Cette thèse a pour sujet une classe de théories des champs intégrables appelées modèles avec fonction twist. Les principaux exemples de tels modèles sont les modèles sigma non-linéaires intégrables, tel le Modèle Principal Chiral, et leurs déformations. Un premier résultat obtenu est la preuve que le modèle dit de Bi-Yang-Baxter, qui est une déformation à deux paramètres du Modèle Principal Chiral, est lui aussi un modèle avec fonction twist. Il est ensuite montré que les déformations de type Yang-Baxter modifient certaines symétries globales du modèle non déformé en symétries de Poisson-Lie. Un autre chapitre concerne la construction d'une infinité de charges locales en involution pour tous les modèles sigma intégrables et leurs déformations : ce résultat repose sur le formalisme général partagé par tous ces modèles en tant que théories des champs avec fonction twist.La seconde partie de la thèse a pour sujet les modèles de Gaudin. Ceux-ci sont des modèles intégrables associés à des algèbres de Lie. En particulier, les théories des champs avec fonction twist sont liées aux modèles de Gaudin associés à des algèbres de Lie affines. Une approche standard pour l'étude du spectre des modèles de Gaudin quantiques sur des algèbres finies est celle de Feigin-Frenkel-Reshetikhin. Dans cette thèse, des généralisations de cette approche sont conjecturées, motivées et testées. L'une d'elles concerne les modèles de Gaudin finis dits cyclotomiques. La seconde porte sur les modèles de Gaudin associés à des algèbres affines. / This thesis deals with a class of integrable field theories called models with twist function. The main examples of such models are integrable non-linear sigma models, such as the Principal Chiral Model, and their deformations. A first obtained result is the proof that the so-called Bi-Yang-Baxter model, which is a two-parameter deformation of the Principal Chiral Model, is also a model with twist function. It is then shown that Yang-Baxter type deformations modify certain global symmetries of the undeformed model into Poisson-Lie symmetries. Another chapter concerns the construction of an infinite number of local charges in involution for all integrable sigma models and their deformations: this result is based on the general formalism shared by all these models as field theories with twist function.The second part of the thesis concerns Gaudin models. These are integrable models associated with Lie algebras. In particular, field theories with twist function are related to Gaudin models associated with affine Lie algebras. A standard approach for studying the spectrum of quantum Gaudin models over finite algebras is the one of Feigin-Frenkel-Reshetikhin. In this thesis, generalisations of this approach are conjectured, motivated and tested. One of them deals with the so-called cyclotomic finite Gaudin models. The second one concerns the Gaudin models associated with affine Lie algebras.

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Dans cette thèse, nous analysons les propriétés géométriques des surfaces obtenues des solutions classiques des modèles sigma bosoniques et supersymétriques en deux dimensions ayant pour espace cible des variétés grassmanniennes G(m,n). Plus particulièrement, nous considérons la métrique, les formes fondamentales et la courbure gaussienne induites par ces surfaces naturellement plongées dans l'algèbre de Lie su(n). Le premier chapitre présente des outils préliminaires pour comprendre les éléments des chapitres suivants. Nous y présentons les théories de jauge non-abéliennes et les modèles sigma grassmanniens bosoniques ainsi que supersymétriques. Nous nous intéressons aussi à la construction de surfaces dans l'algèbre de Lie su(n) à partir des solutions des modèles sigma bosoniques. Les trois prochains chapitres, formant cette thèse, présentent les contraintes devant être imposées sur les solutions de ces modèles afin d'obtenir des surfaces à courbure gaussienne constante. Ces contraintes permettent d'obtenir une classification des solutions en fonction des valeurs possibles de la courbure. Les chapitres 2 et 3 de cette thèse présentent une analyse de ces surfaces et de leurs solutions classiques pour les modèles sigma grassmanniens bosoniques. Le quatrième consiste en une analyse analogue pour une extension supersymétrique N=2 des modèles sigma bosoniques G(1,n)=CP^(n-1) incluant quelques résultats sur les modèles grassmanniens. Dans le deuxième chapitre, nous étudions les propriétés géométriques des surfaces associées aux solutions holomorphes des modèles sigma grassmanniens