,q). Il s'agit donc d'une algèbre associative graduée munie d'une structure supplémentaire. Cette construction généralise la construction des équivalences splendides effectuée dans les cas où les sous-groupes de Sylow sont abéliens. Je donne une description complète des A-infini-algèbres obtenues en considérant PGL(2,q) plutôt que GL(2,q). Je montre en particulier que les applications m(n) (pour n>2) donnant la A-infini-structure supplémentaire sont nulles pour n>3.

Ma thèse porte sur l'étude des couches limites et de perturbations singulières (\textit{i.e.} des problèmes caractérisés par la présence d'un petit paramètre qui tend vers zéro) dans des conditions plus délicates que d'habitude, à savoir lorsque la solution limite n'est pas régulière. Je considère ainsi deux classes de problèmes réguliers associes à un laplacien et à un bilaplacien, et un problème non linéaire dérivé du problème de Plateau (surfaces minimas), pour lequels la fonction limite possède une singularité (discontinuité simple pour les premiers problèmes, dérivée normale infinie sur certaines parties de la frontière pour le second).\\ La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude de deux modèles linéaires singuliers associés à des perturbations singulières pour des EDPs ayant une fonction source singulière. Ce type d'équations fait l'objet de plusieurs applications, par exemple les problèmes de flambement en élasticité, les tourbillons singuliers en mécanique des fluides, le problème de la charge critique pour une poutre ou une plaque élastoplastique, le problème du contrôle automatique de la trajectoire d'un mobile et le problème du bord arrière pour l'écoulement autour d'une aile. De manière classique, la présence d'un petit paramètre dans des équations aux dérivées partielles entraîne, dans certains cas, l'apparition d'une couche limite classique près du bord du domaine pour la solution dite régularisée. Cependant, si on considère en plus une fonction source discontinue (voire une distribution), on constate que de nouvelles couches limites apparaissent à l'intérieur du domaine; l'étude de celles-ci constitue le principal but de cette première partie. Dans la deuxième partie, on s'intéresse à l'étude du problème des surfaces minimales sur une couronne. Pour certaines classes de données au bord, ce problème n'admet pas de solution et sa solution faible dite ``généralisée'' admet une dérivée infinie. On introduit alors une méthode de régularisation elliptique qui entraîne une couche limite près du bord. Le résultat fondamental de cette partie consiste à donner explicitement une approximation pour cette solution régularisée.

On établit la meilleure constante dans les inégalités de Sobolev sur une variété riemannienne compacte quelconque lorsque les fonctions considérées sont invariantes par un groupe d'isométries quelconque. On éablit également la meilleure constante dans le cas d'exception des inégalités de Sobolev pour des fonctions invariantes par un groupe d'isométries. La connaissance précise de ces constantes permet d'obtenir des résultats d'existence de solutions d'équation aux dérivées partielles. On se pose ensuite la question de l'existence d'une seconde meilleure constante, et on établit un théorème donnant cette existence sous certaines conditions, conditions permettant toutefois de répondre à certains problèmes ouverts, ainsi qu'à tous les cas constructibles. La démonstration de ce théorème oblige à développer des techniques pointues d'analyse, notamment une étude de phénomène de concentration d'une suite de solutions d'une EDP. La démonstration fait également intervenir des résultats portant sur la géométrie des orbites.

Cette thése est consacrée à l'étude du contrôle optimal et de l'homogénéisation de problèmes liés à l'équation de Stokes ainsi qu'au problème de torsion élastique. Pour chaque problème étudié, nous imposons un contrôle à l'équation d'état. Ce contrôle appartient à un ensemble appelé ``ensemble de contrôles admissibles". On se donne une fonction coût qui dépend à la fois de l'état mais aussi du contrôle. Le contrôle optimal (unique) est la fonction dans l'ensemble de contrôles admissibles qui minimise la fonction coût pour tous les contrôles dans cette ensemble. On étudie alors le comportement limite de celui-ci. S'il admet une limite, on la caractérise si possible, comme étant le contrôle optimal associé au problème limite homogénéisé. Dans un premier temps, on étudie un problème de contrôle optimal dans un mélange de deux fluides. Ces deux fluides sont répartis périodiquement l'un par rapport à l'autre dans un domaine bi ou tridimensionnel. L'écoulement des deux fluides obéit aux équations de Stokes. Par la suite, on s'intéresse encore à un mélange de deux fluides visqueux incompressibles séparés par une interface qui oscille rapidement. Ce problème est régit par les équations de Stokes. Ensuite, on étudie le contrôle optimal pour les équations de Stokes dans les domaines perforés. On suppose que les perforations sont de taille plus petite qu'une période donnée. En dernier lieu, on est amené à étudier le contrôle optimal d'un problème de torsion élastique. Dans chacune de ces parties, on caractérise la limite du contrôle optimal comme étant le contrôle optimal du problème limite.

