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In this thesis we develop efficient methods for automated proof search within an important class of mathematical logics. The logics considered are the varying, cumulative and constant domain versions of the first-order modal logics K, K4, D, D4, T, S4 and S5, and first-order intuitionistic logic. The use of these non-classical logics is commonplace within Computing Science and Artificial Intelligence in applications in which efficient machine assisted proof search is essential. Traditional techniques for the design of efficient proof methods for classical logic prove to be of limited use in this context due to their dependence on properties of classical logic not shared by most of the logics under consideration. One major contribution of this thesis is to reformulate and abstract some of these classical techniques to facilitate their application to a wider class of mathematical logics. We begin with Bibel's Connection Calculus: a matrix proof method for classical logic comparable in efficiency with most machine orientated proof methods for that logic. We reformulate this method to support its decomposition into a collection of individual techniques for improving the efficiency of proof search within a standard cut-free sequent calculus for classical logic. Each technique is presented as a means of alleviating a particular form of redundancy manifest within sequent-based proof search. One important result that arises from this anaylsis is an appreciation of the role of unification as a tool for removing certain proof-theoretic complexities of specific sequent rules; in the case of classical logic: the interaction of the quantifier rules. All of the non-classical logics under consideration admit complete sequent calculi. We anaylse the search spaces induced by these sequent proof systems and apply the techniques identified previously to remove specific redundancies found therein. Significantly, our proof-theoretic analysis of the role of unification renders it useful even within the propositional fragments of modal and intuitionistic logic.

[pt] Garantir que programas são implementados de forma a cumprir uma especificação é uma questão fundamental em computação, por isso, têm sido propostos vários métodos que almejam provar a correção dos programas. Este trabalho apresenta um método, baseado no isomorfismo de Curry-Howard, que extrai conteúdos computacionais de provas intuicionistas, conhecido como síntese construtiva ou proofs-as-programs. É proposto um processo de síntese construtiva de programas, onde a extração do conteúdo computacional gera um programa em linguagem imperativa a partir de uma prova em lógica intuicionista poli-sortida, cujos axiomas definem os tipos abstratos de dados, sendo utilizado como sistema dedutivo a Dedução Natural. Também é apresentada uma prova de correção, bem como uma prova de completude do método atráves do uso de um sistema com regra ômega (computacional) para a aritmética de Heyting, concluindo com uma demonstração da relação entre o uso da indução finita no lugar da regra ômega computacional no processo de síntese. / [en] One of the main problems in computer science is to assure that programs are implemented in such a way that they satisfy a given specification. There are many studies about methods to prove correctness of programs. This work presents a method, belonging to the constructive synthesis or proofs-as-programs paradigm, that comes from the Curry- Howard isomorphism and extracts the computational contents of intuitionist proofs. The synthesis process proposed produces a program in an imperative language from a proof in many-sorted intuitionist logic, where the axioms define the abstract data types using Natural Deduction as deductive system. It is proved the correctness, as well as the completeness of the method regarding the Heyting arithmetic with ômega-rule(in its computational version). A discussion about the use of the finitary induction instead of computational ômega-rule concludes the work.

This paper investigates (modal) extensions of Heyting–Brouwer logic, i.e., the logic which results when the dual of implication (alias coimplication) is added to the language of intuitionistic logic. We first develop matrix as well as Kripke style semantics for those logics. Then, by extending the Gödel-embedding of intuitionistic logic into S4 , it is shown that all (modal) extensions of Heyting–Brouwer logic can be embedded into tense logics (with additional modal operators). An extension of the Blok–Esakia-Theorem is proved for this embedding.

