Insolvenzprognosen und Ratings sind wichtige Aufgaben der Finanzbranche und dienen der Kreditwürdigkeitsprüfung von Unternehmen. Eine Möglichkeit dieses Aufgabenfeld anzugehen, ist maschinelles Lernen. Dabei werden Vorhersagemodelle aufgrund von Beispieldaten aufgestellt. Methoden aus diesem Bereich sind aufgrund Ihrer Automatisierbarkeit vorteilhaft. Dies macht menschliche Expertise in den meisten Fällen überflüssig und bietet dadurch einen höheren Grad an Objektivität. Allerdings sind auch diese Ansätze nicht perfekt und können deshalb menschliche Expertise nicht gänzlich ersetzen. Sie bieten sich aber als Entscheidungshilfen an und können als solche von Experten genutzt werden, weshalb interpretierbare Modelle wünschenswert sind. Leider bieten nur wenige Lernalgorithmen interpretierbare Modelle. Darüber hinaus sind einige Aufgaben wie z.B. Rating häufig Mehrklassenprobleme. Mehrklassenklassifikationen werden häufig durch Meta-Algorithmen erreicht, welche mehrere binäre Algorithmen trainieren. Die meisten der üblicherweise verwendeten Meta-Algorithmen eliminieren jedoch eine gegebenenfalls vorhandene Interpretierbarkeit. In dieser Dissertation untersuchen wir die Vorhersagegenauigkeit von interpretierbaren Modellen im Vergleich zu nicht interpretierbaren Modellen für Insolvenzprognosen und Ratings. Wir verwenden disjunktive Normalformen und Entscheidungsbäume mit Schwellwerten von Finanzkennzahlen als interpretierbare Modelle. Als nicht interpretierbare Modelle werden Random Forests, künstliche Neuronale Netze und Support Vector Machines verwendet. Darüber hinaus haben wir einen eigenen Lernalgorithmus Thresholder entwickelt, welcher disjunktive Normalformen und interpretierbare Mehrklassenmodelle generiert. Für die Aufgabe der Insolvenzprognose zeigen wir, dass interpretierbare Modelle den nicht interpretierbaren Modellen nicht unterlegen sind. Dazu wird in einer ersten Fallstudie eine in der Praxis verwendete Datenbank mit Jahresabschlüssen von 5152 Unternehmen verwendet, um die Vorhersagegenauigkeit aller oben genannter Modelle zu messen. In einer zweiten Fallstudie zur Vorhersage von Ratings demonstrieren wir, dass interpretierbare Modelle den nicht interpretierbaren Modellen sogar überlegen sind. Die Vorhersagegenauigkeit aller Modelle wird anhand von drei in der Praxis verwendeten Datensätzen bestimmt, welche jeweils drei Ratingklassen aufweisen. In den Fallstudien vergleichen wir verschiedene interpretierbare Ansätze bezüglich deren Modellgrößen und der Form der Interpretierbarkeit. Wir präsentieren exemplarische Modelle, welche auf den entsprechenden Datensätzen basieren und bieten dafür Interpretationsansätze an. Unsere Ergebnisse zeigen, dass interpretierbare, schwellwertbasierte Modelle den Klassifikationsproblemen in der Finanzbranche angemessen sind. In diesem Bereich sind sie komplexeren Modellen, wie z.B. den Support Vector Machines, nicht unterlegen. Unser Algorithmus Thresholder erzeugt die kleinsten Modelle während seine Vorhersagegenauigkeit vergleichbar mit den anderen interpretierbaren Modellen bleibt. In unserer Fallstudie zu Rating liefern die interpretierbaren Modelle deutlich bessere Ergebnisse als bei der zur Insolvenzprognose (s. o.). Eine mögliche Erklärung dieser Ergebnisse bietet die Tatsache, dass Ratings im Gegensatz zu Insolvenzen menschengemacht sind. Das bedeutet, dass Ratings auf Entscheidungen von Menschen beruhen, welche in interpretierbaren Regeln, z.B. logischen Verknüpfungen von Schwellwerten, denken. Daher gehen wir davon aus, dass interpretierbare Modelle zu den Problemstellungen passen und diese interpretierbaren Regeln erkennen und abbilden.

