[pt] Segerberg apresentou uma prova geral da completude para lógicas proposicionais. Para tal, um sistema de dedução foi definido de forma que suas regras sejam regras para um operador booleano arbitrário para uma dada lógica proposicional. Cada regra desse sistema corresponde a uma linha na tabela de verdade desse operador. Na primeira parte desse trabalho, mostramos uma extensão da ideia de Segerberg para lógicas proposicionais finito-valoradas e para lógicas não-determinísticas. Mantemos a ideia de definir um sistema de dedução cujas regras correspondam a linhas de tabelas verdade, mas ao invés de termos um tipo de regra para cada valor de verdade da lógica correspondente, usamos uma representação bivalente que usa a técnica de fórmulas separadoras definidas por Carlos Caleiro e João Marcos. O sistema definido possui tantas regras que pode ser difícil trabalhar com elas. Acreditamos que um sistema de cálculo de sequentes definido de forma análoga poderia ser mais intuitivo. Motivados por essa observação, a segunda parte dessa tese é dedicada à definição de uma tradução entre cálculo de sequentes e dedução natural, onde procuramos definir uma bijeção melhor do que as já existentes. / [en] Segerberg presented a general completeness proof for propositional logics. For this purpose, a Natural Deduction system was defined in a way that its rules were rules for an arbitrary boolean operator in a given propositional logic. Each of those rules corresponds to a row on the operator s truth-table. In the first part of this thesis we extend Segerbergs idea to finite-valued propositional logic and to non-deterministic logic. We maintain the idea of defining a deductive system whose rules correspond to rows of truth-tables, but instead of having n types of rules (one for each truth-value), we use a bivalent representation that makes use of the technique of separating formulas as defined by Carlos Caleiro and João Marcos. The system defined has so many rules it might be laborious to work with it. We believe that a sequent calculus system defined in a similar way would be more intuitive. Motivated by this observation, in the second part of this thesis we work out translations between Sequent Calculus and Natural Deduction, searching for a better bijective relationship than those already existing.

<p>In this thesis we use the syntactic-semantic method of constructive type theory to give meaning to classical logic, in particular Gentzen's LK.</p><p>We interpret a derivation of a classical sequent as a derivation of a contradiction from the assumptions that the antecedent formulas are true and that the succedent formulas are false, where the concepts of truth and falsity are taken to conform to the corresponding constructive concepts, using function types to encode falsity. This representation brings LK to a manageable form that allows us to split the succedent rules into parts. In this way, every succedent rule gives rise to a natural deduction style introduction rule. These introduction rules, taken together with the antecedent rules adapted to natural deduction, yield a natural deduction calculus whose subsequent interpretation in constructive type theory gives meaning to classical logic.</p><p>The Gentzen-Prawitz inversion principle holds for the introduction and elimination rules of the natural deduction calculus and allows for a corresponding notion of convertibility. We take the introduction rules to determine the meanings of the logical constants of classical logic and use the induced type-theoretic elimination rules to interpret the elimination rules of the natural deduction calculus. This produces an interpretation injective with respect to convertibility, contrary to an analogous translation into intuitionistic predicate logic.</p><p>From the interpretation in constructive type theory and the interpretation of cut by explicit substitution, we derive a full precision contraction relation for a natural deduction version of LK. We use a term notation to formalize the contraction relation and the corresponding cut-elimination procedure.</p><p>The interpretation can be read as a Brouwer-Heyting-Kolmogorov (BHK) semantics that justifies classical logic. The BHK semantics utilizes a notion of classical proof and a corresponding notion of classical truth akin to Kolmogorov's notion of pseudotruth. We also consider a second BHK semantics, more closely connected with Kolmogorov's double-negation translation.</p><p>The first interpretation reinterprets the consequence relation while keeping the constructive interpretation of truth, whereas the second interpretation reinterprets the notion of truth while keeping the constructive interpretation of the consequence relation. The first and second interpretations act on derivations in much the same way as Plotkin's call-by-value and call-by-name continuation-passing-style translations, respectively.</p><p>We conclude that classical logic can be given a constructive semantics by laying down introduction rules for the classical logical constants. This semantics constitutes a proof interpretation of classical logic.</p>