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[pt] A história recente da Lógica Matemática foi marcada por alguns conflitos entre diferentes correntes filosóficas, cada uma buscando contextualizar a atividade matemática a partir de seu próprio prisma analítico e, por meio disso, tentando conquistar para si mesma o pódio fundacional das Ciências Formais Tais discussões, perenes o bastante para ainda quedarem sem solução, foram fortemente impactadas pela apropriação semântica de alguns resultados técnicos obtidos no campo da teoria da prova, o que redefiniu a relação existente entre as abordagens clássica e intuicionista na matemática. Neste contexto, a presente dissertação tem por finalidade realizar uma descrição da emergente literatura de propostas integrativas entre diferentes sistemas lógicos e matemáticos (apelidadas por Dag Prawitz de ecumenismo lógico), além de investigar alguns impactos que mudanças formais poderiam ocasionar nas concepções filosóficas de algumas teorias matemáticas. No capítulo introdutório, traçamos um panorama geral desta nova proposta ecumênica e analisamos com mais atenção o conflito entre as lógicas Clássica, Intuicionista e Minimal, considerado por muitos como um dos mais influentes na literatura contemporânea. No segundo capítulo, este trabalho fornece uma contribuição original para a literatura ao criar uma nova abordagem ecumênica, além de provar algumas equivalências no interior do sistema Clássico-Intuicionista recentemente criado por Prawitz e compará-lo com uma lógica que criamos usando esta nova abordagem. No terceiro capítulo, contribuímos tanto com a abordagem tradicional quanto com nossa abordagem original ao criar e comparar dua lógicas ecumênicas Minimal-Intuicionistas. Por fim, realizamos uma breve revisão do tímido estado da arte no último capítulo, oferecendo um novo esquema conceitual de interpretação dos sistemas ecumênicos e comentando alguns aspectos promissores do campo, que poderão vir a ser melhor trabalhados no futuro. / [en] The recent history of Mathematical Logic was marked by some conficts between different philosophical positions, each trying to contextualize mathematical activity from its own analytical viewpoint and, with this, trying to conquer the foundational podium of the formal sciences for itself. Such discussions, lasting enough to remain without a solution, were strongly impacted by the semantical appropriation of some technical results obtained in the field of proof theory, which redefined the relation between the classical and intuitionistic approaches to mathematics. In this context, the present dissertation aims to describe the emergent literature about the integration of different logical and mathematical systems (nicknamed logical ecumenism by Dag Prawitz), in addition to investigating some impacts that those formal changes could have on the philosophical conceptions of some mathematical theories. In the introductory chapter, we have outlined a general overview of this new ecumenical proposal and analysed in greater depht the conflicts between Classical, Intuitionistic and Minimal logic, considered by many as one of the most influent on the contemporary literature. In the second chapter, this work provides an original contribution to the literature by creating a new ecumenical approach, in addition to proving some equivalencies within Prawitz s recently created Classical-Intuitionist system, and compares it with the logical system we have created using this new approach. In the third chapter, we contribute both to the traditional approach and our original approach by creating and comparing two Minimal-Intuitionist ecumenical logics. Finally, we briefly review the timid state of the art in the last chapter, offering a new conceptual framework for interpreting ecumenical systems, as well as commenting on some promising aspects of the field, which may be better analyzed in the future.

[pt] A lógica descritiva intuicionista iALC foi criada para modelar e raciocinar sobre o domínio de Leis baseada na Jurisprudência Kelseniana [1]. No decorrer da década anterior, essa lógica foi usada de diversas maneiras para modelar normas ou formalizar raciocínio jurídico [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]. Neste trabalho pretendemos complementar trabalhos anteriores ralizados com essa lógica ao preencher algumas lacunas encontradas enquanto trabalhando com ela. A primeira lacuna ocorre por iALC não ter um modo intuitivo de explicar raciocínio nela realizado para pessoas fora do domínio da Lógica. Ela tem um Cálculo de Sequentes (CS) [6] correto e completo (com respeito a modelos conceituais intuitionistas [3]) que tem sido menos usado que o desejado, e isso se dá em grande parte devido à maneira pouco intuitiva com que CS representa provas. Apresentamos um sistema de Dedução Natural (DN) correto e completo e com (quasi-)normalização para compensar por essa dificuldade em explicar CS para não-lógicos, especialmente os do domínio legal, essenciais para nossa pesquisa. Normalização completa não é possível devido a um tipo de derivação - tirando essa exceção, o resto do sistema gera derivações uniformes. A segunda lacuna envolve não poder lidar com raciocínio não-monotônico (RNM). Em geral, utiliza-se raciocínio monotônico, no qual, se é possível concluir algo de um conjunto de premissas, não há como acrescentar outra premissa de modo a evitar a conclusão prévia. Isso não é o caso em um julgamento legal, por exemplo, no qual lados opostos buscam convencer um juiz ou júri de consequências opostas ao adicionar premissas diferentes ao caso em questão. Propomos uma investigação de caráter exploratório em busca de uma extensão de iALC para lidar com RNM a fim de representar raciocínio jurídico em outras facetas da Lei como o processo judicial, que é não-monotônico por natureza. Apresentamos propriedades desejadas e uma possível aplicação de um sistema assim via um estudo de caso. Detalhamos mais a motivação tanto para o sistema de DN quanto a extensão de RNM, assim como as decisões tomadas ao criar cada um. / [en] The intuitionistic description logic iALC was created to model and reason over the domain of Law based on Kelsenian Jurisprudence [1]. Over the past decade, this logic has been used in several ways to either model norms or formalise legal reasoning [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]. In this work we intend to complement previous research done with this logic by filling some gaps found while working with it. The first gap occurs in iALC needing an intuitive way to explain reasoning for non-logicians. It has a sound and complete (concerning intuitionistic conceptual models [3]) Sequent Calculus (SC) [6] that has seen less usage than expected due to its non-intuitive way of presenting a proof. We present a (quasi-)normalising, sound and complete (w.r.t. TBox validity for intuitionistic conceptual models) Natural Deduction (ND) System to cover this difficulty in explaining SC to non-logicians, especially those in the domain of Law, which are essential to us. We do not achieve full normalisation due to a kind of derivation which cannot be normalised - aside from this exception, the rest of the system can provide uniform derivations. The second gap is being unable to deal with non-monotonic reasoning (NMR). Usually, one considers monotonic reasoning, in which, if one can conclude something from a set of premises, there is no way to add another premise to avoid said conclusion. This is not the case in a court of law, for instance, in which different parties aim to convince a judge or jury of opposite consequences by adding different premises to the case itself. We provide an exploratory investigation of an extension of iALC to deal with NMR to represent legal reasoning in aspects of the Law, such as the judicial process, which is non-monotonic by nature. We present desirable properties and a possible application of such a system via a case study. We explain further the motivation for both the ND system and the NMR extension and the decisions taken for both.

