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This project is associated with statistical methods to find the unknown parameters of a model. It is the statistical investigation of the algorithm with respect to accuracy (the Cramer-Rao bound and L-curve technique) and optimization of the algorithmic parameters. This project aims to estimate the true temperature (final temperature) of a certain liquid in a container by using initial measurements (readings) from a temperature probe with a known time constant. Basically, the final temperature of the liquid was estimated, before the probe reached its final reading. The probe obeys a simple first-order differential equation model. Based on the model of the probe and the measurement data the estimate was calculated of the ’true’ temperature in the container by using a maximum likelihood approach to parameter estimation.  The initial temperature was also investigated. Modelling, analysis, calculations, and simulations of this problem were explored.

Le but de ce mémoire de maîtrise est de décrire les propriétés de la loi double Pareto-lognormale, de montrer comment on peut introduire des variables explicatives dans le modèle et de présenter son large potentiel d'applications dans le domaine de la science actuarielle et de la finance. Tout d'abord, nous donnons la définition de la loi double Pareto-lognormale et présentons certaines de ses propriétés basées sur les travaux de Reed et Jorgensen (2004). Les paramètres peuvent être estimés en utilisant la méthode des moments ou le maximum de vraisemblance. Ensuite, nous ajoutons une variable explicative à notre modèle. La procédure d'estimation des paramètres de ce mo-\\dèle est également discutée. Troisièmement, des applications numériques de notre modèle sont illustrées et quelques tests statistiques utiles sont effectués. / The purpose of this Master's thesis is to describe the double Pareto-lognormal distribution, show how the model can be extended by introducing explanatory variables in the model and present its large potential of applications in actuarial science and finance. First, we give the definition of the double Pareto-lognormal distribution and present some of its properties based on the work of Reed and Jorgensen (2004). The parameters could be estimated by using the method of moments or maximum likelihood. Next, we add an explanatory variable to our model. The procedure of estimation for this model is also discussed. Finally, some numerical applications of our model are illustrated and some useful statistical tests are conducted.

Uma nova família de distribuições denominada distribuição beta generalizada semi-normal, que inclui algumas distribuições importantes como casos especiais, tais como as distribuições semi-normal e generalizada semi-normal (Cooray e Ananda, 2008), é proposta neste trabalho. Para essa nova família de distribuições, foi realizado o estudo da função densidade probabilidade, função de distribuição acumulada e da função de taxa de falha (ou risco), que não dependeram de funções matemáticas complicadas. Obteve-se uma expressão formal para os momentos, função geradora de momentos, função densidade da distribuição de estatística de ordem, desvios médios, entropia, contabilidade e para as curvas de Bonferroni e Lorenz. Examinaram-se os estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetros e deduziu- se a matriz de informação esperada. Neste trabalho é proposto, também, um modelo de regressão utilizando a distribuição beta generalizada semi-normal. A utilidade dessa nova distribuição é ilustrada através de dois conjuntos de dados, mostrando que ela é mais flexível na análise de dados de tempo de vida do que outras distribuições existentes na literatura. / A new family of distributions so-called beta generalized half-normal distribution, which includes some important distributions as special cases, such as the half-normal and generalized half-normal (Cooray and Ananda, 2008) distributions, is proposed in this work. For this new family of distributions, we studied the probability density function, cumulative distribution function and failure rate function (or hazard function), which did not depend on complicated mathematical functions. We obtained a formal expression for the moments, moment generating function, density function of order statistics distribution, mean deviation, entropy, reliability and Bonferroni and Lorenz curves. We examined maximum likelihood estimation of parameters and provided the information matrix. This work also proposed a regression model using the beta generalized half-normal distribution. The usefulness of the new distribution is illustrated through two data sets by showing that it is quite °exible in analyzing lifetime data instead other distributions in the literature.

