Nesta dissertação de mestrado aplicamos métodos de mecânica estatística a dois problemas relacionados à interação e evolução cultural. O primeiro diz respeito à evolução e manutenção da cooperação altruística. Apresent amos a dinâmica Fisher-Wright em dois níveis, desenvolvida em [49], descreve a evolução do comportamento altruísta através de uma estruturada em grupos com migrac;ao e, assim, contorna algumas das limitações de outros mecanismos propostos ao longo do último século. Neste trabalho, aplicamos este mecanismo ao modelo desenvolvido por Boyd, Gintis e Bowles [12], que explica a manutenção da cooperação através da punição altruística, mostrando que o processo Fisher-Wright em dois níveis permite uma abordagem mais robusta e natural, obtendo viabilidade para o altruísmo mesmo com taxas de migração significativas. 0 segundo problema descrito nesta dissertação consiste de um modelo, proposto em [16], para certos resultados quantitativos em suporte à Teoria de Fundamentos Morais obtidos por Jonathan Haidt [32]. Nestre trabalho estudamos a influencia da rede topológica nos resultados deste modelo de agentes, em particular utilizando a rede do Facebook como exemplo de rede realista. / In this dissertation we apply statistical mechanics methods to two problems involving social interaction and cultural evolution. The first problem concerns the evolution and maintenance of altruistic cooperation. We discuss the two level Fisher-Wright mecanism proposed in [49] which deals with the question of evolutionary viability of altruistic behavior in a group structured population with migration, and is capable of circumventing certain limitations of other mecanisms proposed in the last century. We use this framework to analyse Boyd, Gintis and Bowles\' model [12] for the maintenance and proliferation of cooperation through altruistic punishment, showing that the two level Fisher-Wright process allows for a more robust and natural approach, showing altruism to be viable even at significantly high migration rates. The second problem deals with a model for explaining certain quantitative data obtained by Jonathan Haidt [32] in his Moral Foundation Theory. We study the agent based interaction model proposed in [16] in a scenario where the influcence graph consists of the Facebook social network to understand the network\'s influence in the results.

Estudamos o modelo de Ising com diluição de sítios numa rede de Bethe. a estrutura hierárquica da rede de Bethe leva de forma natural às relações de recorrência satisfeitas pelas distribuições de probabilidade dos campos efetivos. As quantidades termodinâmicas na rede de Bethe são então expressas explicitamente em termos das distribuições limite dos campos efetivos. As distribuições dos campos efetivos em T=0 são obtidas de forma numericamente exata (isto é, se desprezarmos os erros de arrendodamento) e também analiticamente em alguns casos selecionados. Encontramos no caso de interações ferromagnéticas um número sempre finito de campos efetivos possíveis, mas no caso de interações antiferromagnéticas esse número pode divergir para valores irracionais do campo aplicado. Esses resultados fornecem o diagrama de fases campo aplicado versus concentração, numericamente exato, para antiferromagnetismo diluído em T=0. As distribuições dos campos efetivos são determinadas aproximadamente para T>0 e utilizadas para o cálculo de diferentes grandezas termodinâmicas. Apresentamos as curvas de magnetização, energia livre, energia interna e entropia. Esses cálculos fornecem o diagrama de fases aproximado no espaço tridimensional de campo aplicado, temperatura e concentração. / The site diluted Ising model is studied on a Beth lattice. The hierarchical structure of the Bethe lattice leads naturally to recursion relations obeyed by the probability distributions of the effective fields. The thermodynamic quantities on the Bethe lattice are then explicitly written in terms of the limiting distributions of the effective fields. Numerically exact results (i.e. if we neglect roundoff errors) for the distributions of the effective fields for T = 0 are presented, together with analytic results for select cases. It is found that the number of effective fields is always finite in the case of ferromagnetic interactions , but it might diverge for irrational values of the applied field in the case of antiferromagnetic interactions. These results yeld a numerically exact applied field versus concentration phase diagram for diluted antiferromagnet at T = 0. The distributions of the effective fields are computed aproximately for T > 0 and used to evaluete various thermodynamic quantities. Curves for the magnetization, free energy, internal energy and entropy are displayed. These calculations give an approximate three-dimensional phase diagram in the space of applied field, temperature and concentration.

