Meshless methods provide a highly continuous approximation field, convenient for thin structures like shells. Nevertheless, the lack of Kronecker Delta property makes the formulation of essential boundary conditions not straightforward, as the trial and test fields cannot be tailored to boundary values. Similar problem arise when different approximation regions must be joined, in a multi-region problem, such as kinks, folds or joints. This work presents three approaches to impose both kinematic conditions: the well known Lagrange Multiplier method, used since the beginning of the Element Free Galerkin method; a pure penalty approach; and the recently rediscovered alternative of Nitsche\'s Method. We use the EFG discretization technique for thick Reissner-Mindlin shells and adapt the weak form as to separate displacement and rotational degrees of freedom and obtain suitable and separate stabilization parameters. This approach enables the modeling of discontinuous shells and local refinement on multi-region problems. / Métodos sem malha geram campos de aproximação com alta continuidade, convenientes para estruturas finas como cascas. No entanto, a ausência da propriedade de Delta de Kronecker dificulta a formulação de condições essenciais de contorno, já que os campos de aproximação e teste não podem ser moldados aos valores de contorno. Um problema similar aparece quando diferentes regiões de aproximação precisam ser juntadas em um problema multi-regiões como dobras, vincos ou junções. Este trabalho apresenta três métodos de imposição ambas condições cinemáticas: o já conhecido método dos multiplicadores de Lagrange, usado desde o começo do método de Galekin sem elementos (EFG); uma abordagem de penalidade pura; e o recentemente redescoberto método de Nitsche. Nós usamos a técnica de discretização com EFG para cascas espessas de Reissner-Mindlin e adaptamos a forma fraca de forma a separar graus de liberdade de deslocamento e rotação e obter coeficientes de estabilização diferentes e apropriados. Essa abordagem permite a modelagem de cascas discontínuas e o refinamento local em problemas multi-regiões.

Cette thèse est dédiée à la simulation numérique des systèmes mécaniques impliquant l'interaction entre une structure mince déformable et un fluide incompressible interne ou qui l'entoure.Dans la première partie, nous introduisons deux nouvelles classes de schémas de couplage explicites en utilisant des maillages compatibles. Les méthodes proposées combinent une certaine consistance Robin dans le système avec (i) un schéma à pas fractionnaire pour le fluide ou (ii) une discrétisation temporelle d'ordre deux pour le fluide et le solide. Les propriétés de stabilité des méthodes sont analysées dans un cadre linéaire représentatif. Cette partie inclut aussi une étude numérique exhaustive dans laquelle plusieurs schémas de couplage (dont certains proposés ici) sont comparés et validés avec des résultats expérimentaux. Dans la seconde partie, nous considérons des maillages non compatibles. La discrétisation spatiale est basée, dans ce cas là, sur des variantes de la méthode de Nitsche avec éléments coupés. Nous présentons deux nouveaux types de schémas de découplage qui exploitent la susmentionée condition de Robin en utilisant des maillages incompatibles. Le caractère semi-implicite ou explicite du couplage en temps dépend de l'ordre dans lequel les discrétisations spatiales et temporelles sont effectuées. Dans le cas d'un couplage avec des structures immergées, la vitesse et la pression discrètes permettent des discontinuités faibles et fortes à travers l'interface, respectivement. Des estimations de stabilité et d'erreur sont fournies dans un cadre linéaire. Une série de tests numériques illustre la performance des différentes méthodes proposées. / This thesis is devoted to the numerical approximation of mechanical systems involving the interaction of a deformable thin-walled structure with an internal or surrounding incompressible fluid flow. In the first part, we introduce two new classes of explicit coupling schemes using fitted meshes. The methods proposed combine a certain Robin-consistency in the system with (i) a projection-based time-marching in the fluid or (ii) second-order time-stepping in both the fluid and the solid. The stability properties of the methods are analyzed within representative linear settings. This part includes also a comprehensive numerical study in which state-of-the-art coupling schemes (including some of the methods proposed herein) are compared and validated against the results of an experimental benchmark. In the second part, we consider unfitted mesh formulations. The spatial discretization in this case is based on variants of Nitsche’s method with cut elements. We present two new classes of splitting schemes which exploit the aforementioned interface Robin-consistency in the unfitted framework. The semi-implicit or explicit nature of the splitting in time is dictated by the order in which the spatial and time discretizations are performed. In the case of the coupling with immersed structures, weak and strong discontinuities across the interface are allowed for the velocity and pressure, respectively. Stability and error estimates are provided within a linear setting. A series of numerical tests illustrates the performance of the different methods proposed.

