L'hypothèse qu'un grand nombre de problèmes n'admettent pas d'algorithme (exact et déterministe) polynomial date de l'avènement de la théorie de la NP-complétude dans les années 70. Depuis, de nombreuses théories et techniques algorithmiques se sont développées pour résoudre ces problèmes difficiles le plus efficacement possible. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux algorithmes exacts faiblement exponentiels. L'objectif est d'obtenir des algorithmes de complexité 0* (c^n) où n est la taille de la donnée et c une Constante la plus faible possible / The assumption that many problems do not admit algorithm (exact and deterministic) polynomial ate of the advent of the theory of NP-completeness in the 70s. Since many theories and algorithmic techniques have been developed to solve these problems difficult as efficiently as possible. In this thesis, we focus on exact algorithms weakly exponential. The objective is to obtain algorithms complexity 0 * (c ^ n) where n is the size of the data and one constant c as small as possible

Ce travail de thèse s'inscrit dans le domaine de la recherche de structures dans un graphe. <br />On étudie certaines propriétés algorithmiques et combinatoires pour successivement trois types de colorations : orientée, mixte et décomposition acircuitique. <br />Pour la coloration orientée, on obtient des résultats de NP-complétude pour des classes de graphes très spécifiques ainsi que des résultats d'inapproximabilité. Pour dépasser ces difficultés, nous définissons une notion de coloration mixte et obtenons un résultat d'approximation différentielle ainsi qu'une interprétation du polynôme chromatique mixte qui généralise le résultat de Stanley pour certains graphes mixtes. En relachant la contrainte de classe monochromatique stable, nous étudions finalement la complexité de la décomposition acircuitique, caractérisons une famille de tournoi critique indécomposable et établissons les premières propriétés du polynôme chromatique acircuitique.

Dans la nature existent de nomreux exemples de systèmes dynamiques complexes: systèmes neuronaux, communautés, écosystèmes, réseaux de régulation génétiques, etc. Ces derniers, en particulier, sont de notre intérêt et sont souvent modélisés par des réseaux booléens. Un réseau booléenne peut être considérée comme un digraphe, où les sommets correspondent à des gènes ou de produits de gènes, tandis que les arcs indiquent les interactions entre eux. Une niveau d'expression des gènes est modélisé par des valeurs binaires, 0 ou 1, indiquant deux états de la transcription, soit activité, soit inactivité, respectivement, et ce niveau change dans le temps selon certains fonction locaux d'activation qui dépend des états d'un ensemble de nœuds (les gènes). L'effet conjoint des fonctions d'activation locale définit une fonction de transition globale: ainsi, le autre élément nécessaire dans la description du modèle est fonction de mise à jour, qui détermine quand chaque nœud doit être mis à jour, et donc, comme les fonctions local se combinent dans une fonction globale (en d'autres termes, il doit décrire les temps relative de les activités régulatoires). Comme un réseau booléen avec n sommets a 2 ^ n états globaux, à partir d'un état ​​de départ, et dans un nombre fini de mises à jour, le réseau atteindra un fixe point ou un cycle limite, appelée attracteurs qui sont souvent associées à des phénotypes distincts (états-cellulaire) définis par les patrons d'activité des gènes. Un réseau de régulation Booléenne (REBN) est un réseau Booléen où chaque interaction entre les éléments de la réseau correspond soit à une interaction positif ou d'une interaction négative. Ainsi, le digraphe interaction associée à une REBN est un digraphe signé où un circuit est appelé positif (négatif) si le nombre de ses arcs négative est pair (impair). Dans ce contexte, il y a diverses études sur l'importance du les circuits positif et négatifs dans le comportement dynamique de différents systèmes en Biologie. En effet le point de départ de cette thèse est basée sur un résultat en disant que le nombre maximal de points fixes d'une REBN dépend d'un ensemble de cardinalité minimale qu'intersecte tous les cycles positifs (également dénommés positive feedback vertex set) du digraphe signé associé. D'autre part, un autre aspect important de circuits est leur rôle dans la robustesse des réseaux booléens par rapport différents types de mise à jour déterministe. Dans ce contexte, un élément clé mathématique est le update digraphe qui est un digraphe étiqueté associé à la réseau dont les étiquettes sur les arcs sont définies comme suit: un arc (u,v) est dit être positif si l'état de sommet u est mis à jour en même temps ou après que celle de v, et négative sinon. Ainsi, un cycle dans le digraphe étiqueté est dite positive (négative) si tous ses arcs sont positifs (négatifs). Cela laisse en évidence que parler de "positif" et "négatif" a des significations différentes selon le contex: digraphes signé ou digraphes étiquetés. Ainsi, nous allons voir dans cette thèse, les relations entre les feedback sets et la dynamique des réseaux Booléens à travers l'étude analytique de ces deux fondamentaux objets mathématiques: le digraphe (de connexion) signé et l'update digraphe.