Resultados exatos são estabelecidos em dois trabalhos distintos. O primeiro tema é uma análise da dinâmica de Langevin para um modelo esférico médio com interações competitivas, investigando fenômenos de não equilíbrio como \"aging\" e violação do teorema flutuação-dissipação. O segundo trabalho é uma contribuição ao diagrama de fases do estado fundamental de um ferromagneto diluído e sujeito a um campo externo aleatório regido por uma distribuição bimodal; uma abordagem analítica, embora parcial, indica uma estabilidade da solução réplica-simétrica. / Exact results are established for two distinct works. The first of them is an analysis of Langevin dynamics for a mean spherical model with competiting interactions, searching for non-equilibrium phenomena as aging and the violation of the fluctuation-dissipation theorem. The second work is a contribution to the ground state\'s phase diagram of a diluted ferromagnet under a random external field obeying a bimodal distribution; an analytic study, although partial, indicates a stability of the replica-symmetric solution.

Procuramos neste trabalho investigar um modelo de uma sociedade em que agentes aprendem de seu vizinhos sociais. Buscando inspiração no paradigma de redes neurais, construímos uma analogia entre o modelo e o julgamento moral. Usando dados de questionários on-line obtidos alhures, apresentamos uma análise estatística de dados de sujeitos humanos. A partir destes dados estudamos o modelo, encontrando uma transição de fase entre um estado ordenado e um desordenado, dependente de um parâmetro análogo ao inverso da temperatura beta que denominamos peer pressure e de um parâmetro de controle delta associado ao comportamento dos agentes. Ao compararmos histogramas obtidos do modelo com histogramas dos dados de questionários observamos uma semelhança surpreendente entre os dois. Para determinar o diagrama de fases do modelo, usamos métodos de Monte Carlo e uma aproximação de campo médio usando métodos de máxima entropia. Estudamos também a suscetibilidade do sistema a perturbações no ambiente de discussão e encontramos um decaimento exponencial da distância entre o estado perturbado e o de equilíbrio, com um mínimo no tempo característico de adaptação para um certo valor de delta. / In this work we seek to investigate a model of a society in which agents learn from their social neighbours. Seeking inspiration in the neural network paradigm, we build an analogy between the model and moral judgement. Using data from online questionaries obtained elsewhere, we present a statistical analysis of human data. Starting from these we study the model, finding a phase transition between an ordered and a disordered state, dependent on a parameter akin to the inverse temperature beta that we denominate peer pressure and a control parameter delta associated to the agents\' behavior. Comparing the histograms obtained with the model and histograms obtained from the data we observed a surprising simlarity between the two. To determine the phase diagram of the model we use Monte Carlo methods and a mean-field approximation using maximum entropy methods. We also study the susceptibility of the system to perturbations in the environment and find an exponential decay in the distance between the perturbated and equilibrium states, with a minimum of the characteristic time of adaptation for a given value of delta.

Apresentamos uma versão hierárquica do modelo de Ising para mostrar a equivalência entre os modelos ferromagnético em campo aleatório e antiferromagnético diluído em campo uniforme. A equivalência está baseada no fato de que transformações do grupo de renormalização quando aplicadas ao modelo antiferromagnético diluído produzam, como efeito combinado do campo externo e da diluição. um campo externo aleatório na nova escala. Verificamos também que quando não se leva em conta contornos dentro de contornos os modelos analisados apresentam transição de fase para dimensão d maior ou igual a dois. O método usado foi a combinação dos argumentos de Peierls, Imry e Ma as transformações da Teoria do Grupo de Renormalização que na versão hierárquica tornam-se um processo exato. / We are presenting a hierarchical version of Ising modal to show an equivalence between the ferromagnetic model in a random magnetic field and dilute antiferromagnetic modal in a uniform magnetic field. The equivalence is based on the fact that a dilute antiferromagnetic in a uniform magnetic field generates under a renormalization group transformation a random magnetic field. We also verify that when we do not take into account contours inside contours the models analyzed show phase transition for dimension d greater than or equal to two. The method used consist of combination of Peierls, Imry and Ma arguments and the Renormalization Group Transformation, which in the hierarchical approach becomes an exact process.

