Dans cette thèse, nous nous intéressons à trois développements des arbres de ramification("splitting trees") introduits par Geiger & Kersting (1997), et aux processus de branchement de Crump-Mode-Jagers (CMJ) qui y sont associés. Ces arbres aléatoires modélisent une population où tous les individus ont des durées de vie indépendantes et identiquement distribuées et qui donnent naissance à taux constant b durant leurs vies à des copies d'eux-mêmes. Le processus comptant le nombre d'individus vivants au cours du temps est un processus CMJ binaire et homogène qui peut être vu comme une généralisation du processus de vie et de mort markovien dans lequel les durées de vie sont exponentielles. Dans un premier chapitre, nous considérons un modèle île-continent, généralisant celui de Karlin et McGregor, et dans lequel des individus portant des types immigrent à taux T vers une île et y fondent des familles qui évoluent indépendamment et suivant le mécanisme décrit précédemment. Différentes hypothèses sont faites sur la façon dont les types sont choisis (soit chaque nouvel immigrant est d'un type différent des précédents, soit il est de type i avec une proba pi, etc.) et nous déterminons les proportions asymptotiques de chacun des types dans la population totale. Dans le cas "nouvel immigrant=nouveau type", la limite suit une distribution GEM de paramètre T/b et nous remarquons qu'elle ne dépend que de ce rapport et pas de loi de la durée de vie des individus. Dans un second temps, nous étudions un autre modèle de population dans des mutations pouvant se produire à la naissance des individus avec une certaine probabilité. Nous considérons un modèle dit à une infinité d'allèles, c'est-à-dire que chaque mutant est d'un type (ou allèle) jamais rencontré auparavant, et neutre car quels que soient leurs types, les individus évoluent tous de la même manière. Nous étudions la partition allélique de la population en considérant son spectre de fréquence qui décrit le nombre de types d'âge donné et portés par un nombre donné d'individus. Nous obtenons des résultats concernant son comportement asymptotique en utilisant les caractéristiques aléatoires de Jagers & Nerman. Nous donnons également la convergence en loi des abondances des plus grandes familles et des âges des plus vieilles familles. Dans le dernier chapitre, nous nous intéressons à des processus de Lévy spectralement positifs (ou sans sauts négatifs), ne dérivant pas vers l'infini et que l'on conditionne à rester positifs en un nouveau sens. Pour cela, un processus X partant de x > 0 est conditionné à atteindre des hauteurs arbitrairement grandes avant de toucher 0 où le terme hauteur est à comprendre au sens du processus des hauteurs de Duquesne & Le Gall (2002). La loi du processus conditionné est définie à l'aide d'une h-transformée via une martingale. Lorsque X est à variation finie, l'argument principal est que X peut être vu comme le processus de contour d'un arbre de ramification et ainsi conditionner le processus de Lévy revient à conditionner l'arbre à atteindre des générations arbitrairement grandes. Lorsque X est à variation infinie, le processus des hauteurs est défini à l'aide de temps locaux et la martingale est construite à partir du processus d'exploration de Duquesne et Le Gall, qui est un processus de Markov à valeurs mesures.

Cette thèse étudie le Q-processus de certains processus de branchement (superprocessus inhomogènes) ou de recombinaison (processus de Lambda-Fleming-Viot) via une approche généalogique. Dans le premier cas, le Q-processus est défini comme le processus conditionné à la non-extinction, dans le second cas comme le processus conditionné à la non-absorption. Des constructions trajectorielles des Q-processus sont proposées dans les deux cas. Une nouvelle relation entre superprocessus homogènes et processus de Lambda-Fleming-Viot est établie. Enfin, une étude du Q-processus est menée dans le cadre général des processus régénératifs

Cette thèse étudie le Q-processus de certains processus de branchement (superprocessus inhomogènes) ou de recombinaison (processus de Lambda-Fleming-Viot) via une approche généalogique. Dans le premier cas, le Q-processus est défini comme le processus conditionné à la non-extinction, dans le second cas comme le processus conditionné à la non-absorption. Des constructions trajectorielles des Q-processus sont proposées dans les deux cas. Une nouvelle relation entre superprocessus homogènes et processus de Lambda-Fleming-Viot est établie. Enfin, une étude du Q-processus est menée dans le cadre général des processus régénératifs / This work is concerned with the definition and study of the Q-process of some branching processes (inhomogeneous superprocesses) or recombination processes (Lambda-Fleming-Viot process). In the first case, the Q-process is defined as the process conditioned on non-extinction, whereas in the second case, it is defined as the process conditioned on non-absorbtion. A pathwise construction of the Q-process is given in both cases. A link between a class of homogeneous superprocesses and Lambda-Fleming-Viot processes is provided. Last, a study of the Q-process in the more general framework of regenerative processes is performed

La question de l’évolution de la coopération suscite l’intérêt des biologistes depuis longtemps. Les modèles mathématiques ont joué un rôle essentiel dans la résolution du problème. La théorie des jeux précise la notion de coopération, tandis que les équations différentielles et les probabilités permettent de comprendre l’évolution des populations dans le temps. Ce mémoire est consacré à l’analyse de certains modèles de population qui ont en commun un phénomène d’appariement. Il faut comprendre par là que les individus expriment une préférence à interagir avec des individus semblables. Un chapitre liminaire revient sur certains développements importants de la théorie dy namique des jeux et de la biologie mathématique en général. On y évoque notamment l’équation de réplication, le modèle de Cannings, la diffusion de Wright-Fisher et la règle du tiers de l’évolution. Le second chapitre est un article « Assortment by Group Founders Always Promotes the Evolution of Cooperation Under Global Selection but Can Oppose it Under Local Selection ». On y examine l’effet de l’appariement sur la stabilité de l’équation de réplication avec sélection locale et globale, et la probabilité de fixation dans le modèle de Cannings avec sélection pour une grande population, pour des jeux de deux joueurs. Le troisième chapitre est un autre article « Evolution of cooperation in social dilemmas with assortment in finite population ». Il prolonge les résultats du premier article aux jeux de plusieurs joueurs, appelés dilemmes sociaux, pour une population grande mais finie. / The problem of the evolution of cooperation has long captured the interest of biologists. Mathematical models have played a crucial role in the resolution of this problem. Game theory offers a precise definition of cooperation, while differential equations and probabil ity theory allows us to understand the temporal dynamics of populations. This thesis is dedicated to the analysis of population models with assortment, meaning that individuals express a preference for interacting with similar partners. An introductory chapter recounts some important innovations of dynamic game theory and mathematical biology as a whole. The replicator equation, Cannings’ model, the Wright Fisher diffusion and the one-third law of evolution, among others, are discussed. The second chapter is an article "Assortment by Group Founders Always Promotes the Evolution of Cooperation Under Global Selection but Can Oppose it Under Local Selection". The effect of assortment on the stability of the replicator equation with local and global selection and the fixation probability in the Cannings’ model with selection for a large finite population and two-players games, is examined. The third chapter is another article "Evolution of cooperation in social dilemmas with assortment in finite population". The results of the first article are extended to many-players games, called social dilemmas, for a large finite population.