Un hypercube latin (LHD) maximin est un ensemble de points contenus dans un hypercube tel que les points ne partagent de coordonnées sur aucune dimension et tel que la distance minimale entre deux points est maximale. Les LHDs maximin sont particulièrement utilisés pour la construction de métamodèles en raison de leurs bonnes propriétés pour l’échantillonnage. Comme la plus grande partie des travaux concernant les LHD se sont concentrés sur leur construction par des algorithmes heuristiques, nous avons décidé de produire une étude détaillée du problème, et en particulier de sa complexité et de son approximabilité en plus des algorithmes heuristiques permettant de le résoudre en pratique.Nous avons généralisé le problème de construction d’un LHD maximin en définissant le problème de compléter un LHD entamé en respectant la contrainte maximin. Le sous-problème dans lequel le LHD partiel est vide correspond au problème de construction de LHD classique. Nous avons étudié la complexité du problème de complétion et avons prouvé qu’il est NP-complet dans de nombreux cas. N’ayant pas déterminé la complexité du sous-problème, nous avons cherché des garanties de performances pour les algorithmes résolvant les deux problèmes.D’un côté, nous avons prouvé que le problème de complétion n’est approximable pour aucune norme en dimensions k ≥ 3. Nous avons également prouvé un résultat d’inapproximabilité plus faible pour la norme L1 en dimension k = 2. D’un autre côté, nous avons proposé un algorithme d’approximation pour le problème de construction, et avons calculé le rapport d’approximation grâce à deux bornes supérieures que nous avons établies. En plus de l’aspect théorique de cette étude, nous avons travaillé sur les algorithmes heuristiques, et en particulier sur la méta-heuristique du recuit simulé. Nous avons proposé une nouvelle fonction d’évaluation pour le problème de construction et de nouvelles mutations pour les deux problèmes, permettant d’améliorer les résultats rapportés dans la littérature. / A maximin Latin Hypercube Design (LHD) is a set of point in a hypercube which do not share a coordinate on any dimension and such that the minimal distance between two points, is maximal. Maximin LHDs are widely used in metamodeling thanks to their good properties for sampling. As most work concerning LHDs focused on heuristic algorithms to produce them, we decided to make a detailed study of this problem, including its complexity, approximability, and the design of practical heuristic algorithms.We generalized the maximin LHD construction problem by defining the problem of completing a partial LHD while respecting the maximin constraint. The subproblem where the partial LHD is initially empty corresponds to the classical LHD construction problem. We studied the complexity of the completion problem and proved its NP-completeness for many cases. As we did not determine the complexity of the subproblem, we searched for performance guarantees of algorithms which may be designed for both problems. On the one hand, we found that the completion problem is inapproximable for all norms in dimensions k ≥ 3. We also gave a weaker inapproximation result for norm L1 in dimension k = 2. On the other hand, we designed an approximation algorithm for the construction problem which we proved using two new upper bounds we introduced.Besides the theoretical aspect of this study, we worked on heuristic algorithms adapted for these problems, focusing on the Simulated Annealing metaheuristic. We proposed a new evaluation function for the construction problem and new mutations for both the construction and completion problems, improving the results found in the literature.

