<p>Plasma-based particle acceleration holds the promise to make the applications that revolve around accelerators more affordable. The central unifying theme of this dissertation is the modeling of certain non-linear and relativistic phenomena in plasma dynamics to devise mechanisms that benefit plasma-accelerators. Plasma acceleration presented here has two distinct flavors depending upon the accelerated particle mass which dictates the acceleration structure velocity and potential. The first deals with ion acceleration, where acceleration structure velocities are a significant fraction of the speed of light, with major applications in medicine. The second focusses on the acceleration of electrons and positrons for light-sources and colliders where the acceleration structures are wakefields with phase-velocities near the speed of light.</p> <p>The increasing Lorentz factor of the laser-driven electron quiver momentum forms the basis of Relativistically Induced Transparency Acceleration (RITA) scheme of ion acceleration. Lighter ions are accelerated by reflecting off a propagating acceleration structure, referred to as a snowplow, formed by the compression of ponderomotively driven critical layer electrons excited in front of a high intensity laser pulse in a fixed-ion plasma. Its velocity is controlled by tailoring the laser pulse rise-time and rising density gradient scale-length. We analytically model its induced transparency driven propagation with a 1-D model based on the linearized dispersion relation. The model is shown to be in good agreement with the weakly non-linear simulations. As the density compression rises into the strongly non-linear regime, the scaling law predictions remain accurate but the model does not exactly predict the RITA velocity or the accelerated ion-energy. Multi-dimensional plasma effects modify the laser radial envelope by self-focussing in the rising density gradient which can be integrated into our model and filamentation which is mitigated by a matched laser focal spot-size. We show that the critical layer motion in RITA compares favorably to the bulk-plasma motion driven by radiation pressure or collision-less shocks.</p> <p>Non-linear mixing of the laser, incident on and reflected off the propagating critical layer modulates its envelope affecting the acceleration structure velocity and potential, in the process setting up a feedback loop. For long pulses the envelope distortion grows with time, disrupting the accelerated ion-beam spectral shape. We model the Chirp Induced Transparency Acceleration (ChITA) mechanism that over- comes this effect by introducing decoherence through a frequency chirp in the laser. </p> <p>In a rising density gradient, the non-linearity of electron trajectories leads to the phase-mixing self-injection of electrons into high phase-velocity plasma wakefields. The onset of trapping depends upon the wake amplitude and the density gradient scale-length. This self-injection mechanism is also applicable to controlling the spuriously accelerated electrons that affect the beam-quality. </p> <p>Non-linear ion dynamics behind a train of asymmetric electron-wake excites a cylindrical ion-soliton similar to the solution of the cylindrical Korteweg-de Vries (cKdV) equation. This non-linear ion-wake establishes an upper limit on the repetition rate of the future plasma colliders. The soliton is excited at the non-linear electron wake radius due to the time-asymmetry of its radial fields. In a non-equilibrium wake heated plasma the radial electron temperature gradient drives the soliton. Its radially outwards propagation leaves behind a partially-filled ion-wake channel. </p> <p>We show positron-beam driven wakefield acceleration in the ion-wake channel. Optimal positron-wakefield acceleration with linear focussing fields is shown to require a matched hollow-plasma channel of a radius that depends upon the beam properties. </p> / Dissertation

Considering noninstantaneous Kerr nonlinearity, the propagation of a partially coherent optical beam are theoretically investigated by using extensions of the nonlinear Schrödinger equation (NLSE). In order to account for the partial coherence of the beam, a phase-diffusion model is used for the laser beam. To introduce the finite response time of the medium, a time dependent nonlinear response is incorporated in the system of NLSE using the Debye relaxation model. We analytically deduce the dispersion relation and numerically compute the gain spectra along with relevant second-order statistical quantities. A detailed study of how these statistical properties are influenced by the group velocity dispersion regime as well as by the delayed nonlinear response of the material is presented. The distinct features for slow and fast delayed nonlinear response are also emphasized. In another aspect of this work, we also conducted theoretical studies on such statistical characteristics near zero-dispersion regime. / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Considerando a não-linearidade não-instantânea do tipo Kerr, a propagacão de um pulso parcialmente coerente é estudado teoricamente através do uso de extensões na equação não linear de Schrödinger. Para isso, levamos em conta um modelo de difusão de fase no pulso parcialmente coerente. Para incorporar o tempo de resposta finito no meio Kerr, utilizamos uma dependência temporal na resposta não linear do meio introduzida na equação não linear de Schrödinger através do modelo de relaxação de Debye. Deduzimos analiticamente também a relação de dispersão e computamos numericamente o espectro de ganho e algumas quantidades estatísticas de segunda ordem relevantes. Neste trabalho realizamos também um estudo detalhado de como estas propriedades estatísticas são influenciadas pelos regimes de dispersão da velocidade de grupo, tanto quanto pelo atraso na resposta não linear do meio em questão. Por fim, enfatizamos as diferentes características para as respostas não lineares rápidas e lentas. Em outra vertente deste trabalho, realizamos estudos teóoricos acerca de tais características estatísticas para o regime de dispersão zero.