Nos últimos anos têm sido desenvolvidos modelos de regressão beta, que têm uma variedade de aplicações práticas como, por exemplo, a modelagem de taxas, razões ou proporções. No entanto, é comum que dados na forma de proporções apresentem zeros e/ou uns, o que não permite admitir que os dados provêm de uma distribuição contínua. Nesta tese, são propostas, distribuições de mistura entre uma distribuição beta e uma distribuição de Bernoulli, degenerada em zero e degenerada em um para modelar dados observados nos intervalos [0, 1], [0, 1) e (0, 1], respectivamente. As distribuições propostas são inflacionadas no sentido de que a massa de probabilidade em zero e/ou um excede o que é permitido pela distribuição beta. Propriedades dessas distribuições são estudadas, métodos de estimação por máxima verossimilhança e momentos condicionais são comparados. Aplicações a vários conjuntos de dados reais são examinadas. Desenvolvemos também modelos de regressão beta inflacionados assumindo que a distribuição da variável resposta é beta inflacionada. Estudamos estimação por máxima verossimilhança. Derivamos expressões em forma fechada para o vetor escore, a matriz de informação de Fisher e sua inversa. Discutimos estimação intervalar para diferentes quantidades populacionais (parâmetros de regressão, parâmetro de precisão) e testes de hipóteses assintóticos. Derivamos expressões para o viés de segunda ordem dos estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetros, possibilitando a obtenção de estimadores corrigidos que são mais precisos que os não corrigidos em amostras finitas. Finalmente, desenvolvemos técnicas de diagnóstico para os modelos de regressão beta inflacionados, sendo adotado o método de influência local baseado na curvatura normal conforme. Ilustramos a teoria desenvolvida em um conjuntos de dados reais. / The last years have seen new developments in the theory of beta regression models, which are useful for modelling random variables that assume values in the standard unit interval such as proportions, rates and fractions. In many situations, the dependent variable contains zeros and/or ones. In such cases, continuous distributions are not suitable for modeling this kind of data. In this thesis we propose mixed continuous-discrete distributions to model data observed on the intervals [0, 1],[0, 1) and (0, 1]. The proposed distributions are inflated beta distributions in the sense that the probability mass at 0 and/or 1 exceeds what is expected for the beta distribution. Properties of the inflated beta distributions are given. Estimation based on maximum likelihood and conditional moments is discussed and compared. Empirical applications using real data set are provided. Further, we develop inflated beta regression models in which the underlying assumption is that the response follows an inflated beta law. Estimation is performed by maximum likelihood. We provide closed-form expressions for the score function, Fishers information matrix and its inverse. Interval estimation for different population quantities (such as regression parameters, precision parameter, mean response) is discussed and tests of hypotheses on the regression parameters can be performed using asymptotic tests. We also derive the second order biases of the maximum likelihood estimators and use them to define bias-adjusted estimators. The numerical results show that bias reduction can be effective in finite samples. We also develop a set of diagnostic techniques that can be employed to identify departures from the postulated model and influential observations. To that end, we adopt the local influence approach based in the conformal normal curvature. Finally, we consider empirical examples to illustrate the theory developed.

Neste trabalho são apresentadas algumas extensões dos modelos potência-alfa assumindo o contexto em que as observações estão censuradas ou limitadas. Inicialmente propomos um novo modelo assimétrico que estende os modelos t-assimétrico (Azzalini e Capitanio, 2003) e t-potência (Zhao e Kim, 2016) e inclui a distribuição t de Student como caso particular. Este novo modelo é capaz de ajustar dados com alto grau de assimetria e curtose, ainda maior do que os modelos t-assimétrico e t-potência. Em seguida estendemos o modelo t-potência às situações em que os dados apresentam censura, com alto grau de assimetria e caudas pesadas. Este modelo generaliza o modelo de regressão linear t de Student para dados censurados por Arellano-Valle et al. (2012). O trabalho também introduz o modelo linear misto normal-potência para dados assimétricos. Aqui a inferência estatística é realizada desde uma perspectiva clássica usando o método de máxima verossimilhança junto com o método de integração numérica de Gauss-Hermite para aproximar as integrais envolvidas na função de verossimilhança. Mais tarde, o modelo linear com interceptos aleatórios para dados duplamente censurados é estudado. Este modelo é desenvolvido sob a suposição de que os erros e os efeitos aleatórios seguem distribuições normal-potência e normal- assimétrica. Para todos os modelos estudados foram realizados estudos de simulação a fim de estudar as suas bondades de ajuste e limitações. Finalmente, ilustram-se todos os métodos propostos com dados reais. / In this work some extensions of the alpha-power models are presented, assuming the context in which the observations are censored or limited. Initially we propose a new asymmetric model that extends the skew-t (Azzalini e Capitanio, 2003) and power-t (Zhao e Kim, 2016) models and includes the Students t-distribution as a particular case. This new model is able to adjust data with a high degree of asymmetry and cursose, even higher than the skew-t and power-t models. Then we extend the power-t model to situations in which the data present censorship, with a high degree of asymmetry and heavy tails. This model generalizes the Students t linear censored regression model t by Arellano-Valle et al. (2012) The work also introduces the power-normal linear mixed model for asymmetric data. Here statistical inference is performed from a classical perspective using the maximum likelihood method together with the Gauss-Hermite numerical integration method to approximate the integrals involved in the likelihood function. Later, the linear model with random intercepts for doubly censored data is studied. This model is developed under the assumption that errors and random effects follow power-normal and skew-normal distributions. For all the models studied, simulation studies were carried out to study their benefits and limitations. Finally, all proposed methods with real data are illustrated.