Dans cette thèse, nous proposons l'analyse numérique et le développement d'algorithmes partitionnés pour coupler l'écoulement du sang dans différents comparti- ments cardiovasculaires (3D-3D, 3D-0D) Dans une première partie, un problème couplé fluide-fluide est introduit. Sur l'interface qui sépare les domaines, des conditions aux limites de type Robin-Robin dérivées de la formulation d'interface de Nitsche sont considérées. Nous proposons différents schémas explicites dont la stabilité est analysée dans la norme de l'énergie. Des simulations numé- riques illustrent le potentiel des méthodes présentées. La deuxième partie propose des applications cardiovasculaires plus réalistes. Tout d'abord, un modèle d'ordre réduit pour les valves cardiaques est décrit. Sans traiter l'inter- action fluide-structure avec le sang, les valves sont remplacées par des surfaces agissant comme des résistances immergées dans le fluide. Des simulations numériques montrent l'efficacité et la robustesse de ce modèle. Pour finir, une formulation ALE est utilisée pour la résolution d'un modèle fluide sur un domaine mobile. Nous montrons qu'en ajoutant un terme consistent, une inégalité d'éner- gie stable peut être obtenue sans considérer aucune hypothèse de Loi de Conservation Géométrique. Le travail se termine avec des simulations numériques sur la dynamique du sang dans le ventricule gauche, couplé avec l'écoulement du sang dans l'aorte. / In this thesis we present the numerical analysis and the development of parti- tioned algorithms in order to couple the blood dynamics in different cardiovascular compart- ments (3D-3D, 3D-0D). In the first part a fluid-fluid coupled problem is introduced. On the interface between the domains Robin-Robin boundary conditions, derived from the interface Nitsche’s formulation, are considered. We suggest different staggered explicit schemes whose stability is analyzed in the energy norm. Extensive numerical experiments illustrate the accuracy of the methods presented. The second part deals with more realistic cardiovascular applications. First a reduced order model for the heart valves is described. Without dealing with fluid-structure interaction with the blood flow, the valves are replaced by immersed surfaces acting as resistances on the fluid. Numerical simulations show the efficiency and the robustness of this model in the framework of a fluid-fluid interaction scheme. In the end, an ALE formulation is used to solve a fluid model in a moving domain. We show that adding a suitable consistent term, a stable energy inequality can be obtained without considering any Geometric Conservation Laws. The work ends with numerical sim- ulations on blood dynamics in the left ventricle coupled with the blood flowing in the aorta.

The paper deals with a combination of the Fourier-finite-element method with the Nitsche-finite-element method (as a mortar method). The approach is applied to the Dirichlet problem of the Poisson equation in three-dimensional axisymmetric domains $\widehat\Omega$ with non-axisymmetric data. The approximating Fourier method yields a splitting of the 3D-problem into 2D-problems. For solving the 2D-problems on the meridian plane $\Omega_a$, the Nitsche-finite-element method with non-matching meshes is applied. Some important properties of the approximation scheme are derived and the rate of convergence in some $H^1$-like norm is proved to be of the type ${\mathcal O}(h+N^{-1})$ ($h$: mesh size on $\Omega_a$, $N$: length of the Fourier sum) in case of a regular solution of the boundary value problem. Finally, some numerical results are presented.

Dans cette thèse, nous proposons et analysons des méthodes numériques partitionnées pour la simulation de phénomènes d'interaction fluide-structure (IFS) dans le système cardiovasculaire. Nous considérons en particulier l'interaction mécanique du sang avec la paroi des grosses artères, avec des valves cardiaques et avec le myocarde. Dans les algorithmes IFS partitionnés, le couplage entre le fluide et la structure peut être imposé de manière implicite, semi-implicite ou explicite. Dans la première partie de cette thèse, nous faisons l'analyse de convergence d'un algorithme de projection semi-implicite. Puis, nous proposons une nouvelle version de ce schéma qui possède de meilleures propriétés de stabilité. La modification repose sur un couplage Robin-Robin résultant d'une ré-interprétation de la formulation de Nitsche. Dans la seconde partie, nous nous intéressons à la simulation de valves cardiaques. Nous proposons une stratégie partionnée permettant la prise en compte du contact entre plusieurs structures immergées dans un fluide. Nous explorons également l'utilisation d'une technique de post-traitement récente, basée sur la notion de structures Lagrangiennes cohérentes, pour analyser qualitativement l'hémodynamique complexe en aval des valves aortiques. Dans la dernière partie, nous proposons un modèle original de valves cardiaques. Ce modèle simplifié offre un compromis entre les approches 0D classiques et les simulations complexes d'interaction fluide-structure 3D. Diverses simulations numériques sont présentées pour illustrer l'efficacité et la robustesse de ce modèle, qui permet d'envisager des simulations réalistes de l'hémodynamique cardiaque, à un coût de calcul modéré.

Les travaux de la thèse portent sur la résolution des équations de Stokes, d'abord avec des conditions au bord portant sur la composante normale du champ de vitesse et la composante tangentielle du tourbillon, ensuite avec des conditions au bord portant sur la pression et la composante tangentielle du champ de vitesse. Dans chaque cas nous démontrons l'existence, l'unicité et la régularité de la solution. Nous traitons aussi le cas de solutions très faibles, par dualité. Le cadre fonctionnel que nous avons choisi est celui des espaces de Banach du type H(div) et H(rot) ou l'intersection des deux, basés sur l'espace Lp , avec 1 < p < ∞. En particulier, on se place dans des domaines non simplement connexes, avec des frontières non connexes. Nous nous intéressons en premier lieu à l'obtention d'inégalités de Sobolev pour des champs de vecteurs u ∈ Lp (Ω). Dans un second temps, nous établissons des résultats d'existence pour les potentiels vecteurs avec diverses conditions aux limites. Ceci nous permet d'abord d'effectuer des décompositions de type Helmholtz et ensuite de démontrer des conditions Inf − Sup lorsque la forme bilinéaire est un produit de rotationnels. Ces conditions aux limites font que l'équation de la pression est indépendante des autres variables. C'est la raison pour laquelle nous sommes naturellement conduit à étudier les problèmes elliptiques qui se traduisent par les systèmes de Stokes sans la pression. La résolution de ces problèmes se fait au moyen des Conditions Inf − Sup qui jouent un rôle clef pour établir l'existence et l'unicité de solutions. Nous donnons une applications aux systèmes de Navier-Stokes, où on obtient l'existence d'une solution en effectuant un point fi xe autour du problème d'Oseen. Enfi n, deux méthodes numériques sont proposées pour approcher le problème de Stokes. Nous analysons d'abord une méthode de Nitsche et puis une méthode de Galerkin discontinu. Quelques résultats numériques de convergence sont décrits qui sont parfaitement cohérents avec l'analyse.