Les modèles sur réseau comme ceux de la percolation, d’Ising et de Potts servent à décrire les transitions de phase en deux dimensions. La recherche de leur solution analytique passe par le calcul de la fonction de partition et la diagonalisation de matrices de transfert. Au point critique, ces modèles statistiques bidimensionnels sont invariants sous les transformations conformes et la construction de théories des champs conformes rationnelles, limites continues des modèles statistiques, permet un calcul de la fonction de partition au point critique. Plusieurs chercheurs pensent cependant que le paradigme des théories des champs conformes rationnelles peut être élargi pour inclure les modèles statistiques avec des matrices de transfert non diagonalisables. Ces modèles seraient alors décrits, dans la limite d’échelle, par des théories des champs logarithmiques et les représentations de l’algèbre de Virasoro intervenant dans la description des observables physiques seraient indécomposables. La matrice de transfert de boucles D_N(λ, u), un élément de l’algèbre de Temperley- Lieb, se manifeste dans les théories physiques à l’aide des représentations de connectivités ρ (link modules). L’espace vectoriel sur lequel agit cette représentation se décompose en secteurs étiquetés par un paramètre physique, le nombre d de défauts. L’action de cette représentation ne peut que diminuer ce nombre ou le laisser constant. La thèse est consacrée à l’identification de la structure de Jordan de D_N(λ, u) dans ces représentations. Le paramètre β = 2 cos λ = −(q + 1/q) fixe la théorie : β = 1 pour la percolation et √2 pour le modèle d’Ising, par exemple. Sur la géométrie du ruban, nous montrons que D_N(λ, u) possède les mêmes blocs de Jordan que F_N, son plus haut coefficient de Fourier. Nous étudions la non diagonalisabilité de F_N à l’aide des divergences de certaines composantes de ses vecteurs propres, qui apparaissent aux valeurs critiques de λ. Nous prouvons dans ρ(D_N(λ, u)) l’existence de cellules de Jordan intersectorielles, de rang 2 et couplant des secteurs d, d′ lorsque certaines contraintes sur λ, d, d′ et N sont satisfaites. Pour le modèle de polymères denses critique (β = 0) sur le ruban, les valeurs propres de ρ(D_N(λ, u)) étaient connues, mais les dégénérescences conjecturées. En construisant un isomorphisme entre les modules de connectivités et un sous-espace des modules de spins du modèle XXZ en q = i, nous prouvons cette conjecture. Nous montrons aussi que la restriction de l’hamiltonien de boucles à un secteur donné est diagonalisable et trouvons la forme de Jordan exacte de l’hamiltonien XX, non triviale pour N pair seulement. Enfin nous étudions la structure de Jordan de la matrice de transfert T_N(λ, ν) pour des conditions aux frontières périodiques. La matrice T_N(λ, ν) a des blocs de Jordan intrasectoriels et intersectoriels lorsque λ = πa/b, et a, b ∈ Z×. L’approche par F_N admet une généralisation qui permet de diagnostiquer des cellules intersectorielles dont le rang excède 2 dans certains cas et peut croître indéfiniment avec N. Pour les blocs de Jordan intrasectoriels, nous montrons que les représentations de connectivités sur le cylindre et celles du modèle XXZ sont isomorphes sauf pour certaines valeurs précises de q et du paramètre de torsion v. En utilisant le comportement de la transformation i_N^d dans un voisinage des valeurs critiques (q_c, v_c), nous construisons explicitement des vecteurs généralisés de Jordan de rang 2 et discutons l’existence de blocs de Jordan intrasectoriels de plus haut rang. / Lattice models such as percolation, the Ising model and the Potts model are useful for the description of phase transitions in two dimensions. Finding analytical solutions is done by calculating the partition function, which in turn requires finding eigenvalues of transfer matrices. At the critical point, the two dimensional statistical models are invariant under conformal transformations and the construction of rational conformal field theories, as the continuum limit of these lattice models, allows one to compute the partition function at the critical point. Many researchers think however that the paradigm of rational conformal conformal field theories can be extended to include models with non diagonalizable transfer matrices. These models would then be described, in the scaling limit, by logarithmic conformal field theories and the representations of the Virasoro algebra coming into play would be indecomposable. We recall the construction of the double-row transfer matrix D_N(λ, u) of the Fortuin-Kasteleyn model, seen as an element of the Temperley-Lieb algebra. This transfer matrix comes into play in physical theories through its representation in link modules (or standard modules). The vector space on which this representation acts decomposes into sectors labelled by a physical parameter d, the number of defects, which remains constant or decreases in the link representations. This thesis is devoted to the identification of the Jordan structure of D_N(λ, u) in the link representations. The parameter β = 2 cos λ = −(q + 1/q) fixes the theory : for instance β = 1 for percolation and √2 for the Ising model. On the geometry of the strip with open boundary conditions, we show that D_N(λ, u) has the same Jordan blocks as its highest Fourier coefficient, F_N. We study the non-diagonalizability of F_N through the divergences of some of the eigenstates