Les problèmes de domination (dominant, dominant indépendant, ...) et de couverture (vertex-cover, arbre de Steiner, ...) sont NP-complets. Pour autant, pour la plupart de ces problèmes, il existe toujours une solution constructible en temps polynomial (potentiellement de valeur objective très mauvaise), ou au moins, il est possible de déterminer facilement (en temps polynomial) l'existence ou non d'une solution. Ces problèmes, initialement issus de situations réelles, sont des modélisations simplistes de ces situations. Nous ajoutons donc des contraintes additionnelles modélisant des contraintes pratiques plausibles : les conflits, des paires d'éléments ne pouvant faire simultanément partie d'une solution (modélisant des incompatibilités diverses), la connexité dans un second graphe (les éléments doivent pouvoir communiquer, et le graphe correspondant à ces liens de communication n'est pas forcément le même) et les obligations, des sous-ensembles d'éléments interdépendants devant être ajoutés simultanément à une solution. Notre but ici n'est pas de modéliser un problème réel précis, mais d'étudier la manière dont ces contraintes modifient la complexité des problèmes étudiés. Nous verrons que dans un grand nombre de cas, déterminer l'existence même d'une solution devient difficile, même sans se préoccuper de leur optimisation. Le problème du firefighter modélise des pompiers tentant de contenir un feu se propageant au tour par tour dans un graphe (potentiellement infini). Nous avons étudié ce problème en ajoutant des contraintes sur le déplacement des pompiers (une vitesse de déplacement limitée entre deux tours). Nous verrons que ces contraintes augmentent en général le nombre de pompiers nécessaires mais ne provoquent pas de changements aussi importants que dans les problèmes précédents. / Domination problems (dominating set, independant dominating set, ...) as well as covering problems (vertex-cover, Steiner tree, ...) are NP-complete. However, for most of these problems, it is always possible to construct a (eventually bad) solution in polynomial time, or at least it is possible to determine whether a solution exists. Those problems originally came from industry, but are simplified modelizations of the real life problems. We add additional constraints modeling plausible practical constraints : conflicts which are pairs of elements that cannot apear simultaneously in a solution (to modelize various incompatibilities), connexity in a second graph (elements of the solution must be able to communicate, and the communication links are a second graph), and obligations which are subsets of interdependant vertices which must be added simultaneously in a solution.We don't aim to model a specific real-world problem, but to study how these plausible constraints affect the complexity of the studied problems. We will see that, in many cases, even determining the existence of a solution (regardless of its size) become hard. The firefighter problem models firefighters aiming to contain a fire spreading turn by turn in a (eventually infinite) graph. We studied this problem with the addition of deplacement constraints for the firefighters (a limited moving speed between turns). We will see that, most of the time, this constraint increase the number of firefighters necessary to contain the fire, but does not trigger such major change as constraints studied in the others problems.