Apresentamos aqui um formalismo, baseado no Principio de Máxima Entropia, que permite estudar sistemas celulares aleatórios bidimensionais compostos de muitas células que cobrem uma dada superfície plana sem poros ou superposições e são caracterizadas pela sua área, perímetro, número de lados e posição. Calculamos a função partição do sistema num espaço de fases generalizado e a partir desta obtemos quantidades como a área e o perímetro medi() das células de n lados, a entropia e a energia livre. Impomos ao sistema vínculos topol6gicos, geométricos e referentes â- energia do sistema. Considerando a energia de interface e de curvatura das paredes celulares, a evolução quase-estática e estudada a partir da variação de parâmetros como o comprimento médio dos lados das células, a energia média das células e o segundo momento da distribuição em número de lados. Os resultados estão em boa concordância com dados experimentais de sistemas naturais como espumas de sabão bidimensionais e agregados metalúrgicos e também com simulações numéricas. Além disso, são obtidas as condições para que uma estrutura ordenada seja estável e para a sua transição para um estado desordenado com o aumento da temperatura. / We present here a formalism, based on the Maximum Entropy Principie, which enables us to study bidimensional random cellular structures made of many cells that cover a given flat surface without pores or overlaps and are characterized by their arcas, perimeters, nuniber of sides and position. We calculate the partition function of the system defined in a generalized phase space and we obtai n variables as the average arca and perimeter of n-sided cells, the entropy and free energy. We impose upon the system some constraints refering to topology,geometry and to the energy of the system. Considering the interface energy and the one related to the curvature of cellular walls, we study the quasi-sia tic evolution from the variation of parameters as the average side length and energy of the cells and as the second moment of the distribution in number of sides. The results are in good agreement wi th experimental data of natural systems as bidimensional soap froths and metallurgical aggregates and also with numerical simulations. We also obtain the conditions for an ordered structure to be stable and for its transition to a disordered state as temperature increases.

Neste trabalho nós investigamos as relações existentes entre a Variação de Dimensão Instável(Unstable Dimension Variability - UDV) e a dimensão do espaço de fases de uma rede de mapas acoplados com acoplamento difuso. damos suporte teórico e evidências numéricas para a afirmação de que a partir de certo valor fixo da dimensão não há presença de UDV.

Esta dissertação apresenta uma revisão sobre canais iônicos com respeito aos seus aspectos biofísicos e sobre alguns modelos matemáticos utilizados em sua análise. As abordagens dividem-se em duas classes: uma em que é possível realizar análises exatas e outra mais apropriada à análise numérica. Será revista a solução da equação de Poisson em coordenandas toroidais, que fornece uma expressão para o potencial elétrico na região do canal. Uma outra abordagem estudada utiliza os ensembles da mecânica estatística de equilíbrio para determinar a forma do potencial elétrico médio nessa mesma região. As descrições destinadas à análise numérica compreendem: uma formulação em que todos os elementos são considerados como meios contínuos; a Dinâmica Browniana e a Dinâmica Molecular. A dissertação é encerrada com a apresentação de alguns resultados experimentais sobre canais reais. Ao final, o leitor deverá ter um panorama sobre os estudos, teóricos e aplicados, no campo da condução passiva de íons através de membranas celulares. Esta dissertação não tem por finalidade esgotar os tópicos que abrangem esta área do conhecimento. / This dissertation presents a review about ion channels with respect to their biophysical aspects and some mathematical models employed in its analysis. Our approach is separated in two parts: one where it is possible to achieve exact results and another more suitable to numerical analysis. There will be reviewed a solution for Poisson’s equation in toroidal coordinates which gives an expression for electrical potential in the region of the channel. Also, There will be reviewed the mean force potential formulation derived from the ensembles of equilibrium statistical mechanics. The numerical analysis approach comprehends formulations where all elements are considered as a continuum media and via Brownian Dynamics and the Molecular Dynamics. This dissertation finishes with a discussion of some experimental results about real channels. At the end of this all, the reader should have an overview about the studies, both theoretical and applied, in the field of passive conduction of ions through cell membranes. However, this dissertation has no intention to be a comprehensive review of the subject.

A teoria quântica aplicada a sistemas microscópicos prevê comportamento oscilatório para objetos macroscópicos. Também, o caráter determinístico da física microscópica contradiz a irreversibilidade da termodinâmica. Aqui, estudamos os efeitos que flutuações de métrica e de energia tem sobre a produção de entropia, focando nas propriedades estatísticas de um gás tridimensional. Derivamos uma expressão geral para o operador densidade de probabilidade, sem assumir uma expressão específica para a correlação espacial das flutuações, que leva a resultados para uma vasta variedade de cenários. Nós prevemos que os tempos de decoerência e de termalização para N partículas não-interagentes cai com N2, dominando os efeitos de fontes externas de termalização, de modo a facilitar sua medida e a verificação da existência as flutuações. / Quantum theory applied to macroscopic systems predicts oscillatory behavior for macroscopic systems. Also, the deterministic character of microscopic physics contradicts the irreversibility of thermodynamics. Here we study the effects of energy and metric fluctuations on entropy production focusing on the statistical properties of a three-dimensional gas. We derive a general expression for the probability density operator without assuming any specific expression for the spatial correlation of the fluctuations, which yields results for a wide variety of scenarios. We predict the decoherence and thermalization times for N non-interacting particles scale with N2, dominating the effects from external thermalization sources, thus facilitating its measurement and the verification of the existence of fluctuations.

