The main objective of the present thesis is to investigate: What are the properties of the Ising and Potts model coupled to a CDT emsemble? For that objective, we used two methods: (1) transfer matrix formalism and Krein-Rutman theory. (2) FK representation of the q -state Potts model on CDTs and dual CDTs. Transfer matrix formalism permite us to obtain spectral properties of the transfer matrix using the Krein-Rutman theorem [KR48] on operators preserving the cone of positive func- tions. This yields results on convergence and asymptotic properties of the partition function and the Gibbs measure and allows us to determine regions in the parameter quarter-plane where the free energy converges. Second methods permite us to determine a region in the quadrant of parameters , > 0 where the critical curve for the classical model can be located. We also provide lower and upper bounds for the innite-volume free energy. Finally, using arguments of duality on graph theory and hight-T expansion we study the Potts model coupled to CDTs. This approach permite us to improve the results obtained for Ising model and obtain lower and upper bounds for the critical curve and free energy. Moreover, we obtain an approximation of the maximal eigenvalue of the transfer matrix at lower temperature. / O objetivo principal da presente tese é pesquisar : Quais são as propriedades do modelo de Ising e Potts acoplado ao emsemble de CDT? Para estudar o modelo usamos dois métodos: (1) Matriz de transferência e Teorema de Krein-Rutman. (2) Representação FK para o modelo de Potts sobre CDT e dual de CDT. Matriz de transferência permite obter propriedades espectrais da Matriz de transferência utilizando o Teorema de Krein-Rutman [KR48] sobre operadores que conservam o cone de funções positivas. Também obtemos propriedades asintóticas da função de partição e das medidas de Gibbs. Esses propriedades permitem obter uma região onde a energia livre converge. O segundo método permite obter uma região onde a curva crítica do modelo pode estar localizada. Além disso, também obtemos uma cota superior e inferior para a energia livre a volume infinito. Finalmente, utilizando argumentos de dualidade em grafos e expansão em alta temperatura estudamos o modelo de Potts acoplado as triangulações causais. Essa abordagem permite generalizar o modelo, melhorar os resultados obtidos para o modelo de Ising e obter novas cotas, superior e inferior, para a energia livre e para a curva crítica. Além disso, obtemos uma aproximação do autovalor maximal do operador de transferência a baixa temperatura.

The main objective of the present thesis is to investigate: What are the properties of the Ising and Potts model coupled to a CDT emsemble? For that objective, we used two methods: (1) transfer matrix formalism and Krein-Rutman theory. (2) FK representation of the q -state Potts model on CDTs and dual CDTs. Transfer matrix formalism permite us to obtain spectral properties of the transfer matrix using the Krein-Rutman theorem [KR48] on operators preserving the cone of positive func- tions. This yields results on convergence and asymptotic properties of the partition function and the Gibbs measure and allows us to determine regions in the parameter quarter-plane where the free energy converges. Second methods permite us to determine a region in the quadrant of parameters , > 0 where the critical curve for the classical model can be located. We also provide lower and upper bounds for the innite-volume free energy. Finally, using arguments of duality on graph theory and hight-T expansion we study the Potts model coupled to CDTs. This approach permite us to improve the results obtained for Ising model and obtain lower and upper bounds for the critical curve and free energy. Moreover, we obtain an approximation of the maximal eigenvalue of the transfer matrix at lower temperature. / O objetivo principal da presente tese é pesquisar : Quais são as propriedades do modelo de Ising e Potts acoplado ao emsemble de CDT? Para estudar o modelo usamos dois métodos: (1) Matriz de transferência e Teorema de Krein-Rutman. (2) Representação FK para o modelo de Potts sobre CDT e dual de CDT. Matriz de transferência permite obter propriedades espectrais da Matriz de transferência utilizando o Teorema de Krein-Rutman [KR48] sobre operadores que conservam o cone de funções positivas. Também obtemos propriedades asintóticas da função de partição e das medidas de Gibbs. Esses propriedades permitem obter uma região onde a energia livre converge. O segundo método permite obter uma região onde a curva crítica do modelo pode estar localizada. Além disso, também obtemos uma cota superior e inferior para a energia livre a volume infinito. Finalmente, utilizando argumentos de dualidade em grafos e expansão em alta temperatura estudamos o modelo de Potts acoplado as triangulações causais. Essa abordagem permite generalizar o modelo, melhorar os resultados obtidos para o modelo de Ising e obter novas cotas, superior e inferior, para a energia livre e para a curva crítica. Além disso, obtemos uma aproximação do autovalor maximal do operador de transferência a baixa temperatura.