Dans la nature existent de nombreux exemples de systèmes dynamiques complexes: systèmes neuronaux, communautés, écosystèmes, réseaux de régulation génétiques, etc. Ces derniers, en particulier, sont de notre intérêt et sont souvent modélisés par des réseaux booléens. Un réseau booléenne peut être considérée comme un digraphe, où les sommets correspondent à des gènes ou de produits de gènes, tandis que les arcs indiquent les interactions entre eux. Une niveau d'expression des gènes est modélisé par des valeurs binaires, 0 ou 1, indiquant deux états de la transcription, soit activité, soit inactivité, respectivement, et ce niveau change dans le temps selon certains fonction locaux d'activation qui dépend des états d'un ensemble de nœuds (les gènes). L'effet conjoint des fonctions d'activation locale définit une fonction de transition globale: ainsi, le autre élément nécessaire dans la description du modèle est fonction de mise à jour, qui détermine quand chaque nœud doit être mis à jour, et donc, comme les fonctions local se combinent dans une fonction globale (en d'autres termes, il doit décrire les temps relative de les activités régulatoires). Comme un réseau booléen avec n sommets a 2 ^ n états globaux, à partir d'un état ​​de départ, et dans un nombre fini de mises à jour, le réseau atteindra un fixe point ou un cycle limite, appelée attracteurs qui sont souvent associées à des phénotypes distincts (états-cellulaire) définis par les patrons d'activité des gènes. Un réseau de régulation Booléenne (REBN) est un réseau Booléen où chaque interaction entre les éléments de la réseau correspond soit à une interaction positif ou d'une interaction négative. Ainsi, le digraphe interaction associée à une REBN est un digraphe signé où un circuit est appelé positif (négatif) si le nombre de ses arcs négative est pair (impair). Dans ce contexte, il y a diverses études sur l'importance du les circuits positif et négatifs dans le comportement dynamique de différents systèmes en Biologie. En effet le point de départ de cette thèse est basée sur un résultat en disant que le nombre maximal de points fixes d'une REBN dépend d'un ensemble de cardinalité minimale qu'intersecte tous les cycles positifs (également dénommés positive feedback vertex set) du digraphe signé associé. D'autre part, un autre aspect important de circuits est leur rôle dans la robustesse des réseaux booléens par rapport différents types de mise à jour déterministe. Dans ce contexte, un élément clé mathématique est le update digraphe qui est un digraphe étiqueté associé à la réseau dont les étiquettes sur les arcs sont définies comme suit: un arc (u,v) est dit être positif si l'état de sommet u est mis à jour en même temps ou après que celle de v, et négative sinon. Ainsi, un cycle dans le digraphe étiqueté est dite positive (négative) si tous ses arcs sont positifs (négatifs). Cela laisse en évidence que parler de "positif" et "négatif" a des significations différentes selon le contex: digraphes signé ou digraphes étiquetés. Ainsi, nous allons voir dans cette thèse, les relations entre les feedback sets et la dynamique des réseaux Booléens à travers l'étude analytique de ces deux fondamentaux objets mathématiques: le digraphe (de connexion) signé et l'update digraphe. / In the nature there exist numerous examples of complex dynamical systems: neural systems, communities, ecosystems, genetic regulatory networks, etc. These latest, in particular are of our interest and are often modeled by Boolean networks. A Boolean network can be viewed as a digraph, where the vertices correspond to genes or gene products, while the arcs denote interactions among them. A gene expression level is modeled by binary values, 0 or 1, indicating two transcriptional states, either active or inactive, respectively, and this level changes in time according to some local activation function which depends on the states of a set of nodes (genes). The joint effect of the local activation functions defines a global transition function; thus, the other element required in the description of the model is an update schedule which determines when each node has to be updated, and hence, how the local functions combine into the global one (in other words, it must describe the relative timings of the regulatory activities). Since a Boolean network with n vertices has 2^n global states, from a starting state, within a finite number of udpates, the network will reach a fixed point or a limit cycle, called attractors that are often associated to distinct phenotypes (cellular states) defined by patterns of gene activity. A regulatory Boolean network (REBN) is a Boolean network where each interaction between the elements of the network corresponds either to a positive or to a negative interaction. Thus, the interaction digraph associated to a REBN is a signed digraph where a circuit is called positive (negative) if the number of its negative arcs is even (odd). In this context, there are diverse studies about the importance of the positive and negative circuits in the dynamical behavior of different systems in Biology. Indeed the starting point of this Thesis is based on a result saying that the maximum number of fixed points of a REBN depends on a minimum cardinality vertex set whose elements intersects to all the positive cycles (also named a positive feedback vertex set) of the associated signed digraph. On the other hand, another important aspect of circuits is their role in the robustness of Boolean networks with respect to different deterministic update schedules. In this context a key mathematical element is the update digraph which is a labeled digraph associated to the network and whose labels on the arcs are defined as follows: an arc (u,v) is said to be positive if the state of vertex u is updated at the same time or after than that of v, and negative otherwise. Hence, a cycle in the labeled digraph is called positive (negative) if all its arcs are positive (negative). This leaves in evidence that talk of "positive" and "negative" has different meanings depending on the contex: signed digraphs or labeled digraphs. Thus, we will see in this thesis, relationships between feedback sets and the dynamics of Boolean networks through the analytical study of these two fundamental mathematical objects: the signed (connection) digraph and the update digraph.