bosoniques. Nous donnons une classification complète de ces solutions à courbure gaussienne constante pour les modèles G(2,n) pour n=3,4,5. De plus, nous établissons deux conjectures sur les valeurs constantes possibles de la courbure gaussienne pour G(m,n). Nous donnons aussi des éléments de preuve de ces conjectures en nous appuyant sur les immersions et les coordonnées de Plücker ainsi que la séquence de Veronese. Ces résultats sont publiés dans la revue Journal of Geometry and Physics. Le troisième chapitre présente une analyse des surfaces à courbure gaussienne constante associées aux solutions non-holomorphes des modèles sigma grassmanniens bosoniques. Ce travail généralise les résultats du premier article et donne un algorithme systématique pour l'obtention de telles surfaces issues des solutions connues des modèles. Ces résultats sont publiés dans la revue Journal of Geometry and Physics. Dans le dernier chapitre, nous considérons une extension supersymétrique N=2 du modèle sigma bosonique ayant pour espace cible G(1,n)=CP^(n-1). Ce chapitre décrit la géométrie des surfaces obtenues des solutions du modèle et démontre, dans le cas holomorphe, qu'elles ont une courbure gaussienne constante si et seulement si la solution holomorphe consiste en une généralisation de la séquence de Veronese. De plus, en utilisant une version invariante de jauge du modèle en termes de projecteurs orthogonaux, nous obtenons des solutions non-holomorphes et étudions la géométrie des surfaces associées à ces nouvelles solutions. Ces résultats sont soumis dans la revue Communications in Mathematical Physics. / In this Ph. D. thesis, we analyze the geometric properties of surfaces obtained from the classical solutions of the two-dimensional bosonic and supersymmetric sigma models which has Grassmann manifolds G(m,n) as target space. In particular, we consider the metric, the fundamental forms and the gaussian curvature induced by these surfaces which naturally live in the su(n) Lie algebra. The first chapter presents some preliminary tools to understand the elements of the following chapters. We present non-abelian gauge theories and bosonic grassmannian sigma models as well as its supersymmetric counterpart. Another section presents a construction of surfaces in the Lie algebra su(n) from the solutions of the bosonic sigma models. The three last chapters contained in this thesis presents the constraints that have to be imposed on the solutions of the models in order to generate constant gaussian curvature surfaces. From these constraints, we can give a classification of the solutions depending on the possible values of the curvature. The first two papers presents an investigation of these surfaces and of their associated solutions for the bosonic grassmannian sigma models. In the third paper, we generalize our approach to a supersymmetric extension of the bosonic CP^(n-1)= G(1,n) sigma model including some results for the general Grassmann manifold G(m,n). In chapter 2, we study the geometric properties of surfaces associated to holomorphic solutions of the grassmannian sigma models. We give a complete classification of these constant curvature solutions for the particular models G(2,n) with n=3,4,5. Furthermore, we establish two conjectures on the possible values of the gaussian curvature. We also give some elements of proof for these conjectures in terms of Plücker coordinates and immersions as well as Veronese curves. These results are published in the Journal of Geometry and Physics. The third chapter presents a similar analysis as in the second chapter in the case of non-holomorphic solutions of the bosonic grassmannian sigma models. This work generalizes the results obtained in the first paper and give a systematic algorithm to obtain such surfaces from the known solutions of the models. These results are published in the Journal of Geometry and Physics. In the last chapter of this thesis, we consider a N=2 supersymmetric extension of the bosonic sigma model which has the CP^(n-1)=G(1,n) manifold as target space. This chapter presents a geometric description of the surfaces obtained from the solutions of the model and shows, in the holomorphic case, that they have constant gaussian curvature if and only if the solutions consists of a generalization of the Veronese curve. Furthermore, using a gauge invariant formulation of the model in terms of orthogonal projectors, we obtain explicit non-holomorphic solutions and study the geometry of their associated surfaces. These results are submitted to Communications in Mathematical Physics.