[pt] A lógica iALC é uma lógica de descrição de caráter intuicionista, criada para lidar com textos jurídicos como alternativa à mais comumente utilizada lógica deôntica, por conseguir contornar problemas que se encontra ao utilizar esta última. Nesta dissertação, introduzimos os principais conceitos que formam iALC, argumentamos sobre sua utilização em vez de demais lógicas para formalização de leis, implementamos suas provas de correção e completude no assistente de provas L(existe algum)(para cada)N, e apresentamos uma proposta de formalização de leis brasileiras em iALC. Além disso, mostramos um exemplo de aplicação desta formalização para resolução de questões de múltipla escolha da primeira fase do exame da OAB, que tem por objetivo avaliar a aptidão dos candidatos para a prática da advocacia no Brasil. São vistos três exemplos de questões, cujas características são discutidas e comparadas umas às outras. / [en] The logic iALC is a description logic with an intuitionistic aspect to it, created to deal with legal texts as an alternative to the more common deontic logic, by being able to avoid problems found when utilizing the latter. In this dissertation, we introduce the core concepts which form iALC, debate on its utilization instead of other logics for legal formalization, implement the soundness and completeness proofs for it in the proof assistant L(there is some)(for each)N, and present a proposal for formalization of Brazilian law in iALC. Furthermore, we show an example of application of this formalization in order to reason on multiple choice questions of the first part of the OAB Exam (the Brazilian national Bar exam), which aims to test candidates for their aptitude to practice the law in Brazil. We will show three examples, whose characteristics will be discussed and then compared to the others.

Wir schlagen eine praxisorientierte Explikation der philosophischen Position des Mathematischen Pluralismus vor. Dieser Position zufolge existieren mehr als ein legitimes mathematisches System. Wir interpretieren 'legitim' als 'geeignet zur Realisierung wissenschaftlicher Ziele' und wenden die resultierende pluralistische Position auf die Mathematische Ökonomie an. Wir präsentieren ein begriffliches Rahmenwerk, in dem pluralistische Thesen formuliert und evaluiert werden können, stellen ein informelles System der Konstruktiven Mathematik als Alternative zur Klassischen Mathematik vor, und zeigen, dass verschiedene ökonomische Theoreme nicht konstruktiv beweisbar sind. Auf dieser Basis argumentieren wir, dass Pluralismus relativ zu Zielen mit Bezug zu Erklärung und Simplizität in der Ökonomie vorliegt. / We propose a practice-oriented explication of the philosophical position known as mathematical pluralism. According to this position there is more than one legitimate mathematical system. We interpret 'legitimate' as 'suitable for realizing scientific goals' and apply the resultant pluralist position to mathematical economics. We present a conceptual framework within which pluralist theses can be formulated and evaluated, introduce an informal system of constructive mathematics as an alternative to classical mathematics, and point out that central theorems of economic equilibrium theory are not constructively provable. On this basis, we argue that pluralism obtains with respect to goals related to explanation and simplicity in economics.