Cette these a pour theme la geometrie des courbes algebriques et de leur jacobienne (en caracteristique zero). Elle a, en particulier, pour objet l'etude du groupe engendre dans la jacobienne par les points de Weierstrass pour certaines courbes planes lisses de genre trois. Nous determinons ce groupe pour certaines familles de courbes de genre trois. Pour ce faire, nous procedons en deux etapes. Nous utilisons tout d'abord la geometrie de la courbe et de sa jacobienne pour restreindre le groupe cherche. Les restrictions obtenues par ces arguments geometriques s'avereront etre optimales. Pour demontrer cela, nous utilisons differentes techniques: dans la deuxieme partie, nous appliquons une descente explicite via une isogenie; dans la troisieme partie, nous utilisons des arguments de reduction modulo un nombre premier. Lorsque nous nous interessons a des familles, ces restrictions ``d'ordre geometrique'' s'obtiennent pour toute la famille. Par contre, les techniques mises en oeuvre lors de la seconde etape ne nous donnent le resultat que pour une courbe particuliere. Dans chaque cas, un argument de specialisation nous permet de conclure. De plus, nous determinons ce groupe pour la seule quartique, autre que le quartique de Fermat, possedant le nombre minimal de points de Weierstrass, a savoir douze; la encore, la geometrie de la jacobienne intervient dans la determination de ce groupe. Ces calculs nous permettent de donner des estimations sur le rang de ce groupe et sur la partie de torsion dans le cas d'une quartique generique, selon le nombre de points d'hyper-inflexion (c'est-a-dire de points de la courbe ou la tangente a multiplicite d'intersection quatre avec la courbe).

Le volume des simplexes hyperboliques joue un rôle important dans la connaissance du volume des variétés hyperboliques ainsi que dans d'autres domaines des mathématiques comme par exemple en arithmétique. Mais il est beaucoup plus difficile à calculer que le volume des simplexes euclidiens, et les résultats connus sont toujours partiels. Dans cette thèse, nous démontrons une généralisation aux simplexes hyperboliques finis et idéaux d'une formule utilisée par A. Connes pour calculer l'aire des triangles euclidiens et hyperboliques. Cette formule intégrale ne permet pas de calculer des valeurs précises, mais plutôt d'étudier des propriétés analytiques de la fonction volume des simplexes hyperboliques idéaux. C'est du moins l'application que nous en faisons. Cela se fait en paramétrant un simplexe idéal par ses sommets sur une sphère -- cette sphère sera le bord de l'espace hyperbolique dans les modèles de la boule de Poincaré ou de Klein. Plus précisément, nous développons une méthode de décomposition en harmoniques sphériques -- après en avoir décrit une base -- du volume d'un simplexe idéal en fonction de ses sommets. Nous détaillons ensuite cette méthode en dimensions 2 et 3, sans toutefois obtenir des formules définitives synthétiques. Nous avons en effet recours au logiciel de calcul formel Maple pour obtenir les premiers coefficients de la décomposition.

