Cette these a pour theme la geometrie des courbes algebriques et de leur jacobienne (en caracteristique zero). Elle a, en particulier, pour objet l'etude du groupe engendre dans la jacobienne par les points de Weierstrass pour certaines courbes planes lisses de genre trois. Nous determinons ce groupe pour certaines familles de courbes de genre trois. Pour ce faire, nous procedons en deux etapes. Nous utilisons tout d'abord la geometrie de la courbe et de sa jacobienne pour restreindre le groupe cherche. Les restrictions obtenues par ces arguments geometriques s'avereront etre optimales. Pour demontrer cela, nous utilisons differentes techniques: dans la deuxieme partie, nous appliquons une descente explicite via une isogenie; dans la troisieme partie, nous utilisons des arguments de reduction modulo un nombre premier. Lorsque nous nous interessons a des familles, ces restrictions ``d'ordre geometrique'' s'obtiennent pour toute la famille. Par contre, les techniques mises en oeuvre lors de la seconde etape ne nous donnent le resultat que pour une courbe particuliere. Dans chaque cas, un argument de specialisation nous permet de conclure. De plus, nous determinons ce groupe pour la seule quartique, autre que le quartique de Fermat, possedant le nombre minimal de points de Weierstrass, a savoir douze; la encore, la geometrie de la jacobienne intervient dans la determination de ce groupe. Ces calculs nous permettent de donner des estimations sur le rang de ce groupe et sur la partie de torsion dans le cas d'une quartique generique, selon le nombre de points d'hyper-inflexion (c'est-a-dire de points de la courbe ou la tangente a multiplicite d'intersection quatre avec la courbe).

La construction de la fonction L p-adique de Kubota-Leopoldt L[indice p](χω[exposant 1+β])(s) d'un caractère χ associé à un corps de nombres K par la méthode Daniel Delbourgo dans [Del09] permet de l'exprimer comme une série infinie à coefficients dans O[indice K] pour chaque branche β modulo p-1. Par cette méthode, inspirée par N. Alharbi, R. Kammoun et C.Ozel dans [AKO19] pour un corps quadratique imaginaire Q( √[c.-à-d. racine carrée](-D)) et par D. Delbourgo and Q. Chao dans [DC15] pour un corps cubique cyclique totalement réel de conducteur f = (a²+3b²)/4 et de discriminant D = f², ce mémoire a pour but de calculer numériquement le lambda invariant, noté par λ[indice p](χ), de la fonction L p-adique d'un caractère de Dirichlet χ de degré 4 à valeurs dans Z[exposant ×][indice p] sur l'extension quartique K sous-corps de Q(μ[indice ℓ]) pour ℓ ≡ 1 (mod 4) en utilisant le logiciel PARI/GP. Pour p = 5, on établira que λ[indice p](χ) = λ[indice p](χ⁻¹) pour χ⁻¹ l'inverse de χ. / The method given by Daniel Delbourgo in [Del09] allows us to write down an expansion of the p-adic L function L[subscript p](χω[superscript 1+β])(s) of a character χ associated to a number field K as an infinite series with coefficients in O[subscript K]. From this method, inspired by N. Alharbi, R. Kammoun and C. Ozel in [AKO19] for an imaginary quadratic field Q( √[i.e. square root](-D)) and by D. Delbourgo and Q. Chao in [DC15] for a totally real cyclic cubic field with conductor f = (a²+3b²)/4 and discriminant D = f², the aim of this thesis is to compute numerically the lambda invariant, denoted by λ[subscript p](χ), of the p-adic L function for a Dirichlet character χ of degree 4 with Z[superscript ×][subscript p] -values over the quartic extension K subfield of the cyclotomic extension Q(μ[subscript ℓ]) for ℓ ≡ 1 (mod 4) using PARI/GP. For p = 5, we will etablish that λ[subscript p](χ) = λ[subscript p](χ⁻¹) for χ⁻¹ the inverse of χ.

Une variété algébrique est dite unirationnelle si elle est dominée par un espace projectif ; elle est dite séparablement unirationnelle si on peut prendre le morphisme précédent séparable. Cette dernière propriété n'a d'intérêt qu'en caractéristique positive. En reprenant la démonstration de Paranjape et Srinivas de l'unirationalité des hypersurfaces de degré très petit devant la dimension, nous remarquons qu'elle montre en fait l'unirationalité séparable. Nous nous intéressons aussi à la séparabilité des morphismes fournis par différentes constructions classiques de l'unirationalité des hypersurfaces cubiques.<br /><br />Dans la troisième partie, nous étudions la connexité rationnelle séparable : une variété projective lisse X sur un corps algébriquement clos est dite séparablement rationnellement connexe s'il existe une courbe rationnelle très libre (c'est-à-dire à fibré normal ample) sur X. Nous testons sur les hypersurfaces de Fermat de dimension N-1 et de degré q+1, où q est une puissance de la caractéristique du corps de base, la conjecture que toutes les hypersurfaces lisses de dimension N-1 et de degré plus petit que N sont séparablement rationnellement connexes. Nous montrons que pour N plus grand que 2q-1, l'hypersurface de Fermat de degré q+1 contient une courbe rationnelle très libre définie sur le sous-corps premier ; elle est donc séparablement rationnellement connexe.