of ρ(F_N) that appear at the critical values of λ. The Jordan cells we find in ρ(D_N(λ, u)) have rank 2 and couple sectors d and d′ when specific constraints on λ, d, d′ and N are satisfied. For the model of critical dense polymers (β = 0) on the strip, the eigenvalues of ρ(D_N(λ, u)) were known, but their degeneracies only conjectured. By constructing an isomorphism between the link modules on the strip and a subspace of spin modules of the XXZ model at q = i, we prove this conjecture. We also show that the restriction of the Hamiltonian to any sector d is diagonalizable, and that the XX Hamiltonian has rank 2 Jordan cells when N is even. Finally, we study the Jordan structure of the transfer matrix T_N(λ, ν) for periodic boundary conditions. When λ = πa/b and a, b ∈ Z×, the matrix T_N(λ, ν) has Jordan blocks between sectors, but also within sectors. The approach using F_N admits a generalization to the present case and allows us to probe the Jordan cells that tie different sectors. The rank of these cells exceeds 2 in some cases and can grow indefinitely with N. For the Jordan blocks within a sector, we show that the link modules on the cylinder and the XXZ spin modules are isomorphic except for specific curves in the (q, v) plane. By using the behavior of the transformation i_N^d in a neighborhood of the critical values (q_c, v_c), we explicitly build Jordan partners of rank 2 and discuss the existence of Jordan cells with higher rank.

Cette thèse s'inscrit dans l'étude mathématique de la percolation, qui regroupe une famille de modèles présentant une transition de phase. Des avancées majeures au cours des quinze dernières années, notamment l'invention du SLE et la preuve de l'invariance conforme de la percolation de Bernoulli critique, nous permettent aujourd'hui d'avoir une image très complète de la percolation de Bernoulli sur le réseau triangulaire. Cependant, de nombreuses questions demeurent ouvertes, et ont motivé notre travail.La première d'entre elle est l'universalité de la percolation plane, qui affirme que les propriétés macroscopiques de la percolation plane critique ne devraient pas dépendre du réseau sous-jacent à sa définition. Nous montrons, dans le cadre de la percolation Divide and Color, un résultat qui va dans le sens de cette universalité et identifions, dans ce contexte, des phénomènes macroscopiques indépendants du réseau microscopique. Une version plus faible d'universalité est donnée par la théorie de Russo-Seymour-Welsh (RSW), et sa validité est connue pour la percolation de Bernoulli (sans dépendance) sur les réseaux plans suffisamment symétriques. Nous étudions de nouveaux arguments de type RSW pour des modèles de percolation avec dépendance. La deuxième question que nous avons abordée est celle de l'absence d'une composante connexe ouverte infinie au point critique, une question importante du point de vue physique, puisqu'elle traduit la continuité de la transition de phase. Dans deux travaux en collaboration avec Hugo Duminil-Copin et Vladas Sidoravicius, nous montrons que la transition de phase est continue pour la percolation de Bernoulli sur le graphe Z^2x{0,...,k}, et pour la percolation FK sur le réseau carré avec paramètre q inférieur ou égal à 4. Enfin, la dernière question qui nous a guidés est la localité du point critique : la donnée des boules de grands rayons d'un graphe suffit-elle à identifier avec une bonne précision la valeur du point critique? Dans un travail en collaboration avec Sébastien Martineau, nous répondons de manière affirmative à cette question dans le cadre des graphes de Cayley de groupes abéliens. / This thesis is part of the mathematical study of percolation theory, which includes a family of models with a phase transition. Major advances in the 2000s, including the invention of SLE and the proof of conformal invariance of critical Bernoulli percolation, provide us with a very complete picture of the Bernoulli percolation process on the triangular lattice. Fortunately, many questions remain open, and motivated our work.The first of these is the universality of planar percolation, which states that the macroscopic properties of critical planar percolation should not depend on the underlying graph. We study this question in the framework of Divide and Color percolation, and prove in this context a result that goes in the direction of universality. A weaker universality statement is given by the theory of Russo-Seymour-Welsh (RSW), which is known to hold for planar Bernoulli percolation (without dependence) on sufficiently symmetric graphs. We study new RSW-type arguments for percolation models with dependence.The second question is the absence of an infinite cluster at the critical point, an important question from a physical point of view, equivalent to the continuity of the phase transition. In two different joint works with Hugo Duminil-Copin and Vladas Sidoravicius, we show that the phase transition is continuous for Bernoulli percolation on the graph Z^2 x {0,...,k} and for FK percolation on the square lattice with parameter q smaller than or equal to 4.Finally, the last question that guided us is the locality of the critical point: is it possible to determine with good accuracy the critical value for Bernoulli percolation on a graph if we know only the balls with large radii? Jointly with Sébastien Martineau, we answer positively to this question in the framework of Cayley graphs of abelian groups.