Nos travaux de recherche portent sur le problème de prise en compte des contraintes liées aux ressources humaines, en termes d'affectation des opérateurs aux machines, dans les problèmes d'ordonnancement d'atelier. Ce problème intégrant l'affectation des opérateurs aux machines consiste à déterminer 1 'état d'atelier au cours du temps, et à considérer le problème d'ordonnancement d'atelier dans sa globalité en prenant en compte l'influence de l'affectation des ressources humaines sur les activités de production. Ceci impose en plus de la gestion de la séquence des travaux, la gestion des affectations des hommes aux postes de travail. Nous avons considéré le cas où les productivités des machines dépendant de 1 'affectation des opérateurs. Nous avons supposé que le nombre d'opérateurs est inférieur au nombre de machines, un opérateur peut superviser simultanément plusieurs machines et que la supervision simultanée de plusieurs machines par un opérateur diminue les productivités de ces dernières. L'originalité de nos travaux de recherche est liée au fait que les durées opératoires des travaux sont variables dans le temps et sont fonctions de 1 'évolution des affectations des opérateurs aux machines dans le temps. Deux grandes parties composent nos travaux de recherche. La première partie porte sur le problème de modélisation de 1 'affectation des opérateurs aux machines. Elle consiste en la proposition d'un cadre théorique pour 1 'intégration des contraintes liées à la prise en compte des ressources humaines, en terme d'affectation des opérateurs aux machines, dans la modélisation des problèmes d'ordonnancement d'atelier. Une définition d'un problème d'ordonnancement d'atelier impliquant l'aspect" ressources humaines" est alors proposée. La seconde partie a porté sur une application de la modélisation proposée dans la première partie pour le cas d'une production cyclique. Plus précisément, nous avons étudié le problème d'existence d'une affectation des opérateurs réalisant un ordonnancement cyclique pour un atelier_ de type Flow Shop. Nous avons supposé qu'un ordonnancement cyclique, défini par une durée de cycle et un ensemble de travaux à réaliser durant cette durée, est donné pour des productivités nominales des machines et sans aucune prise en compte des ressources humaines. Par conséquent, et dans le cas où le nombre d'opérateurs est inférieur au nombre de machines et que l'affectation des opérateurs conditionnent les productivités des machines, 1 'introduction et la considération des ressources humaines pour la réalisation de l'ordonnancement cyclique pourrait allonger la durée d'exécution des travaux et remettre en cause la durée de cycle. Nous avons étudié ce problème d'existence d'une affectation des opérateurs réalisable pour Flow Shop Cyclique pour trois modes de réaffectations des opérateurs : calendaire, sur évènement de fin de tâche et libre. Nous avons présenté une formulation mathématique du problème pour ces trois modes de réaffectation des opérateurs, démontré que ce problème est NP-complet pour les deux modes calendaires et sur événement, et qu'une restriction du problème de mode de réaffectation libre est NP-complet. Nous avons également proposé, pour ces trois modes, un modèle mathématique linéaire en nombre entier. Une approche de résolution basée sur le principe de la programmation dynamique a été proposée pour les deux modes réaffectation calendaire et sur événement.

