Nous avons étudié la dynamique de Glauber sur les pavages de domaines finies du plan par des losanges ou par des dominos de taille 2 × 1. Ces pavages sont naturellement associés à des surfaces de R^3, qui peuvent être vues comme des interfaces dans des modèles de physique statistique. En particulier les pavages par des losanges correspondent au modèle d'Ising tridimensionnel à température nulle. Plus précisément les pavages d'un domaine sont en bijection avec les configurations d'Ising vérifiant certaines conditions au bord (dépendant du domaine pavé). Ces conditions forcent la coexistence des phases + et - ainsi que la position du bord de l'interface. Dans la limite thermodynamique où L, la longueur caractéristique du système, tend vers l'infini, ces interfaces obéissent à une loi des grand nombre et convergent vers une forme limite déterministe ne dépendant que des conditions aux bord. Dans le cas où la forme limite est planaire et pour les losanges, Caputo, Martinelli et Toninelli [CMT12] ont montré que le temps de mélange Tmix de la dynamique est d'ordre O(L^{2+o(1)}) (scaling diffusif). Nous avons généralisé ce résultat aux pavages par des dominos, toujours dans le cas d'une forme limite planaire. Nous avons aussi prouvé une borne inférieure Tmix ≥ cL^2 qui améliore d'un facteur log le résultat de [CMT12]. Dans le cas où la forme limite n'est pas planaire, elle peut être analytique ou bien contenir des parties “gelées” où elle est en un sens dégénérée. Dans le cas où elle n'a pas de telle partie gelée, et pour les pavages par des losanges, nous avons montré que la dynamique de Glauber devient “macroscopiquement proche” de l'équilibre en un temps L^{2+o(1)} / We studied the Glauber dynamics on tilings of finite regions of the plane by lozenges or 2 × 1 dominoes. These tilings are naturally associated with surfaces of R^3, which can be seen as interfaces in statistical physics models. In particular, lozenge tilings correspond to three dimensional Ising model at zero temperature. More precisely, tilings of a finite regions are in bijection with Ising configurations with some boundary conditions (depending on the tiled domain). These boundary conditions impose the coexistence of the + and - phases, together with the position of the boundary of the interface. In the thermodynamic limit where L, the characteristic length of the system, tends toward infinity, these interface follow a law of large number and converge to a deterministic limit shape depending only on the boundary condition. When the limit shape is planar and for lozenge tilings, Caputo, Martinelli and Toninelli [CMT12] showed that the mixing time of the dynamics is of order (L^{2+o(1)}) (diffusive scaling). We generalized this result to domino tilings, always in the case of a planar limit shape. We also proved a lower bound Tmix ≥ cL^2 which improve on the result of [CMT12] by a log factor. When the limit shape is not planar, it can either be analytic or have some “frozen” domains where it is degenerated in a sense. When it does not have such frozen region, and for lozenge tilings, we showed that the Glauber dynamics becomes “macroscopically close” to equilibrium in a time L^{2+o(1)}

Le manuscrit est constitué de deux parties indépendantes.Propriétés des Solutions de Viscosité des Equations Integro-Différentielles.Nous considérons des équations intégro-différentielles elliptiques et paraboliques non-linéaires (EID), où les termes non-locaux sont associés à des processus de Lévy. Ce travail est motivé par l'étude du Comportement en temps long des solutions de viscosité des EID, dans le cas périodique. Le résultat classique nous dit que la solution u(¢, t ) du problème de Dirichlet pour EID se comporte comme ?t Åv(x)Åo(1) quand t !1, où v est la solution du problème ergodique stationaire qui correspond à une unique constante ergodique ?.En général, l'étude du comportement asymptotique est basé sur deux arguments: la régularité de solutions et le principe de maximumfort.Dans un premier temps, nous étudions le Principe de Maximum Fort pour les solutions de viscosité semicontinues des équations intégro-différentielles non-linéaires. Nous l'utilisons ensuite pour déduire un résultat de comparaison fort entre sous et sur-solutions des équations intégro-différentielles, qui va assurer l'unicité des solutions du problème ergodique à une constante additive près. De plus, pour des équationssuper-quadratiques le principe de maximum fort et en conséquence le comportement en temps grand exige la régularité Lipschitzienne.Dans une deuxième partie, nous établissons de nouvelles estimations Hölderiennes et Lipschitziennes pour les solutions de viscosité d'une large classe d'équations intégro-différentielles non-linéaires, par la méthode classique de Ishii-Lions. Les résultats de régularité aident de plus à la résolution du problème ergodique et sont utilisés pour fournir existence des solutions périodiques des EID.Nos résultats s'appliquent à une nouvelle classe d'équations non-locales que nous appelons équations intégro-différentielles mixtes. Ces équations sont particulièrement intéressantes, car elles sont dégénérées à la fois dans le terme local et non-local, mais leur comportement global est conduit par l'interaction locale - non-locale, par exemple la diffusion fractionnaire peut donner l'ellipticité dans une direction et la diffusion classique dans la direction orthogonale.Visualisation