Notre travail s'inscrit dans le cadre des télécommunications par fibres optiques où l'information transite sous la forme d'impulsions lumineuses dans le guide d'onde que constitue la fibre. Face à la demande sans cesse croissante en matière de débit d'information transmise dans une fibre, les trains d'impulsions qui véhiculent cette information sont rendus plus denses : les impulsions sont plus brèves et la distance qui les sépare diminue. Cette évolution est freinée par deux aspects qui sont de natures très différentes. Le premier naît du besoin de diriger l'information dans un réseau, ce qui nécessite d'effectuer des opérations logiques et de passer par des dispositifs électroniques qui sont lents à l'échelle de l'optique. Le deuxième aspect consiste en la dispersion de la vitesse de groupe présente dans la fibre. Sous son infiuence, les impulsions ont tendance à s'étaler et peuvent se recouvrir au sein du train, ce qui détruit l'information.<br> La dispersion peut être contrée par la non-linéarité de la fibre optique. Celle-ci provoque l'effet inverse de la dispersion : une contraction de l'impulsion. Si l'on choisit judicieusement le profil des impulsions, elles peuvent se propager sans déformation grâce à la compensation des deux effets antagonistes que sont la dispersion et la non-linéarité. De telles impulsions sont appelées « solitons ». Ils sont stables et permettent de véhiculer l'information sans la détruire. Malheureusement, la nature non linéaire de leur régime de propagation implique qu'ils modifient le milieu supportant leur propagation au point d'interagir avec leurs voisins et de modifier leur instant d'arrivée en fin de fibre. Cet effet détériore l'information et oblige à espacer les impulsions qui transitent dans la fibre, ce qui limite le débit d'information véhiculée.<br> Jusqu'à présent, les effets non linéaires dans les fibres optiques ont principalement été étudiés dans une approximation scalaire de la réalité, ce qui ne permet pas de prédire un certain nombre de phénomènes qui font intervenir la polarisation du champ électrique associé à l'impulsion. Un modèle vectoriel permet, entre autres, de décrire les « solitons elliptiques fondamentaux », les « solitons de parois de domaines de polarisation » et les « états liés de solitons vectoriels ».<br> C'est à ces êtres optiques que nous nous sommes intéressés dans notre travail qui comprend trois grands axes.<br> Le premier consiste en une étude théorique des états liés de solitons vectoriels. Préalablement à notre étude, ceux-ci se sont révélés instables dans des simulations numériques. Nous avons abordé le problème de manière analytique et montré l'existence d'états liés de solitons vectoriels. Ensuite, nous avons étudié leur dynamique et montré qu'ils sont instables par brisure de symétrie dans les fibres optiques isotropes. Suite à cela, nous avons analysé leur propagation en fibres à biréfringence aléatoire et montré qu'ils y sont stables, ce qui a permis d'expliquer la réussite d'expériences de multiplexage en polarisation dans lesquelles deux impulsions successives du train peuvent être vues comme des états liés.<br> La formulation mathématique des états liés que nous avons étudiés dans les fibres optiques est analogue à celle des états liés spatiaux qui apparaissent dans les milieux de type Kerr. Cette analogie nous a permis de proposer un principe de commutation, basé sur l'instabilité des états liés par brisure de symétrie, qui présente les avantages de nécessiter une très faible puissance de contrôle et de travailler beaucoup plus rapidement que l'électronique.<br> Les deux autres axes de notre travail sont liés à l'observation expérimentale des solitons elliptiques parmi lesquels les « solitons de parois de domaines de polarisation » constituent de bons porteurs d'information dans les fibres optiques car, selon les simulations numériques, ils ne souffriraient pas des interactions entre solitons voisins d'un train telles que nous les avons décrites ci-dessus pour les solitons scalaires. Afin d'observer les solitons elliptiques, trois étapes sont nécessaires. D'un point de vue pratique, elles s'agencent comme suit : il faut vérifier qu'il existe des fibres dont l'isotropie soit suffisante pour soutenir leur propagation, puis il faut disposer des instruments qui permettent de les observer et, enfin, il faut les générer. Cette dernière étape mérite une étude complète à elle seule, et nous ne l'avons pas abordée.