Diese Arbeit leistet Beiträge zu drei Gebieten der deskriptiven Komplexitätstheorie. Zunächst adaptieren wir einen repräsentationsinvarianten Graphkanonisierungsalgorithmus mit einfach exponentieller Laufzeit von Corneil und Goldberg (1984) und folgern, dass die Logik "Choiceless Polynomial Time with Counting" auf Strukturen, deren Relationen höchstens Stelligkeit 2 haben, gerade die Polynomialzeit-Eigenschaften (PTIME) von Fragmenten logarithmischer Größe charakterisiert. Der zweite Beitrag untersucht die deskriptive Komplexität von PTIME-Berechnungen auf eingeschränkten Graphklassen. Wir stellen eine neuartige Normalform von Intervallgraphen vor, die sich in Fixpunktlogik mit Zählen (FP+C) definieren lässt, was bedeutet, dass FP+C auf dieser Graphklasse PTIME charakterisiert. Wir adaptieren außerdem unsere Methoden, um einen kanonischen Beschriftungsalgorithmus für Intervallgraphen zu erhalten, der sich mit logarithmischer Platzbeschränkung (LOGSPACE) berechnen lässt. Im dritten Teil der Arbeit beschäftigt uns die ungelöste Frage, ob es eine Logik gibt, die alle Polynomialzeit-Berechnungen charakterisiert. Wir führen eine Reihe von Ranglogiken ein, die die Fähigkeit besitzen, den Rang von Matrizen über Primkörpern zu berechnen. Wir zeigen, dass diese Ergänzung um lineare Algebra robuste Logiken hervor bringt, deren Ausdrucksstärke die von FP+C übertrifft. Außerdem beweisen wir, dass Ranglogiken strikt an Ausdrucksstärke gewinnen, wenn wir die Zahl an Variablen erhöhen, die die betrachteten Matrizen indizieren. Dann bauen wir eine Brücke zur klassischen Komplexitätstheorie, indem wir über geordneten Strukturen eine Reihe von Komplexitätsklassen zwischen LOGSPACE und PTIME durch Ranglogiken charakterisieren. Die Arbeit etabliert die stärkste der Ranglogiken als Kandidat für die Charakterisierung von PTIME und legt nahe, dass Ranglogiken genauer erforscht werden müssen, um weitere Fortschritte im Hinblick auf eine Logik für Polynomialzeit zu erzielen. / This thesis is making contributions to three strands of descriptive complexity theory. First, we adapt a representation-invariant, singly exponential-time graph canonization algorithm of Corneil and Goldberg (1984) and conclude that on structures whose relations are of arity at most 2, the logic "Choiceless Polynomial Time with Counting" precisely characterizes the polynomial-time (PTIME) properties of logarithmic-size fragments. The second contribution investigates the descriptive complexity of PTIME computations on restricted classes of graphs. We present a novel canonical form for the class of interval graphs which is definable in fixed-point logic with counting (FP+C), which shows that FP+C captures PTIME on this graph class. We also adapt our methods to obtain a canonical labeling algorithm for interval graphs which is computable in logarithmic space (LOGSPACE). The final part of this thesis takes aim at the open question whether there exists a logic which generally captures polynomial-time computations. We introduce a variety of rank logics with the ability to compute the ranks of matrices over (finite) prime fields. We argue that this introduction of linear algebra results in robust logics whose expressiveness surpasses that of FP+C. Additionally, we establish that rank logics strictly gain in expressiveness when increasing the number of variables that index the matrices we consider. Then we establish a direct connection to standard complexity theory by showing that in the presence of orders, a variety of complexity classes between LOGSPACE and PTIME can be characterized by suitable rank logics. Our exposition provides evidence that rank logics are a natural object to study and establishes the most expressive of our rank logics as a viable candidate for capturing PTIME, suggesting that rank logics need to be better understood if progress is to be made towards a logic for polynomial time.