Tratar a função de verossimilhança perfilada como uma verossimilhança genuína pode levar a alguns problemas, como, por exemplo, inconsistência e ineficiência dos estimadores de máxima verossimilhança. Outro problema comum refere-se à aproximação usual da distribuição da estatística da razão de verossimilhanças pela distribuição qui-quadrado, que, dependendo da quantidade de parâmetros de perturbação, pode ser muito pobre. Desta forma, torna-se importante obter ajustes para tal função. Vários pesquisadores, incluindo Barndorff-Nielsen (1983,1994), Cox e Reid (1987,1992), McCullagh e Tibshirani (1990) e Stern (1997), propuseram modificações à função de verossimilhança perfilada. Tais ajustes consistem na incorporação de um termo à verossimilhança perfilada anteriormente à estimação e têm o efeito de diminuir os vieses da função escore e da informação. Este trabalho faz uma revisão desses ajustes e das aproximações para o ajuste de Barndorff-Nielsen (1983,1994) descritas em Severini (2000a). São apresentadas suas derivações, bem como suas propriedades. Para ilustrar suas aplicações, são derivados tais ajustes no contexto da família exponencial biparamétrica. Resultados de simulações de Monte Carlo são apresentados a fim de avaliar os desempenhos dos estimadores de máxima verossimilhança e dos testes da razão de verossimilhanças baseados em tais funções. Também são apresentadas aplicações dessas funções de verossimilhança em modelos não pertencentes à família exponencial biparamétrica, mais precisamente, na família de distribuições GA0(alfa,gama,L), usada para modelar dados de imagens de radar, e no modelo de Weibull, muito usado em aplicações da área da engenharia denominada confiabilidade, considerando dados completos e censurados. Aqui também foram obtidos resultados numéricos a fim de avaliar a qualidade dos ajustes sobre a verossimilhança perfilada, analogamente às simulações realizadas para a família exponencial biparamétrica. Vale mencionar que, no caso da família de distribuições GA0(alfa,gama,L), foi avaliada a aproximação da distribuição da estatística da razão de verossimilhanças sinalizada pela distribuição normal padrão. Além disso, no caso do modelo de Weibull, vale destacar que foram derivados resultados distribucionais relativos aos estimadores de máxima verossimilhança e às estatísticas da razão de verossimilhanças para dados completos e censurados, apresentados em apêndice. / The profile likelihood function is not genuine likelihood function, and profile maximum likelihood estimators are typically inefficient and inconsistent. Additionally, the null distribution of the likelihood ratio test statistic can be poorly approximated by the asymptotic chi-squared distribution in finite samples when there are nuisance parameters. It is thus important to obtain adjustments to the likelihood function. Several authors, including Barndorff-Nielsen (1983,1994), Cox and Reid (1987,1992), McCullagh and Tibshirani (1990) and Stern (1997), have proposed modifications to the profile likelihood function. They are defined in a such a way to reduce the score and information biases. In this dissertation, we review several profile likelihood adjustments and also approximations to the adjustments proposed by Barndorff-Nielsen (1983,1994), also described in Severini (2000a). We present derivations and the main properties of the different adjustments. We also obtain adjustments for likelihood-based inference in the two-parameter exponential family. Numerical results on estimation and testing are provided. We also consider models that do not belong to the two-parameter exponential family: the GA0(alfa,gama,L) family, which is commonly used to model image radar data, and the Weibull model, which is useful for reliability studies, the latter under both noncensored and censored data. Again, extensive numerical results are provided. It is noteworthy that, in the context of the GA0(alfa,gama,L) model, we have evaluated the approximation of the null distribution of the signalized likelihood ratio statistic by the standard normal distribution. Additionally, we have obtained distributional results for the Weibull case concerning the maximum likelihood estimators and the likelihood ratio statistic both for noncensored and censored data.