<br> Nous avons par contre vérifié la possibilité d'observer des phénomènes qui ne peuvent se produire qu'en fibres isotropes et qui trouvent leur origine dans le même phénomène physique, à savoir, l'interaction entre la dispersion et la non-linéarité vectorielle. En l'occurrence, nous avons effectué la première observation d'une prédiction effectuée il y a trente ans, mais jamais observée jusqu'alors : l'existence de l'« instabilité modulationnelle de polarisation » en fibre optique isotrope. La vérification de toutes les prédictions associées à cette instabilité nous a permis de conclure que le choix d'une fibre de type « spun » associé à des précautions d'utilisation permettra de propager des solitons elliptiques.<br> Suite à ce succès, nous avons abordé l'étude du dispositif de détection des solitons elliptiques. Pour comprendre sa spécificité, il faut savoir que l'observation des solitons elliptiques nécessite de travailler à des puissances de crête très élevées pour faire ressortir la non-linéarité de la fibre optique. Ces puissances sont atteintes en concentrant une faible énergie sur un temps ultracourt, de l'ordre d'une centaine de femtosecondes. Nous avons développé deux méthodes de mesure basées sur la reconstruction de la phase spectrale de l'impulsion au départ de signaux de battement entre fréquences voisines du spectre. Ces méthodes présentent l'avantage d'être purement linéaires, ce qui leur confère une très grande sensibilité ; et de permettre le calcul simple et sans ambiguïté de la phase spectrale. La première des techniques que nous avons développées est adaptée aux trains ultrarapides d'impulsions courtes et répond à un besoin dans le domaine des télécommunications, tandis que la seconde peut s'appliquer aux bas taux de répétitions et aux impulsions courtes ou ultracourtes.

Cette thèse étudie l'influence du vent sur l'instabilité modulationnelle. Une première partie unifie les travaux de Segur et al. qui intègrent la dissipation et ceux de Leblanc qui prennent en compte le vent. Une équation non linéaire de Schrödinger est établie avec un terme additionnel linéaire résultant de la compétition entre le vent et la dissipation. La dissipation est traduite par le modèle de Lundgren et l'effet du vent se manifeste par l'intermédiaire de la pression atmosphérique selon le modèle de Miles. La profondeur est finie. Une étude de stabilité de l'onde de Stokes est détaillée, et des simulations numériques sont menées pour illustrer les résultats. Des expérimentations sont menées pour apporter une validation qualitative à ces travaux. Cette première partie a été validée par une publication au Journal of Fluid Mechanics (2010). La deuxième partie étudie l'influence du vent sur l'instabilité modulationnelle par l'intermédiaire de la vorticité qu'il crée en surface. Le modèle est simplifié par l'hypothèse d'un écoulement unidirectionnel et d'une vorticité constante. La profondeur est encore supposée finie. Une équation non linéaire de Schrödinger est établie, qui prend en compte cette vorticité constante. La stabilité de l'onde de Stokes est alors étudiée en détail(diagramme d'instabilité en fonction de la vorticité et de la profondeur, bande d'instabilité, taux d'instabilité, etc.). Il est démontré qu'une vorticité négative, au delà d'un certain seuil, supprime l'instabilité modulationnelle indépendamment de la profondeur. Cette deuxième partie a été soumise pour publication au journal Physics of Fluids. / This thesis manuscript treats about the influence of wind on modulational instability. A first part merges the works of Segur at al. which take into account viscous dissipation and Leblanc's work which deals with wind. A nonlinear Schrödinger equation is derived, with a forcing linear term which represents the result of the balance between wind forcing and dissipation. Visous dissipation is represented by Lundgren's model and the effect of wind is integrated into atmospheric pressure following Miles' model. Depth is finite. The stability of Stokes's waves is investigated, and numerical simulations are presented to illustrate the results. Some experimentations are done to confirm qualitatively these works. This first part was validated by a publication in the Journal of Fluid Mechanics~(2010). The second part studies the influence of the wind on the modulational instability by the intermediary of the vorticity whom it creates on the water at the surface. The model is simplified by the hypothesis of an unidirectional flow and a constant vorticity. The depth is still supposed finite. A non linear Schrödinger equation is derived, which takes into account this constant vorticity. The stability of the Stokes' wave is studied then in detail (instability diagram function of vorticity and depth, instability bandwidth, instability rate, etc.). It is demonstrated that a negative vorticity, beyond a certain threshold, eliminates the modulational instability independently of the depth. This second part has been submitted for publication in the journal Physics of Fluids.