In this thesis we use the syntactic-semantic method of constructive type theory to give meaning to classical logic, in particular Gentzen's LK. We interpret a derivation of a classical sequent as a derivation of a contradiction from the assumptions that the antecedent formulas are true and that the succedent formulas are false, where the concepts of truth and falsity are taken to conform to the corresponding constructive concepts, using function types to encode falsity. This representation brings LK to a manageable form that allows us to split the succedent rules into parts. In this way, every succedent rule gives rise to a natural deduction style introduction rule. These introduction rules, taken together with the antecedent rules adapted to natural deduction, yield a natural deduction calculus whose subsequent interpretation in constructive type theory gives meaning to classical logic. The Gentzen-Prawitz inversion principle holds for the introduction and elimination rules of the natural deduction calculus and allows for a corresponding notion of convertibility. We take the introduction rules to determine the meanings of the logical constants of classical logic and use the induced type-theoretic elimination rules to interpret the elimination rules of the natural deduction calculus. This produces an interpretation injective with respect to convertibility, contrary to an analogous translation into intuitionistic predicate logic. From the interpretation in constructive type theory and the interpretation of cut by explicit substitution, we derive a full precision contraction relation for a natural deduction version of LK. We use a term notation to formalize the contraction relation and the corresponding cut-elimination procedure. The interpretation can be read as a Brouwer-Heyting-Kolmogorov (BHK) semantics that justifies classical logic. The BHK semantics utilizes a notion of classical proof and a corresponding notion of classical truth akin to Kolmogorov's notion of pseudotruth. We also consider a second BHK semantics, more closely connected with Kolmogorov's double-negation translation. The first interpretation reinterprets the consequence relation while keeping the constructive interpretation of truth, whereas the second interpretation reinterprets the notion of truth while keeping the constructive interpretation of the consequence relation. The first and second interpretations act on derivations in much the same way as Plotkin's call-by-value and call-by-name continuation-passing-style translations, respectively. We conclude that classical logic can be given a constructive semantics by laying down introduction rules for the classical logical constants. This semantics constitutes a proof interpretation of classical logic.

[pt] A teoria da prova tradicional da lógica proposicional trata provas cujos tamanhos podem ser demasiado grandes. Estudos teóricos de prova descobriram diferenças exponenciais entre provas normais ou livres de corte e suas respectivas provas não-normais. Assim, o uso de grafos-de-prova, ao invés de árvores ou listas, para representar provas está se tornando mais popular entre teóricos da prova. Os grafos-de-prova servem como uma forma de proporcionar uma melhor simetria para a semântica de provas e uma maneira de estudar a complexidade das provas proposicionais. O objetivo deste trabalho é reduzir o peso/tamanho de deduções. Apresentamos formalismos de grafos de prova que visam capturar a estrutura lógica de uma dedução e uma forma de facilitar a visualização das propriedades. A vantagem destes formalismos é que as fórmulas e sub-deduções em dedução natural, preservadas na estrutura de grafo, podem ser compartilhadas eliminando sub-deduções desnecessárias resultando na prova reduzida. Neste trabalho, damos uma definição precisa de grafos de prova para a lógica puramente implicacional, logo estendemos esse resultado para a lógica