et Restauration d'Images par Mouvements de CourbureLe rôle de la courbure dans la perception visuelle remonte à 1954, et on le doit à Attneave. Des arguments neurologiques expliquent que le cerveau humain ne pourrait pas possiblement utiliser toutes les informations fournies par des états de simulation. Mais en réalité on enregistre des régions où la couleur change brusquement (des contours) et en outre les angles et les extremas de courbure. Pourtant, un calcul direct de courbures sur une image est impossible. Nous montrons comment les courbures peuvent être précisément évaluées, à résolution sous-pixelique par un calcul sur les lignes de niveau après leur lissage indépendant.Pour cela, nous construisons un algorithme que nous appelons Level Lines (Affine) Shortening, simulant une évolution sous-pixelique d'une image par mouvement de courbure moyenne ou affine. Aussi bien dans le cadre analytique que numérique, LLS (respectivement LLAS) extrait toutes les lignes de niveau d'une image, lisse indépendamment et simultanément toutes ces lignes de niveau par Curve Shortening(CS) (respectivement Affine Shortening (AS)) et reconstruit une nouvelle image. Nousmontrons que LL(A)S calcule explicitement une solution de viscosité pour le le Mouvement de Courbure Moyenne (respectivement Mouvement par Courbure Affine), ce qui donne une équivalence avec le mouvement géométrique.Basé sur le raccourcissement de lignes de niveau simultané, nous fournissons un outil de visualisation précis des courbures d'une image, que nous appelons un Microscope de Courbure d'Image. En tant que application, nous donnons quelques exemples explicatifs de visualisation et restauration d'image : du bruit, des artefacts JPEG, de l'aliasing seront atténués par un mouvement de courbure sous-pixelique / The present dissertation has two independent parts.Viscosity solutions theory for nonlinear Integro-Differential EquationsWe consider nonlinear elliptic and parabolic Partial Integro-Differential Equations (PIDES), where the nonlocal terms are associated to jump Lévy processes. The present work is motivated by the study of the Long Time Behavior of Viscosity Solutions for Nonlocal PDEs, in the periodic setting. The typical result states that the solution u(¢, t ) of the initial value problem for parabolic PIDEs behaves like ?t Å v(x) Å o(1) as t ! 1, where v is a solution of the stationary ergodic problem corresponding to the unique ergodic constant ?. In general, the study of the asymptotic behavior relies on two main ingredients: regularity of solutions and the strong maximum principle.We first establish Strong Maximum Principle results for semi-continuous viscosity solutions of fully nonlinear PIDEs. This will be used to derive Strong Comparison results of viscosity sub and super-solutions, which ensure the up to constants uniqueness of solutions of the ergodic problem, and subsequently, the convergence result. Moreover, for super-quadratic equations the strong maximum principle and accordingly the large time behavior require Lipschitz regularity.We then give Lipschitz estimates of viscosity solutions for a large class of nonlocal equations, by the classical Ishii-Lions's method. Regularity results help in addition solving the ergodic problem and are used to provide existence of periodic solutions of PIDEs. In both cases, we deal with a new class of nonlocal equations that we term mixed integrodifferential equations. These equations are particularly interesting, as they are degenerate both in the local and nonlocal term, but their overall behavior is driven by the local-nonlocal interaction, e.g. the fractional diffusion may give the ellipticity in one direction and the classical diffusion in the complementary one.Image Visualization and Restoration by CurvatureMotionsThe role of curvatures in visual perception goes back to 1954 and is due to Attneave. It can be argued on neurological grounds that the human brain could not possible use all the information provided by states of simulation. But actually human brain registers regions where color changes abruptly (contours), and furthermore angles and peaks of curvature. Yet, a direct computation of curvatures on a raw image is impossible. We show how curvatures can be accurately estimated, at subpixel resolution, by a direct computation on level lines after their independent smoothing.To performthis programme, we build an image processing algorithm, termed Level Lines (Affine) Shortening, simulating a sub-pixel evolution of an image by mean curvature motion or by affine curvature motion. Both in the analytical and numerical framework, LL(A)S first extracts all the level lines of an image, then independently and simultaneously smooths all of its level lines by curve shortening (CS) (respectively affine shortening (AS)) and eventually reconstructs, at each time, a new image from the evolved level lines.We justify that the Level Lines Shortening computes explicitly a viscosity solution for the Mean CurvatureMotion and hence is equivalent with the clasical, geometric Curve Shortening.Based on simultaneous level lines shortening, we provide an accurate visualization tool of image curvatures, that we call an Image CurvatureMicroscope. As an application we give some illustrative examples of image visualization and restoration: noise, JPEG artifacts, and aliasing will be shown to be nicely smoothed out by the subpixel curvature motion.