Estudamos neste trabalho o comportamento de modelos de redes neurais compostos de neurônios (ou sítios) e padrões descritos por variáveis binárias, onde cada neurônio conecta-se a um número macroscópico de neurônios vizinhos - modelos de campo médio - por meio de sinapses ou interações, cuja forma é escolhida de modo que a rede seja capaz de executar tarefas específicas. Três modelos são investigados neste trabalho: o modelo de Little-Hopfield e dois modelos de processamento sequencial, um com interações simétricas e outro com interações assimétricas. As sinapses do modelo de Little-Hopfield incluem apenas o termo Hebbiano, que tende a estabilizar a rede em um dos padrões, favorecendo sua recuperação. As sinapses dos modelos de processamento sequencial envolvem a competição entre o termo Hebbiano e um termo sequencial, que provoca transições dos estados entre os diferentes padrões armazenados, favorecendo a recuperação de uma sequência de padrões. Nos concentramos essencialmente na análise das propriedades dinâmicas e estacionárias das soluções vinculadas a esses dois modos de processamento de informação, característicos de modelos de memória associativa. A competição entre a recuperação de um padrão e o processamento de uma sequência é responsável pela riqueza exibida pelos diagTamas de fases dos modelos de processamento sequencial, os quais incluem a presença de soluções cíclicas e de ponto-fixo. O comportamento dos modelos de interesse é analisado em três arquiteturas: na rede em camadas, na rede recorrente e numa rede dual, que interpola entre as duas primeiras arquiteturas. Com relação à metodologia, a rede em camadas e a rede recorrente são estudadas através de um tratamento dinàmico, utilizando a análise de sinal-ruído no primeiro caso e o mÉ~tododa funcional geratriz, com simulações numéricas baseadas no procedimento de Eissfeller e Opper, no segundo caso. Os estados estacionários da rede dual são estudados por meio da mecânica estatística de equilíbrio, utilizando o método das réplicas. Resultados para o comportamento desses sistemas são discutidos considerando os regimes de armazenamento finito e infinito de padrões. Apesar dos modelos de processamento sequencial estudados aqui apresentarem diversas limitações com relação a redes de neurônios biológicos, as propriedades qualitativas das soluções exibidas por esses sistemas podem ser interessantes de um ponto de vista biológico. / We study in this work the behaviour of neural network models composed of neurons (01'sites) and patterns described by binary variables, in which each neuron is connected to a macroscopic number of neighbours - mean-field models - by means of synapses or interactions, whose form is chosen in a way that the network is able to perform specific tasks. Three models are investigated in this work: the Little-Hopfield model and two sequence processing models, one with symmetric interactions and another with asymmetric interactions. The synapses of the Little-Hopfield model include only the Hebbian term, which tends to stabilise the network in one of the patterns, favouring its retrieval. The synapses of the sequence processing models involve the competition between the Hebbian term and a sequential term, which generates transitions of states between the stored patterns, favouring the retrieval of a sequence of patterns. \Ve mainly concentrate on the dynamical and stationary properties of the solutions related to both kinds of information processing, typical of associative memory models. The competition between pattern retrieval and sequence processing is responsible for the richness exhibited by the phase diagrams of the sequence processing models, which include the presence of cyclic and fixed-point solutions. The behaviour of the models is analysed in three architectures: the feed-forward layered network, the recurrent network and the dual network, that interpolates between the first two architectures. With respect to the methodology, the strictly feed-forward and recurrent neural networks are studied through a dynamical approach, using the signalto- noise analysis and the generating functional method, respectively. Explicit results for the latter are implemented by numerical simulations following a method of Eissfeller and Opper. The stationary states of the dual network are studied by means of the equilibrium statistical mechanics, using the replica method. Results for the behaviour of these systems are discussed for finite and extensive loading of patterns. Although the sequence processing models studied here have several limitations with respect to biological networks, the qualitative properties of the solutions ex.hibited by these systems may be interesting from a biological point of view.