proposicional completa e mostramos como reduzir (eliminando fórmulas máximas) essas representações de tal forma que um teorema de normalização pode ser provado através da contagem do número de fórmulas máximas na derivação original. A normalização forte será uma consequência direta desta normalização, uma vez que qualquer redução diminui as medidas correspondentes da complexidade da derivação. Continuando com o nosso objetivo de estudar a complexidade das provas, a abordagem atual também fornece representações de grafo para lógica de primeira ordem, a inferência profunda e lógica bi-intuitionista. / [en] Traditional proof theory of Propositional Logic deals with proofs which size can be huge. Proof theoretical studies discovered exponential gaps between normal or cut free proofs and their respective non-normal proofs. Thus, the use of proof-graphs, instead of trees or lists, for representing proofs is getting popular among proof-theoreticians. Proof-graphs serve as a way to provide a better symmetry to the semantics of proofs and a way to study complexity of propositional proofs and to provide more efficient theorem provers, concerning size of propositional proofs. The aim of this work is to reduce the weight/size of deductions. We present formalisms of proof-graphs that are intended to capture the logical structure of a deduction and a way to facilitate the visualization. The advantage of these formalisms is that formulas and subdeductions in Natural Deduction, preserved in the graph structure, can be shared deleting unnecessary sub-deductions resulting in the reduced proof. In this work, we give a precise definition of proof-graphs for purely implicational logic, then we extend this result to full propositional logic and show how to reduce (eliminating maximal formulas) these representations such that a normalization theorem can be proved by counting the number of maximal formulas in the original derivation. The strong normalization will be a direct consequence of such normalization, since that any reduction decreases the corresponding measures of derivation complexity. Continuing with our aim of studying the complexity of proofs, the current approach also give graph representations for first order logic, deep inference and bi-intuitionistic logic.

ARRUDA, Alexandre Matos. Um sistema infinitário para a lógica de menor ponto fixo. 2007. 91 f. : Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Ceará, Departamento de Computação, Fortaleza-CE, 2007. / Submitted by guaracy araujo (guaraa3355@gmail.com) on 2016-05-20T15:28:27Z No. of bitstreams: 1 2007_dis_amarruda.pdf: 427889 bytes, checksum: b0a54f14f17ff89b515a4101e02f5b58 (MD5) / Approved for entry into archive by guaracy araujo (guaraa3355@gmail.com) on 2016-05-20T15:29:23Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2007_dis_amarruda.pdf: 427889 bytes, checksum: b0a54f14f17ff89b515a4101e02f5b58 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-05-20T15:29:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2007_dis_amarruda.pdf: 427889 bytes, checksum: b0a54f14f17ff89b515a4101e02f5b58 (MD5) Previous issue date: 2007 / The notion of the least fixed-point of an operator is widely applied in computer science as, for instance, in the context of query languages for relational databases. Some extensions of FOL with _xed-point operators on finite structures, as the least fixed-point logic (LFP), were proposed to deal with problem problems related to the expressivity of FOL. LFP captures the complexity class PTIME over the class of _nite ordered structures. The descriptive characterization of computational classes is a central issue within _nite model theory (FMT). Trakhtenbrot's theorem, considered the starting point of FMT, states that validity over finite models is not recursively enumerable, that is, completeness fails over finite models. This result is based on an underlying assumption that any deductive system is of finite nature. However, we can relax such assumption as done in the scope of proof theory for arithmetic. Proof theory has roots in the Hilbert's programme. Proof theoretical consequences are, for instance, related to normalization theorems, consistency, decidability, and complexity results. The proof theory for arithmetic is also motivated by Godel incompleteness theorems. It aims to o_er an example of a true mathematically meaningful principle not derivable in first-order arithmetic. One way of presenting this proof is based on a definition of a proof system with an infinitary