Le déséquilibre d'un sommet dans un graphe orienté est la valeur absolue de la différence entre son degré sortant et son degré entrant. Nous étudions le problème de trouver une orientation des arêtes du graphe telle que l'image du vecteur dont les composantes sont les déséquilibres des sommets par une fonction objectif f est maximisée. Le premier cas considéré est le problème de maximiser le minimum des déséquilibres sur toutes les orientations possibles. Nous caractérisons les graphes dont la valeur objective optimale est nulle. Ensuite nous donnons plusieurs résultats concernant la complexité du problème. Enfin, nous introduisons différentes formulations du problème et présentons quelques résultats numériques. Par la suite, nous montrons que le cas f=1/2 | |·| |₁ mène au célèbre problème de la coupe de cardinalité maximale. Nous introduisons de nouvelles formulations ainsi qu'un nouveau majorant qui domine celui de Goemans et Williamson. Des résultats théoriques et numériques concernant la performance des approches sont présentés. Pour finir, dans le but de renforcer certaines des formulations des problèmes étudiés, nous étudions une famille de polyèdres spécifique consistant en l'enveloppe convexe des matrices d'affectation 0/1 (où chaque colonne contient exactement une composante égale à 1) annexée avec l'indice de leur ligne non-identiquement nulle la plus basse. Nous donnons une description complète de ce polytope ainsi que certaines de ses variantes qui apparaissent naturellement dans le contexte de divers problèmes d'optimisation combinatoire. Nous montrons également que résoudre un programme linéaire sur un tel polytope peut s'effectuer en temps polynomial / The imbalance of a vertex in a directed graph is the absolute value of the difference between its outdegree and indegree. In this thesis we study the problem of orienting the edges of a graph in such a way that the image of the vector which components are the imbalances of the vertices of the graph under an objective function f is maximized. The first case considered is the problem of maximizing the minimum imbalance of all the vertices over all the possible orientations of the input graph. We first characterize graphs for which the optimal objective value is zero. Next we give several results concerning the computational complexity of the problem. Finally, we deal with several mixed integer programming formulations for this problem and present some numerical experiments. Next, we show that the case for f=1/2 | |·| |₁ leads to the famous unweighted maximum cut problem. We introduce some new formulations along with a new bound shown to be tighter than Michel Goemans & David Williamson's. Theoretical and computational results regarding bounds quality and performance are also reported. Finally, in order to strengthen some formulations of the studied problems, we study a specific class of polytopes. Consider the polytope consisting in the convex hull of the 0/1 assignment matrices where each column contains exactly one coefficient equal to 1 appended with their index of the lowest row that is not identically equal to the zero row. We give a full description of this polytope and some of its variants which naturally appear in the context of several combinatorial optimization problems. We also show that linear optimization over those polytopes can be done in polynomial time

Attention, ce résumé comporte un peu d'ironie et d'humour. Dans ce mémoire, nous défendons l'idée selon laquelle, pour tout modèle de calcul raisonnable, ce n'est plus tant le modèle qui compte pour caractériser les classes de complexité importantes que la complexité de la structure combinatoire sous-jacente et en définitive d'un graphe sous-jacent. Pour prendre l'exemple des circuits booléens ou algébriques comme modèles, tout ce qui importe est la complexité du graphe orienté sous-jacent au circuit. Par modèle de calcul raisonnable, nous entendons, comme il se doit, un modèle qui étudié sur une classe de graphes standard nous donne la classe de complexité standard attendue afin de satisfaire aux règles élémentaires des tautologies. On pourrait aussi choisir comme modèles raisonnables les modèles Turing-complet (ou une autre notion de complétude plus adaptée selon les objets calculés), formalisables dans une logique simple (afin d'éviter les "tricheries" et les modèles conçus spécialement pour faire échouer la belle idée défendue). Néanmoins, cette seconde option n'étant pas sans risque, nous nous contentons de la proposer. La thèse défendue est une version un peu plus formalisée et précise mathématiquement de cette idée aux contours un peu flous et qui est donc nécessairement un peu fausse telle quelle.