Cette thèse présente des travaux portant sur l'instabilité modulationnelle (IM) dans des fibres optiques dotées à la fois d'une forte non linéarité et d'un fort coefficient d'absorption. Une analyse comparative des performances de plusieurs grandes classes de fibres (de verres silice et non silice) sur leur aptitude à générer des bandes latérales d'IM avec un minimum de puissance de pompe, et sur la plus courte distance possible, est effectuée. Les fibres de verres non silice de type Chalcogénure ou Tellure apparaissent à première vue comme étant les plus performantes, mais un examen attentif révèle que leurs spectres sont altérés par un phénomène de dérive en fréquence des bandes latérales d'IM, qui est provoquée par une forte absorption du laser de pompe. Nous développons alors une méthode qui permet de supprimer la dérive en fréquence des bandes latérales d'IM dans les fibres à fort coefficient d'absorption. Cette méthode, que nous avons baptisé "méthode du réservoir de photons", consiste à créer au sein de la fibre, par un ajustement approprié des paramètres de dispersion d'ordre deux et quatre, un réservoir de photons qui alimente in situ le processus d'IM en lui fournissant continuellement l'équivalent de la quantité de photons détruits par l'absorption matérielle au cours de la propagation. L'efficacité de la méthode du réservoir de photons est démontrée sur des processus d'IM aussi bien en configuration scalaire que vectorielle. Cette démonstration marque un progrès décisif vers des dispositifs de génération de fréquences optiques qui seront extrêmement précis et stables. / This thesis considers modulational instability (MI) in optical fibers that have both a strong non-linearity and strong absorption coefficient. We carry out a comparative analysis of the performance of several major classes of silica- and non-silica glass fibers, on their ability to generate MI sidebands with a minimum of pump power, and over the shortest distance possible. Chalcogenide glass fibers appear at first sight as being the most competitive, but a careful examination reveals that their spectra are altered by a phenomenon of frequency drift of the MI sidebands, caused by a strong depletion of the pump. We have then developed a method which allows to suppress frequency drifts in MI processes in fibers having strong absorption parameters. The fundamental idea of this method, that we called "the photon reservoir method", is to create in the fiber, by an appropriate adjustment of the second-order and fourthorder dispersion coefficients, a photon reservoir which supplies (in situ) the MI process by continually providing the equivalent of the amount of photons destroyed by absorption during the propagation. We have demonstrated the effectiveness of the method of photon reservoir on MI processes, in scalarand vector configurations, using glass fibers endowed with extremely high nonlinear parameters. This method constitutes a decisive step forward in the development of highly competitive devices for optical frequency generation.