rule, the w-rule, that establishes the consistency of first-order arithmetic through a proof-theoretical perspective. Motivated by this proof, here we will propose an in_nitary proof system for LFP that will allow us to investigate proof theoretical properties. With such in_nitary deductive system, we aim to present a proof theory for a logic traditionally defined within the scope of FMT. It opens up an alternative way of proving results already obtained within FMT and also new results through a proof theoretical perspective. Moreover, we will propose a normalization procedure with some restrictions on the rules, such this deductive system can be used in a theorem prover to compute queries on relational databases. / A noção de menor ponto-fixo de um operador é amplamente aplicada na ciência da computação como, por exemplo, no contexto das linguagens de consulta para bancos de dados relacionais. Algumas extensões da Lógica de Primeira-Ordem (FOL)1 com operadores de ponto-fixo em estruturas finitas, como a lógica de menor ponto-fixo (LFP)2, foram propostas para lidar com problemas relacionados á expressividade de FOL. A LFP captura as classes de complexidade PTIME sobre a classe das estruturas finitas ordenadas. A caracterização descritiva de classes computacionais é uma abordagem central em Teoria do Modelos Finitos (FMT)3. O teorema de Trakhtenbrot, considerado o ponto de partida para FMT, estabelece que a validade sobre modelos finitos não é recursivamente enumerável, isto é, a completude falha sobre modelos finitos. Este resultado é baseado na hipótese de que qualquer sistema dedutivo é de natureza finita. Entretanto, nos podemos relaxar tal hipótese como foi feito no escopo da teoria da prova para aritmética. A teoria da prova tem raízes no programa de Hilbert. Conseqüências teóricas da noção de prova são, por exemplo, relacionadas a teoremas de normalização, consistência, decidibilidade, e resultados de complexidade. A teoria da prova para aritmética também é motivada pelos teoremas de incompletude de Gödel, cujo alvo foi fornecer um exemplo de um princípio matemático verdadeiro e significativo que não é derivável na aritmética de primeira-ordem. Um meio de apresentar esta prova é baseado na definição de um sistema de prova com uma regra infinitária, a w-rule, que estabiliza a consistência da aritmética de primeira-ordem através de uma perspectiva de teoria da prova. Motivados por esta prova, iremos propor aqui um sistema infinitário de prova para LFP que nos permitirá investigar propriedades em teoria da prova. Com tal sistema dedutivo infinito, pretendemos apresentar uma teoria da prova para uma lógica tradicionalmente definida no escopo de FMT. Permanece aberto um caminho alternativo de provar resultados já obtidos com FMT e também novos resultados do ponto de vista da teoria da prova. Além disso, iremos propor um procedimento de normalização com restrições para este sistema dedutivo, que pode ser usado em um provador de teoremas para computar consultas em banco de dados relacionais

FundaÃÃo Cearense de Apoio ao Desenvolvimento Cientifico e TecnolÃgico / A noÃÃo de menor ponto-fixo de um operador à amplamente aplicada na ciÃncia da computaÃÃo como, por exemplo, no contexto das linguagens de consulta para bancos de dados relacionais. Algumas extensÃes da LÃgica de Primeira-Ordem (FOL)1 com operadores de ponto-fixo em estruturas finitas, como a lÃgica de menor ponto-fixo (LFP)2, foram propostas para lidar com problemas relacionados à expressividade de FOL. A LFP captura as classes de complexidade PTIME sobre a classe das estruturas finitas ordenadas. A caracterizaÃÃo descritiva de classes computacionais à uma abordagem central em Teoria do Modelos Finitos (FMT)3. O teorema de Trakhtenbrot, considerado o ponto de partida para FMT, estabelece que a validade sobre modelos finitos nÃo à recursivamente enumerÃvel, isto Ã, a completude falha sobre modelos finitos. Este resultado à baseado na hipÃtese de que qualquer sistema dedutivo à de natureza finita. Entretanto, nos podemos relaxar tal hipÃtese como foi feito no escopo da teoria da prova para aritmÃtica. A teoria da prova tem raÃzes no programa de Hilbert. ConseqÃÃncias teÃricas da noÃÃo de prova sÃo, por exemplo, relacionadas a teoremas de normalizaÃÃo, consistÃncia, decidibilidade, e resultados de complexidade. A teoria da prova para aritmÃtica tambÃm à motivada pelos teoremas de incompletude de GÃdel, cujo alvo foi fornecer um exemplo de um princÃpio matemÃtico verdadeiro e significativo que