Normalformen drücken semantische Eigenschaften einer Logik durch syntaktische Restriktionen aus. Sie ermöglichen es Algorithmen, Grenzen der Ausdrucksstärke einer Logik auszunutzen. Ein Beispiel ist die Lokalität der Logik erster Stufe (FO), die impliziert, dass Graph-Eigenschaften wie Erreichbarkeit oder Zusammenhang nicht FO-definierbar sind. Gaifman-Normalformen drücken die Bedeutung einer FO-Formel als Boolesche Kombination lokaler Eigenschaften aus. Sie haben eine wichtige Rolle in Model-Checking Algorithmen für Klassen dünn besetzter Graphen, deren Laufzeit durch die Größe der auszuwertenden Formel parametrisiert ist. Es ist jedoch bekannt, dass Gaifman-Normalformen im Allgemeinen nur mit nicht-elementarem Aufwand konstruiert werden können. Dies führt zu einer enormen Parameterabhängigkeit der genannten Algorithmen. Ähnliche nicht-elementare untere Schranken sind auch für Feferman-Vaught-Zerlegungen und für die Erhaltungssätze von Lyndon, Łoś und Tarski bekannt. Diese Arbeit untersucht die Komplexität der genannten Normalformen auf Klassen von Strukturen beschränkten Grades, für welche die nicht-elementaren unteren Schranken nicht gelten. Für diese Einschränkung werden Algorithmen mit elementarer Laufzeit für die Konstruktion von Gaifman-Normalformen, Feferman-Vaught-Zerlegungen, und für die Erhaltungssätze von Lyndon, Łoś und Tarski entwickelt, die in den ersten beiden Fällen worst-case optimal sind. Wichtig hierfür sind Hanf-Normalformen. Es wird gezeigt, dass eine Erweiterung von FO durch unäre Zählquantoren genau dann Hanf-Normalformen erlaubt, wenn alle Zählquantoren ultimativ periodisch sind, und wie Hanf-Normalformen in diesen Fällen in elementarer und worst-case optimaler Zeit konstruiert werden können. Dies führt zu Model-Checking Algorithmen für solche Erweiterungen von FO sowie zu Verallgemeinerungen der Algorithmen für Feferman-Vaught-Zerlegungen und die Erhaltungssätze von Lyndon, Łoś und Tarski. / Normal forms express semantic properties of logics by means of syntactical restrictions. They allow algorithms to benefit from restrictions of the expressive power of a logic. An example is the locality of first-order logic (FO), which implies that properties like reachability or connectivity cannot be defined in FO. Gaifman's local normal form expresses the satisfaction conditions of an FO-formula by a Boolean combination of local statements. Gaifman normal form serves as a first step in fixed-parameter model-checking algorithms, parameterised by the size of the formula, on sparse graph classes. However, it is known that in general, there are non-elementary lower bounds for the costs involved in transforming a formula into Gaifman normal form. This leads to an enormous parameter-dependency of the aforementioned algorithms. Similar non-elementary lower bounds also hold for Feferman-Vaught decompositions and for the preservation theorems by Lyndon, Łoś, and Tarski. This thesis investigates the complexity of these normal forms when restricting attention to classes of structures of bounded degree, for which the non-elementary lower bounds are known to fail. Under this restriction, the thesis provides algorithms with elementary and even worst-case optimal running time for the construction of Gaifman normal form and Feferman-Vaught decompositions. For the preservation theorems, algorithmic versions with elementary running time and non-matching lower bounds are provided. Crucial for these results is the notion of Hanf normal form. It is shown that an extension of FO by unary counting quantifiers allows Hanf normal forms if, and only if, all quantifiers are ultimately periodic, and furthermore, how Hanf normal form can be computed in elementary and worst-case optimal time in these cases. This leads to model-checking algorithms for such extensions of FO and also allows generalisations of the constructions for Feferman-Vaught decompositions and preservation theorems.