Seja $\\Sigma_(\\mathbb)$ um shift enumerável topologicamente mixing com a propriedade BIP sobre o alfabeto $\\mathbb$, $f: \\Sigma_(\\mathbb) ightarrow \\mathbb$ um potencial com variação somável e pressão topológica finita. Sob hipóteses adequadas provamos a existência de um princípio dos grandes desvios para a familia de estados de Gibbs $(\\mu_{\\beta})_{\\beta > 0}$, onde cada $\\mu_{\\beta}$ é a medida de Gibbs associada ao potencial $\\beta f$. Para fazer isso generalizamos alguns teoremas de Otimização Ergódica para shifts de Markov enumeráveis. Esse resultado generaliza o mesmo princípio no caso de um subshift topologicamente mixing sobre um alfabeto finito, previamente provado por A. Baraviera, A. Lopes e P. Thieullen. / Let $\\Sigma_(\\mathbb)$ be a topologically mixing countable Markov shift with the BIP property over the alphabet $\\mathbb$ and a potential $f: \\Sigma_(\\mathbb) ightarrow \\mathbb$ with summable variation and finite pressure. Under suitable hypotheses, we prove the existence of a large deviation principle for the family of Gibbs states $(\\mu_{\\beta})_{\\beta > 0}$ where each $\\mu_{\\beta}$ is the Gibbs measure associated to the potential $\\beta f$. For do this we generalize some theorems from finite to countable Markov shifts in Ergodic Optimization. This result generalizes the same principle in the case of topologically mixing subshifts over a finite alphabet previously proved by A. Baraviera, A. Lopes and P. Thieullen.

Seja $\\Sigma_(\\mathbb)$ um shift enumerável topologicamente mixing com a propriedade BIP sobre o alfabeto $\\mathbb$, $f: \\Sigma_(\\mathbb) ightarrow \\mathbb$ um potencial com variação somável e pressão topológica finita. Sob hipóteses adequadas provamos a existência de um princípio dos grandes desvios para a familia de estados de Gibbs $(\\mu_{\\beta})_{\\beta > 0}$, onde cada $\\mu_{\\beta}$ é a medida de Gibbs associada ao potencial $\\beta f$. Para fazer isso generalizamos alguns teoremas de Otimização Ergódica para shifts de Markov enumeráveis. Esse resultado generaliza o mesmo princípio no caso de um subshift topologicamente mixing sobre um alfabeto finito, previamente provado por A. Baraviera, A. Lopes e P. Thieullen. / Let $\\Sigma_(\\mathbb)$ be a topologically mixing countable Markov shift with the BIP property over the alphabet $\\mathbb$ and a potential $f: \\Sigma_(\\mathbb) ightarrow \\mathbb$ with summable variation and finite pressure. Under suitable hypotheses, we prove the existence of a large deviation principle for the family of Gibbs states $(\\mu_{\\beta})_{\\beta > 0}$ where each $\\mu_{\\beta}$ is the Gibbs measure associated to the potential $\\beta f$. For do this we generalize some theorems from finite to countable Markov shifts in Ergodic Optimization. This result generalizes the same principle in the case of topologically mixing subshifts over a finite alphabet previously proved by A. Baraviera, A. Lopes and P. Thieullen.