La classification de signaux en grande dimension rend nécessaire la sélection d'un petit nombre de structures caractéristiques pour représenter chaque signal. Les approximations non-linéaires donnent lieu à des représentations concises, parce qu'elles s'adaptent à la structure de chaque signal analysé. Leur emploi est prometteur. Une première partie du travail du thèse définit des représentations adaptatives rapides de signaux comme combinaisons linéaires d'atomes extraits d'un dictionnaire de vecteurs. A partir de l'algorithme de Matching Pursuit, plusieurs méthodes itératives sont proposées pour mettre en lumière les structures caractéristiques des signaux sonores. Le Matching Pursuit Harmonique décompose un signal en composantes harmoniques élémentaires. Le Matching Pursuit "Chirpé" extrait les variations de fréquence instantanée en tirant parti d'une analyse fine des crêtes du dictionnaire de Gabor multi-échelle. Les approximations fournies par le Matching Pursuit Haute-résolution préservent les transitoires des signaux analysés, en imposant des contraintes de résolution temporelle. Nous accélérons ces techniques en employant des sous-dictionnaires de maxima locaux. Notre travail est consacré dans un second temps à l'étude de l'"Analyse Discriminante Non-linéaire". Pour classifier des signaux, les méthodes d'Analyse Discriminante Linéaire réduisent la dimension en les projetant sur un sous-espace pré-déterminé. Une projection adaptative, en fonction du signal analysé, extrait de celui-ci des caractéristiques qui lui sont propres. Celles-ci le distinguent et permettent de le classifier efficacement. Nous déterminons la stratégie optimale de projection adaptative pour la classification de bruits gaussiens colorés. Afin de classifier des transitoires, nous explorons enfin une méthode utilisant les maxima du module de la transformée en ondelettes et des arbres de décision. Cette approche permet de surmonter les difficultés liées à l'invariance par translation des signaux à classifier.

Cette thèse se propose d'étudier sous divers points de vue les groupes d'automorphismes d'immeubles. Un de ses objectifs est de mettre en valeur les différences autant que les analogies entre les immeubles affines et non affines. Pour appuyer cette dichotomie, on y démontre que les groupes d'automorphismes d'immeubles non affines n'ont jamais de paire de Gelfand, contrairement aux immeubles affines. Dans l'autre sens, pour souligner l'analogie entre immeubles affines et non affines, on définit une nouvelle notion de bord combinatoire d'un immeuble. Dans le cas des immeubles affines, ce bord s'identifie au bord polyédral. On relie la construction de ce bord à d'autres constructions déjà existantes, par exemple, la compactification de Busemann du graphe des chambres. La compactification combinatoire est également isomorphe à la compactification par la topologie de Chabauty de l'ensemble des chambres, sous des hypothèses de transitivité. On relie aussi le bord combinatoire à un autre espace, généralisant une construction de F. Karpelevic pour les espaces symétriques : celle du bord raffiné d'un espace CAT(0).On démontre alors que les points du bord paramètrent les sous-groupes moyennables maximaux de l'immeuble, à indice fini près. Enfin, on prouve que l'action du groupe d'automorphismes d'un immeuble localement fini sur le bord combinatoire de ce dernier est moyennable, fournissant ainsi des résolutions en cohomologie bornée et des applications bord explicites. Ceci donne aussi une nouvelle preuve que ces groupes satisfont la conjecture de Novikov.

La théorie des pavages apériodiques a connu des développements rapides depuis les années 1980, avec la découvertes d'alliages métalliques cristallisant dans une structure quasi-périodique.Dans cette thèse, on étudie particulièrement deux méthodes de construction de pavages : par coupe et projection, et par substitution. Deux angles d'approche sont développés : l'étude de la fonction de complexité, et l'étude métrique de l'espace de pavages.Dans une première partie, on calcule l'asymptotique de la fonction de complexité pour des pavages coupe et projection, généralisant ainsi des résultats connus en dynamiques symbolique pour la dimension 1. On montre que pour un pavage coupe et projection canonique N sur d sans période, la complexité croît (à des constantes près) comme n à la puissance a, où a est un entier compris entre d et N-d.Ensuite, on se base sur une construction de Pearson et Bellissard qui construisent un triplet spectral sur les ensembles de Cantor ultramétriques. On suit leur construction dans le cas d'ensembles de Cantor auto-similaires. Elle s'applique en particulier aux transversales d'espaces de pavages de substitution.Enfin, on fait le lien entre la distance usuelle sur l'enveloppe d'un pavage et la complexité de ce pavage. Les liens entre complexité et métrique permettent de donner une preuve directe du fait suivant : la complexité des pavages de substitution apériodiques de dimension d croît comme n à la puissance d.La question de liens entre la complexité et la topologie (et pas seulement avec la distance) reste ouverte. Nous apportons cependant des réponses partielles dans cette direction.