nÃo à derivÃvel na aritmÃtica de primeira-ordem. Um meio de apresentar esta prova à baseado na definiÃÃo de um sistema de prova com uma regra infinitÃria, a w-rule, que estabiliza a consistÃncia da aritmÃtica de primeira-ordem atravÃs de uma perspectiva de teoria da prova. Motivados por esta prova, iremos propor aqui um sistema infinitÃrio de prova para LFP que nos permitirà investigar propriedades em teoria da prova. Com tal sistema dedutivo infinito, pretendemos apresentar uma teoria da prova para uma lÃgica tradicionalmente definida no escopo de FMT. Permanece aberto um caminho alternativo de provar resultados jà obtidos com FMT e tambÃm novos resultados do ponto de vista da teoria da prova. AlÃm disso, iremos propor um procedimento de normalizaÃÃo com restriÃÃes para este sistema dedutivo, que pode ser usado em um provador de teoremas para computar consultas em banco de dados relacionais / The notion of the least fixed-point of an operator is widely applied in computer science as, for instance, in the context of query languages for relational databases. Some extensions of FOL with _xed-point operators on finite structures, as the least fixed-point logic (LFP), were proposed to deal with problem problems related to the expressivity of FOL. LFP captures the complexity class PTIME over the class of _nite ordered structures. The descriptive characterization of computational classes is a central issue within _nite model theory (FMT). Trakhtenbrot's theorem, considered the starting point of FMT, states that validity over finite models is not recursively enumerable, that is, completeness fails over finite models. This result is based on an underlying assumption that any deductive system is of finite nature. However, we can relax such assumption as done in the scope of proof theory for arithmetic. Proof theory has roots in the Hilbert's programme. Proof theoretical consequences are, for instance, related to normalization theorems, consistency, decidability, and complexity results. The proof theory for arithmetic is also motivated by Godel incompleteness theorems. It aims to o_er an example of a true mathematically meaningful principle not derivable in first-order arithmetic. One way of presenting this proof is based on a definition of a proof system with an infinitary rule, the w-rule, that establishes the consistency of first-order arithmetic through a proof-theoretical perspective. Motivated by this proof, here we will propose an in_nitary proof system for LFP that will allow us to investigate proof theoretical properties. With such in_nitary deductive system, we aim to present a proof theory for a logic traditionally defined within the scope of FMT. It opens up an alternative way of proving results already obtained within FMT and also new results through a proof theoretical perspective. Moreover, we will propose a normalization procedure with some restrictions on the rules, such this deductive system can be used in a theorem prover to compute queries on relational databases.

[pt] Existem diferentes estilos de cálculos dedutivos, usados para derivar os teoremas de uma lógica. Os mais habituais são os sistemas axiomáticos; mas, do ponto de vista da teoria da prova, os sistemas em dedução natural parecem ser mais interessantes. Essa é a motivação que leva ao desenvolvimento de técnicas que visam a facilitar a transformação de um cálculo dedutivo para o estilo em dedução natural. Esse trabalho se concentra no aspecto de modelar regras para os quantificadores da linguagem considerada e, para isso, faz uso de rótulos. Após uma apresentação intuitiva da técnica desenvolvida, passa-se à exposição de sistemas lógicos tratados pelo método: lógica de ultrafiltros, lógica de filtros, CTL, lógica de Keisler e CTL*. Em cada caso, analisam-se aspectos de teoria da prova. / [en] There are many kinds of deductive calculus. The axiomatic ones are the more usual. However, from the point of view of proof theory, Natural Deduction systems seem to be more interesting. This is the motivation for developping a technique that aims to ease the transformation from deductive calculus to Natural Deduction style. This work concentrates on the aspect of modeling the rules for the quantifiers of the logic considered, and for this purpose labels are used. After an intuitive presentation of the technique developped, some logical systems are treated by the method: ultrafilter logic, filter logic, CTL, Keisler`s logic and CTL*. For each one of them proof-theoretical aspects are analysed.