Ce travail, à l'interface entre les mathématiques appliquées et la physique, s'articule autour de la modélisation numérique des vésicules biologiques, un modéle pour les globules rouges du sang. Pour cela, le modéle de Canham et Helfrich est adopté pour décrire le comportement des vésicules. La modélisation numérique utilise la méthode des fonctions de niveau dans un cadre éléments finis. Un nouvel algorithme de résolution numérique combinant une technique de multiplicateurs de Lagrange avec une adaptation automatique de maillages garantit la conservation exacte des volumes et des surfaces. Cet algorithme permet donc de dépasser une limitation cruciale actuelle de la méthode des fonctions de niveau, à savoir les pertes de masse couramment observées dans ce type de problémes. De plus, les propriétés de convergence de la méthode des fonctions de niveau se trouvent ainsi grandement améliorées, comme l'indiquent de nombreux tests numériques. Ces tests comprennent notamment des problémes d'advection élémentaires, des mouvements par courbure moyenne ainsi que des mouvements par diffusion de surface. Concernant l'équilibre statique des vésicules, une condition générale d'équilibre d'Euler-Lagrange est obtenue à l'aide d'outils de dérivation de forme. En dynamique, le mouvement d'une vésicule sous l'action d'un écoulement de cisaillement est étudié dans le cadre des nombres de Reynolds élevés. L'effet du confinement est considéré, et les régimes classiques de chenille de char et de basculement sont retrouvés. Finalement, pour la premiére fois, l'effet des termes inertiels est étudié et on montre qu'au delà d'une valeur critique du nombre de Reynolds, la vésicule passe d'un mouvement de basculement à un mouvement de chenille de char. / This work, at the interface between the Applied Mathematics and Physics is connected about the numerical modelisation of biological vesicles, a pattern for the red blood cells. For this reason, the pattern of Canham and Helfrich is adopted to describe the behaviour of the vesicles. The numerical modelisation uses the Level Set method in finite element framework. A new algorithm of numerical resolution combining one technique of Lagrange multipliers with an automatic mesh adaptation ensures the accurate conservation of volumes and surfaces. Thus this algorithm enables to exceed an existing crucial restriction of the Level Set method, that's to say, the wastes of mass usually noticed in this kind of problems. Moreover, the proprieties of convergence of the Level Set method are thus much more improved, as shown in many numerical tests. Those tests chiefly include elementary problems of advection, motions by mean curvature just as motions by spread of surface. Concerning the static equilibrum of the vesicles, a mechanical equilibrum equation (Euler-Lagrange equation) of a vesicle membrane under a generalized elastic bending energy is obtained and the approach is based on shape optimization tools. In dynamics, the motion of a vesicle under the effect of a shear flow is elaborated in the frames of reference of high Reynolds numbers. The effect of confinement is respected, and the standard regimes of tank-treading and of tumbling motion are found again. Finally, for the first time, the effect of the inertia terms is elaborated and we show that beyond a critical value of the number of Reynolds the vesicle passes from a tumbling motion to a tank-treading motion.