Notre travail s'inscrit dans le cadre des télécommunications par fibres optiques où l'information transite sous la forme d'impulsions lumineuses dans le guide d'onde que constitue la fibre. Face à la demande sans cesse croissante en matière de débit d'information transmise dans une fibre, les trains d'impulsions qui véhiculent cette information sont rendus plus denses :les impulsions sont plus brèves et la distance qui les sépare diminue. Cette évolution est freinée par deux aspects qui sont de natures très différentes. Le premier naît du besoin de diriger l'information dans un réseau, ce qui nécessite d'effectuer des opérations logiques et de passer par des dispositifs électroniques qui sont lents à l'échelle de l'optique. Le deuxième aspect consiste en la dispersion de la vitesse de groupe présente dans la fibre. Sous son infiuence, les impulsions ont tendance à s'étaler et peuvent se recouvrir au sein du train, ce qui détruit l'information.<br><p>La dispersion peut être contrée par la non-linéarité de la fibre optique. Celle-ci provoque l'effet inverse de la dispersion :une contraction de l'impulsion. Si l'on choisit judicieusement le profil des impulsions, elles peuvent se propager sans déformation grâce à la compensation des deux effets antagonistes que sont la dispersion et la non-linéarité. De telles impulsions sont appelées « solitons ». Ils sont stables et permettent de véhiculer l'information sans la détruire. Malheureusement, la nature non linéaire de leur régime de propagation implique qu'ils modifient le milieu supportant leur propagation au point d'interagir avec leurs voisins et de modifier leur instant d'arrivée en fin de fibre. Cet effet détériore l'information et oblige à espacer les impulsions qui transitent dans la fibre, ce qui limite le débit d'information véhiculée.<br><p>Jusqu'à présent, les effets non linéaires dans les fibres optiques ont principalement été étudiés dans une approximation scalaire de la réalité, ce qui ne permet pas de prédire un certain nombre de phénomènes qui font intervenir la polarisation du champ électrique associé à l'impulsion. Un modèle vectoriel permet, entre autres, de décrire les « solitons elliptiques fondamentaux », les « solitons de parois de domaines de polarisation » et les « états liés de solitons vectoriels ».<br><p>C'est à ces êtres optiques que nous nous sommes intéressés dans notre travail qui comprend trois grands axes.<br><p>Le premier consiste en une étude théorique des états liés de solitons vectoriels. Préalablement à notre étude, ceux-ci se sont révélés instables dans des simulations numériques. Nous avons abordé le problème de manière analytique et montré l'existence d'états liés de solitons vectoriels. Ensuite, nous avons étudié leur dynamique et montré qu'ils sont instables par brisure de symétrie dans les fibres optiques isotropes. Suite à cela, nous avons analysé leur propagation en fibres à biréfringence aléatoire et montré qu'ils y sont stables, ce qui a permis d'expliquer la réussite d'expériences de multiplexage en polarisation dans lesquelles deux impulsions successives du train peuvent être vues comme des états liés.<br><p>La formulation mathématique des états liés que nous avons étudiés dans les fibres optiques est analogue à celle des états liés spatiaux qui apparaissent dans les milieux de type Kerr. Cette analogie nous a permis de proposer un principe de commutation, basé sur l'instabilité des états liés par brisure de symétrie, qui présente les avantages de nécessiter une très faible puissance de contrôle et de travailler beaucoup plus rapidement que l'électronique.<br><p>Les deux autres axes de notre travail sont liés à l'observation expérimentale des solitons elliptiques parmi lesquels les « solitons de parois de domaines de polarisation » constituent de bons porteurs d'information dans les fibres optiques car, selon les simulations numériques, ils ne souffriraient pas des interactions entre solitons voisins d'un train telles que nous les avons décrites ci-dessus pour les solitons scalaires. Afin d'observer les solitons elliptiques, trois étapes sont nécessaires. D'un point de vue pratique, elles s'agencent comme suit :il faut vérifier qu'il existe des fibres dont l'isotropie soit suffisante pour soutenir leur propagation, puis il faut disposer des instruments qui permettent de les observer et, enfin, il faut les générer. Cette dernière étape mérite une étude complète à elle seule, et nous ne l'avons pas abordée.<br><p>Nous avons par contre vérifié la possibilité d'observer des phénomènes qui ne peuvent se produire qu'en fibres isotropes et qui trouvent leur origine dans le même phénomène physique, à savoir, l'interaction entre la dispersion et la non-linéarité vectorielle. En l'occurrence, nous avons effectué la première observation d'une prédiction effectuée il y a trente ans, mais jamais observée jusqu'alors :l'existence de l'« instabilité modulationnelle de polarisation » en fibre optique isotrope. La vérification de toutes les prédictions associées à cette instabilité nous a permis de conclure que le choix d'une fibre de type « spun » associé à des précautions d'utilisation permettra de propager des solitons elliptiques.