[pt] A lógica descritiva intuicionista iALC foi criada para modelar e raciocinar sobre o domínio de Leis baseada na Jurisprudência Kelseniana [1]. No decorrer da década anterior, essa lógica foi usada de diversas maneiras para modelar normas ou formalizar raciocínio jurídico [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]. Neste trabalho pretendemos complementar trabalhos anteriores ralizados com essa lógica ao preencher algumas lacunas encontradas enquanto trabalhando com ela. A primeira lacuna ocorre por iALC não ter um modo intuitivo de explicar raciocínio nela realizado para pessoas fora do domínio da Lógica. Ela tem um Cálculo de Sequentes (CS) [6] correto e completo (com respeito a modelos conceituais intuitionistas [3]) que tem sido menos usado que o desejado, e isso se dá em grande parte devido à maneira pouco intuitiva com que CS representa provas. Apresentamos um sistema de Dedução Natural (DN) correto e completo e com (quasi-)normalização para compensar por essa dificuldade em explicar CS para não-lógicos, especialmente os do domínio legal, essenciais para nossa pesquisa. Normalização completa não é possível devido a um tipo de derivação - tirando essa exceção, o resto do sistema gera derivações uniformes. A segunda lacuna envolve não poder lidar com raciocínio não-monotônico (RNM). Em geral, utiliza-se raciocínio monotônico, no qual, se é possível concluir algo de um conjunto de premissas, não há como acrescentar outra premissa de modo a evitar a conclusão prévia. Isso não é o caso em um julgamento legal, por exemplo, no qual lados opostos buscam convencer um juiz ou júri de consequências opostas ao adicionar premissas diferentes ao caso em questão. Propomos uma investigação de caráter exploratório em busca de uma extensão de iALC para lidar com RNM a fim de representar raciocínio jurídico em outras facetas da Lei como o processo judicial, que é não-monotônico por natureza. Apresentamos propriedades desejadas e uma possível aplicação de um sistema assim via um estudo de caso. Detalhamos mais a motivação tanto para o sistema de DN quanto a extensão de RNM, assim como as decisões tomadas ao criar cada um. / [en] The intuitionistic description logic iALC was created to model and reason over the domain of Law based on Kelsenian Jurisprudence [1]. Over the past decade, this logic has been used in several ways to either model norms or formalise legal reasoning [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]. In this work we intend to complement previous research done with this logic by filling some gaps found while working with it. The first gap occurs in iALC needing an intuitive way to explain reasoning for non-logicians. It has a sound and complete (concerning intuitionistic conceptual models [3]) Sequent Calculus (SC) [6] that has seen less usage than expected due to its non-intuitive way of presenting a proof. We present a (quasi-)normalising, sound and complete (w.r.t. TBox validity for intuitionistic conceptual models) Natural Deduction (ND) System to cover this difficulty in explaining SC to non-logicians, especially those in the domain of Law, which are essential to us. We do not achieve full normalisation due to a kind of derivation which cannot be normalised - aside from this exception, the rest of the system can provide uniform derivations. The second gap is being unable to deal with non-monotonic reasoning (NMR). Usually, one considers monotonic reasoning, in which, if one can conclude something from a set of premises, there is no way to add another premise to avoid said conclusion. This is not the case in a court of law, for instance, in which different parties aim to convince a judge or jury of opposite consequences by adding different premises to the case itself. We provide an exploratory investigation of an extension of iALC to deal with NMR to represent legal reasoning in aspects of the Law, such as the judicial process, which is non-monotonic by nature. We present desirable properties and a possible application of such a system via a case study. We explain further the motivation for both the ND system and the NMR extension and the decisions taken for both.