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This thesis explores various connections between multiple zeta values and modular forms of low level. In the first part, we consider double zeta values of odd weight. We generalize a result of Gangl, Kaneko and Zagier on period polynomial relations among double zeta values of even weights to this setting. This answers a question asked by Zagier. We also prove a conjecture of Zagier on the inverse of a certain matrix in this setting. In the second part, we study multiple zeta values of higher depth. In particular, we give a criterion and a conjectural criterion for "fake" relations in depth 4. In the last part, we consider multiple zeta values of levels 2 and 3. We describe one connection with the Hecke operators T₂ and T₃, and another connection with newforms of level 2 and 3. We also give a conjectural generalization of the Eichler-Shimura-Manin correspondence to the spaces of newforms of levels 2 and 3.

京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第24385号 / 理博第4884号 / 新制||理||1699(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)准教授 伊藤 哲史, 教授 雪江 明彦, 教授 池田 保 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

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Modular forms are important in different areas of mathematics and theoretical physics. The theory is well known for the modular group PSL(2,Z), but is also of interest for other Fuchsian groups. In this thesis we will be interested in triangle groups with a cusp. We review some theory about mapping of hyperbolic triangles in order to derive an expression for the Hauptmodul of a triangle group, and use this to write a SageMath-program that calculates the Fourier series of the Hauptmodul. We then review some of the results presented in [4] that describe generalizations of well known concepts such as the Eisenstein series, the Serre derivative and some general results about the algebra of modular forms for triangle groups with a cusp. We correct some of the mistakes made in [4] and prove some further properties of the generators of the algebra of modular forms in the case of Hecke groups. Then we use the results from [4] to write a SageMath-program that calculates the Fourier series of the generators of the algebra of modular forms for triangle groups with a cusp and that also finds the relations between the generators in the special case of Hecke groups. Using the results from this program, we present some conjectures concerning the generators of the algebra of modular forms for a Hecke group, which, if proven to be true, give us a generalization of some of the Ramanujan equations. We conclude by explicitly calculating the generalized Ramanujan equations for the first few Hecke groups.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第19548号 / 理博第4208号 / 新制||理||1604(附属図書館) / 32584 / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 池田 保, 教授 雪江 明彦, 准教授 市野 篤史 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第23685号 / 理博第4775号 / 新制||理||1684(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 荒川 知幸, 教授 玉川 安騎男, 教授 並河 良典 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

Bloch et Beilinson ont proposé plusieurs conjectures sur les liens entre les applications régulateurs du groupe de K-théorie algébrique associée à une courbe modulaire et des valeurs spéciales de fonction L. Fixons N, un entier naturel et considérons le sous-groupe de congruence $\Gamma_0(N)$. Le présent mémoire démontre une formule explicite entre le régulateur de la courbe modulaire $X_0(N)$ appliqué à une forme primitive et une valeur spéciale de la fonction L associée. / Bloch and Beilinson conjectured many relations regarding the regulator of a modular curve. This function from the algebraic K-theory of the modular curve is supposed to be related to special values of L functions. Let N be a positive integer et consider the congruence subgroup $\Gamma_0(N)$. This thesis relates explicitly the regulator of the modular curve $X_0(N)$ applied to some newform with a special value of the newform's L function.

Cette thèse se propose d’obtenir des résultats statistiques sur les zéros non-triviaux de fonctions L. Dans le cas des fonctions L de formes modulaires, on prouve qu’une proportion positive explicite de zéros non-triviaux se situe sur la droite critique. Afin d’arriver à ce résultat, il nous faut préalablement étendre un théorème sur les problèmes de convolution avec décalage additif en moyenne de manière à déterminer le comportement asymptotique du second moment intégral ramolli d’une fonction L de forme modulaire au voisinage de la droite critique. Une autre partie de cette thèse, indépendante de la précédente, est consacrée à l'étude du plus petit zéro non-trivial d’une famille de fonctions L. Ces résultats sont en particulier appliqués aux fonctions L de puissance symétrique. / The purpose of this dissertation is to get some statistical results related to nontrivial zeros of L-functions. In the modular case, we prove and determine an explicit positive proportion of non-trivial zeros lying on the critical line. In order to obtain this result, we need to extend a theorem on shifted convolution sums on average to be able to determine the asymptotic behaviour of the mollified second integral moment of a modular L-function close to the critical line. Independently of these results, we study the smallest non-trivial zero in a family of L-functions. These results are applied to symmetric power L-functions.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre du programme de Langlands local p-adique. Soient L une extension finie de Q_p, \rho_L une représentation p-adique de dimension 2 du groupe de Galois Gal(\overline{Q_p}/L) de L, lorsque \rho_L provient d'une représentation \rho globale et modulaire (i.e. \rho apparaît dans la cohomologie étale des courbes de Shimura), on sait associer à \rho une représentation de Banach admissible de \GL_2(L), notée \widehat{\Pi}(\rho), en utilisant la théorie de la cohomologie étale complétée d'Emerton. Localement, lorsque \rho_L est cristalline (et assez générique), d'après Breuil, on sait associer à \rho_L une représentation localement analytique de \GL_2(L), notée \Pi(\rho_L). Dans cette thèse, on montre divers résultats sur la compatibilité entre les représentations \widehat{\Pi}(\rho) et \Pi(\rho_L), qui s'appelle la compatibilité local-global, dans la cas des courbes de Shimura unitaires. Par la théorie des représentations localement analytiques de \GL_2(L), le problème de compatibilité local-global se ramène à l'étude des variétés de Hecke X construites à partir du H^1-complété des courbes de Shimura unitaires. On montre des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas non-critique en utilisant la théorie de la triangulation globale. On étudie ainsi les formes modulaires p-adiques sur les courbes de Shimura unitaires, à partir desquelles on peut construire des sous-espaces rigides de X à la manière de Coleman-Mazur. On montre l'existence des formes compagnons surconvergentes sur les courbes de Shimura unitaires en utilisant les théorèmes de comparaison p-adique, d'où on déduit des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas critique. / The subject of this thesis is in the p-adic Langlands programme. Let L be a finite extension of \Q_p, \rho_L a 2-dimensional p-adic representation of the Galois group \Gal(\overline{\Q_p}/L) of L, if \rho_L is the restriction of a global modular Galois representation \rho (i.e. \rho appears in the étale cohomology of Shimura curves), one can associate to \rho an admissible Banach representation \widehat{\Pi}(\rho) of \GL_2(L) by using Emerton's completed cohomology theory. Locally, if \rho_L is crystalline (and sufficiently generic), following Breuil, one can associate to \rho_L a locally analytic representation \Pi(\rho_L) of \GL_2(L). In this thesis, we prove results on the compatibility of \widehat{\Pi}(\rho) and \Pi(\rho_L), called local-global compatibility, in the unitary Shimura curves case. By locally analytic representations theory (for \GL_2(L)), the problem of local-global compatibility can be reduced to the study of eigenvarieties X constructed from the completed H^1 of unitary Shimura curves. We prove results on local-global compatibility in non-critical case by using global triangulation theory. We also study the p-adic modular forms over unitary Shimura curves, from which we construct some closed rigid subspaces of X by Coleman-Mazur's method. We prove the existence of overconvergent companion forms (over unitary Shimura curves) by using p-adic comparison theorems, from which we deduce some results on local-global compatibility in critical case.