<br><p>Suite à ce succès, nous avons abordé l'étude du dispositif de détection des solitons elliptiques. Pour comprendre sa spécificité, il faut savoir que l'observation des solitons elliptiques nécessite de travailler à des puissances de crête très élevées pour faire ressortir la non-linéarité de la fibre optique. Ces puissances sont atteintes en concentrant une faible énergie sur un temps ultracourt, de l'ordre d'une centaine de femtosecondes. Nous avons développé deux méthodes de mesure basées sur la reconstruction de la phase spectrale de l'impulsion au départ de signaux de battement entre fréquences voisines du spectre. Ces méthodes présentent l'avantage d'être purement linéaires, ce qui leur confère une très grande sensibilité ;et de permettre le calcul simple et sans ambiguïté de la phase spectrale. La première des techniques que nous avons développées est adaptée aux trains ultrarapides d'impulsions courtes et répond à un besoin dans le domaine des télécommunications, tandis que la seconde peut s'appliquer aux bas taux de répétitions et aux impulsions courtes ou ultracourtes. / Doctorat en sciences appliquées / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse est dédiée à l'étude des fluctuations non-linéaires dans les condensats de Bose-Einstein à deux composantes. On présente dans le premier chapitre la dynamique de champ moyen des condensats à deux composantes et les différents phénomènes typiques associés au degré de liberté spinoriel. Dans ce même chapitre, on montre que la dynamique des excitations se sépare en deux modes distincts : un mode dit de densité correspondant au mouvement global des atomes à l'intérieur du condensat et un mode dit de polarisation correspondant à la dynamique relative entre les deux espèces constituant le condensat. Ce calcul est généralisé dans le deuxième chapitre où l'on montre que le mode de polarisation persiste en présence d'un couplage cohérent entre les deux composantes. En particulier on analyse la stabilité modulationnelle du mode en déterminant, à l'aide d'une analyse multi-échelle, la dynamique des excitations non-linéaires. On montre alors que les excitations de polarisation, au contraire des excitations de densité, souffrent d'une instabilité de Benjamin-Feir. Cette instabilité est stabilisée aux grandes impulsions par une résonance onde longue - onde courte. Enfin dans le dernier chapitre, on dérive de façon non-perturbative la dynamique de polarisation proche de la limite de Manakov, dynamique quise révèle être régie par une équation de Landau-Lifshitz sans dissipation. Les équations de Landau-Lifshitz appartiennent à une hiérarchie d'équations intégrables (hiérarchie Ablowitz-Kaup-Newell-Segur) et on étudie les solutions à une phase à l'aide de la méthode d'intégration finite-gap ; on détermine notamment à l'aide de cette méthode un nouveau type de soliton pour les condensats à deux composantes. Finalement, profitant de l'intégrabilité du système, on résout le problème de Riemann à l'aide de la théorie de modulation de Whitham et on montre que les condensats à deux composantes peuvent propager des ondes de raréfaction ainsi que des ondes de choc dispersives ; on décrit notamment la modulation de ces ondes de choc par la propagation d'ondes simples et d'ondes de contact d'invariants de Riemann. / This thesis is devoted to the study of nonlinear fluctuations in two-component Bose-Einstein condensates. In the first chapter we derive the mean field dynamics of two-component condensates and we present the distinctive phenomena associated to the spinorial degree of freedom. In the same chapter, we show that the dynamics of the excitations is divided in two distinct modes: a so-called density mode which corresponds to the global motion of the atoms, and a so-called polarization mode which corresponds to the relative motion between the two species composing the condensate. The computation is generalized in the second chapter in which we demonstrate that the polarization mode remains in presence of a coherent coupling between the two components. In particular we study the modulational stability of the mode and we determine through a multi-scaling analysis the dynamics of non-linear excitations. We show that the excitations of polarization undergo a Benjamin-Feir instability contrary to the density excitations. This instability is then stabilized in the short wavelength regime by a long wave - short wave resonance. Finally in the last chapter, we derive in a non-perturbative way the polarisation dynamics close the Manakov limit.In this limit, the dynamics proves to be governed by a Landau-Lifshitz equation without dissipation. Landau-Lifshitz equations belong to a hierarchy of integrable equations (Ablowitz-Kaup-Newell-Segur hierarchy) and we derive the single-phase solutions thanks to the finite-gap method; in particular we identify a new type of soliton for the two-component Bose-Einstein condensates. Finally, taking advantage of the integrability of the system, we solve the Riemann problem thanks to the Whitham modulation theory and we show that the two-component condensates can propagate rarefaction waves as well as dispersive shockwaves; we describe the modulation of the shockwaves by the propagation of simple waves and contact waves of Riemann invariants.