Quelles sont les déformations et les contraintes que subissent une structure gonflée précontrainte lorsqu'elle est soumise à des perturbations de son environnement extérieur? Cette thèse répond à cette interrogation dans le cas d'un lobe formé de deux membranes orthotropes, fixées sur leurs longueurs à deux axes rigides, successivement rectilignes puis légèrement arrondis, et sur leurs largeurs à des arcs de cercle également rigides. L'intérieur est gonflé par un gaz supposé parfait.<br /> A partir d'une modélisation mécanique en élasticité linéaire, nous avons établi un modèle mathématique rigoureux en 3D. Puis en faisant tendre l'épaisseur des membranes vers zéro, nous avons obtenu un modèle asymptotique 2D, bien posé pour certaines forces, dites admissibles, dans des espaces obtenus par complétion. Nous avons alors démontré que la suite des valeurs moyennes dans l'épaisseur des solutions des problèmes 3D converge fortement vers l'unique solution du problème asymptotique. Nous avons de plus mis en évidence des conditions suffisantes d'admissibilité des forces extérieures.<br /> L'analyse numérique du modèle asymptotique a montré que les estimations d'erreur a priori se font dans la norme de l'énergie. Ce qui, comme l'ont confirmé quelques essais numériques, ne va pas sans poser de problèmes quand on s'intéresse aux déplacements, mais est tout à fait satisfaisant du point de vue des contraintes.

Cette thèse est dédiée à la modélisation et à l'analyse mathématique de modèles asymptotiques utilisés en océanographie décrivant la propagation des ondes internes à l'interface entre deux couches de fluides de densités différentes, soumis à la seule force de gravité.L'objectif de cette thèse est de construire et justifier de nouveaux modèles asymptotiques prenant en compte la variation de la topographie. Pour ce faire, on pose plusieurs hypothèses de petitesse sur la profondeur de l'eau et sur les déformations à l'interface et au fond. On s'intéresse plus particulièrement à deux régimes de variations topographiques, celui de moyenne amplitude et celui de lentes variations de grande amplitude.La première partie de cette thèse consiste à justifier rigoureusement et étudier mathématiquement (existence, unicité, stabilité et convergence de la solution) deux classes de modèles asymptotiques. Une classe de modèles couplés et une classe de modèles scalaires. Cette dernière classe est caractérisée par la description de la propagation unidirectionnelle des ondes internes.Dans la deuxième partie on propose un schéma numérique pour résoudre le modèle asymptotique couplé dérivé dans la première partie dans le cadre d'un font plat. Ce modèle existant dans la littérature a été reformulé d'une façon plus appropriée pour la résolution numérique en gardant le même ordre de précision que l'original et en améliorant ses propriétés de dispersion. Enfin nous présentons plusieurs simulations numériques pour valider notre schéma. / This thesis is dedicated to the modeling and the mathematical analysis of asymptotic models used in oceanography describing the propagation of internal waves at the interface between two layers of fluids of different densities, under the only influence of gravity.We aim here at constructing and justifying new asymptotic models taking into account variable topography. To this end, we assume several smallness assumptions on the depth of the water and on the deformations at the interface and at the bottom. We are interested in two topographic regimes, one for variations of medium amplitude and one for slow variations with large amplitude.In the first part of this thesis we rigorously justify and mathematically study (existence, uniqueness, stability and convergence of the solution) two classes of asymptotic models. A class of coupled models and a class of scalar models. The latter class is characterized by the description of the propagation of unidirectional internal waves. In the second part we propose a numerical resolution for the coupled asymptotic model derived in the first part restricted to the flat bottom case. This existing model in the literature has been rewritten under a new formulation more suitable for numericalresolution with the same order of precision as the standard one but with improved frequency dispersion. Finally, we present several numerical simulations to validate our scheme.

Cette thèse est consacrée au développement d’un noyau du logiciel MEMSALab de modélisation parcalcul symbolique qui sera utilisé pour la génération automatique de modèles asymptotiques pourdes matrices de micro et nano-systèmes. Contrairement à des logiciels traditionnels réalisant des simulationsnumériques utilisant des modèles prédéfinis, le principe de fonctionnement de MEMSALabest de construire des modèles asymptotiques qui transforment des équations aux dérivées partiellesen tenant compte de leurs caractéristiques. Une méthode appelée ”par extension-combinaison” pourla modélisation asymptotique, qui permet la construction de modèle de façon incrémentale de sorteque les caractéristiques désirées soient incluses étape par étape est tout d’abord proposé pour lemodèle d’homogénéisation dérivation. Il repose sur une combinaison de méthodes asymptotiquesissues de la théorie des équations aux dérivés partielles et de techniques de réécriture issues del’informatique. Cette méthode concentre sur la dérivation de modèle pour les familles de PDEs aulieu de chacune d’entre elles. Un modèle d’homogénéisation de l’électro thermoélastique équationdéfinie dans un domaine mince multicouche est dérivé par utiliser la méthode mathématique danscette approche. Pour finir, un outil d’optimisation a été développé en combinant SIMBAD, une boite `aoutils logicielle pour l’optimisation et développée en interne, et COMSOL-MATLAB. Il a ´ et ´e appliquépour étudier la conception optimale d’une classe de sondes de microscopie atomique thermique et apermis d’ établir des règles générale pour leurs conception / This thesis is dedicated to develop a kernel of a symbolic asymptotic modeling software packageMEMSALab which will be used for automatic generation of asymptotic models for arrays of micro andnanosystems. Unlike traditional software packages aimed at numerical simulations by using pre-builtmodels, the purpose of MEMSALab is to derive asymptotic models for input equations by taking intoaccount their own features. An approach called ”by extension-combination” for the asymptotic modelingwhich allows an incremental model construction is firstly proposed for the homogenization modelderivation. It relies on a combination of the asymptotic method used in the field of partial differentialequations with term rewriting techniques coming from computer science. This approach focuses onthe model derivation for family of PDEs instead of each of them. An homogenization model of theelectrothermoelastic equation defined in a multi-layered thin domain has been derived by applyingthe mathematical method used in this approach. At last, an optimization tool has been developed bycombining a house-made optimization software package SIMBAD and COMSOL-MATLAB simulationand it has been applied for optimization of a SThM probe.