Le développement des nouvelles techniques de séquençage élargit l' horizon de la génétique de populations. Une analyse appropriée des données génétiques peut augmenter notre capacité à reconstruire l'histoire des populations. Cette énorme quantité de données disponibles peut aider les chercheurs en biologie et anthropologie à mieux estimer les changements démographiques subis par une population au cours du temps, mais induit aussi de nouveaux défis. Lorsque les modèles sous-jacents sont trop simplistes il existe unrisque très fort d'être amené à des conclusions erronées sur la population étudiée. Il a été montré que certaines caractéristiques présentes dans l'ADN des individus d'une population structurée se trouvent aussi dans l'ADN de ceux qui proviennent d'une population sans structure dont la taille a changé au cours du temps. Par conséquent il peut s'avérer très difficile de déterminer si les changements de taille inférés à partir des données génétiquesont vraiment eu lieu ou s'il s'agit simplement des effets liés à la structure. D'ailleurs la quasi totalité des méthodes pour inférer les changements de taille d'une population au cours du temps sont basées sur des modèles qui négligent la structure.Dans cette thèse, de nouveaux résultats de génétique de populations sont présentés. Premièrement, nous présentons une méthodologie permettant de faire de la sélection de modèle à partir de l'ADN d'un seul individudiploïde. Cette première étude se limite à un modèle simple de population non structurée avec un changement de taille et à un modèle considérant une population de taille constante mais structurée. Cette nouvelle méthode utilise la distribution des temps de coalescence de deux gènes pour identifier le modèle le plus probable et ouvreainsi la voie pour de nouvelles méthodes de sélection de modèles structurés et non structurés, à partir de données génomiques issues d'un seul individu. Deuxièmement, nous montrons, par une ré-interprétation du taux de coalescence que, pour n'importe quel scénario structuré, et plus généralement n'importe quel modèle, il existe toujours un scénario considérant une population panmictique avec une fonction précise de changements de taille dont la distribution des temps de coalescence de deux gènes est identique a celle du scénario structuré. Cela non seulement explique pourquoi les méthodes d'inférence démographique détectent souvent des changements de taille n'ayant peut-être jamais eu lieu, mais permet aussi de prédire les changements de taille qui seront reconstruits lorsque des méthodes basées sur l'hypothèse de panmixie sont appliquées à des données issues de scénarios plus complexes. Finalement, une nouvelle approche basée sur un processus de Markov est développée et permet de caractériser la distribution du temps de coalescence de deux gènes dans une population structurée soumise à des événements démographiques tel que changement de flux de gènes et changements de taille. Une discussion est menée afin de décrire comment cette méthode donne la possibilité de reconstruire l'histoire démographique à partir de données génomiques tout en considérant la structure. / The rapid development of DNA sequencing technologies is expanding the horizons of population genetic studies. It is expected that genomic data will increase our ability to reconstruct the history of populations.While this increase in genetic information will likely help biologists and anthropologists to reconstruct the demographic history of populations, it also poses big challenges. In some cases, simplicity of the model maylead to erroneous conclusions about the population under study. Recent works have shown that DNA patterns expected in individuals coming from structured populations correspond with those of unstructured populations with changes in size through time. As a consequence it is often difficult to determine whether demographic events such as expansions or contractions (bottlenecks) inferred from genetic data are real or due to the fact that populations are structured in nature. Moreover, almost no inferential method allowing to reconstruct pastdemographic size changes takes into account structure effects. In this thesis, some recent results in population genetics are presented: (i) a model choice procedure is proposed to distinguish one simple scenario of population size change from one of structured population, based on the coalescence times of two genes, showing that for these simple cases, it is possible to distinguish both models using genetic information form one single individual; (ii) by using the notion of instantaneous coalescent rate, it is demonstrated that for any scenario of structured population or any other one, regardless how complex it could be, there always exists a panmitic scenario with a precise function of population size changes havingexactly the same distribution for the coalescence times of two genes. This not only explains why spurious signals of bottlenecks can be found in structured populations but also predicts the demographic history that actual inference methods are likely to reconstruct when applied to non panmitic populations. Finally, (iii) a method based on a Markov process is developed for inferring past demographic events taking the structure into account. This is method uses the distribution of coalescence times of two genes to detect past demographic changes instructured populations from the DNA of one single individual. Some applications of the model to genomic data are discussed.