In der Statistik und der Mathematik ist die Normalverteilung der am meisten verbreitete, stochastische Term für die Mehrheit der statistischen Modelle. Wir zeigen, dass der entsprechende stochastische Prozess, die Brownsche Bewegung, drei entscheidende empirische Beobachtungen nicht abbildet: schwere Ränder, Langzeitabhängigkeiten und Skalierungsgesetze. Ein selbstähnlicher Prozess, der in der Lage ist Langzeitabhängigkeiten zu modellieren, ist die Gebrochene Brownsche Bewegung, welche durch die Faltung der Inkremente im Limit nicht normalverteilt sein muss. Die Inkremente der Gebrochenen Brownschen Bewegung können durch einen Parameter H, dem Hurst Exponenten, Langzeitabhängigkeiten darstellt werden. Für die Gebrochene Brownsche Bewegung müssten die Skalierungs-(Hurst-) Exponenten über die Momente verschiedener Ordnung konstant sein. Empirisch beobachten wir variierende Hölder-Exponenten, die multifraktales Verhalten implizieren. Wir erklären dieses multifraktale Verhalten durch die Änderung des alpha-stabilen Indizes der alpha-stabilen Verteilung, indem wir Filter für Saisonalitäten und Langzeitabhängigkeiten über verschiedene Zeitfrequenzen anwenden, startend bei 1-minütigen Hochfrequenzdaten. Durch die Anwendung eines Filters für die Langzeitabhängigkeit zeigen wir, dass die Residuen des stochastischen Prozesses geringer Zeitfrequenz (wöchentlich) durch die alpha-stabile Bewegung beschrieben werden können. Dies erlaubt es uns, den empirischen, hochfrequenten Datensatz auf die niederfrequente Zeitfrequenz zu skalieren. Die generierten wöchentlichen Daten aus der Frequenz-Reskalierungs-Methode (FRM) haben schwerere Ränder als der ursprüngliche, wöchentliche Prozess. Wir zeigen, dass eine Teilmenge des Datensatzes genügt, um aus Risikosicht bessere Vorhersagen für den gesamten Datensatz zu erzielen. Im Besonderen wäre die Frequenz-Reskalierungs-Methode (FRM) in der Lage gewesen, die seltenen Events der Finanzkrise 2008 zu modellieren. / Coming from a sphere in statistics and mathematics in which the Normal distribution is the dominating underlying stochastic term for the majority of the models, we indicate that the relevant diffusion, the Brownian Motion, is not accounting for three crucial empirical observations for financial data: Heavy tails, long memory and scaling laws. A self-similar process, which is able to account for long-memory behavior is the Fractional Brownian Motion, which has a possible non-Gaussian limit under convolution of the increments. The increments of the Fractional Brownian Motion can exhibit long memory through a parameter H, the Hurst exponent. For the Fractional Brownian Motion this scaling (Hurst) exponent would be constant over different orders of moments, being unifractal. But empirically, we observe varying Hölder exponents, the continuum of Hurst exponents, which implies multifractal behavior. We explain the multifractal behavior through the changing alpha-stable indices from the alpha-stable distributions over sampling frequencies by applying filters for seasonality and time dependence (long memory) over different sampling frequencies, starting at high-frequencies up to one minute. By utilizing a filter for long memory we show, that the low-sampling frequency process, not containing the time dependence component, can be governed by the alpha-stable motion. Under the alpha-stable motion we propose a semiparametric method coined Frequency Rescaling Methodology (FRM), which allows to rescale the filtered high-frequency data set to the lower sampling frequency. The data sets for e.g. weekly data which we obtain by rescaling high-frequency data with the Frequency Rescaling Method (FRM) are more heavy tailed than we observe empirically. We show that using a subset of the whole data set suffices for the FRM to obtain a better forecast in terms of risk for the whole data set. Specifically, the FRM would have been able to account for tail events of the financial crisis 2008.

This thesis addresses issues related to the simulation and optimization of the injection molding of short fiber-reinforced plastics (SFRPs). The injection molding process is modeled by a two phase flow problem. The simulation of the two phase flow is accompanied by the solution of the Folgar-Tucker equation (FTE) for the simulation of the moments of fiber orientation densities. The FTE requires the solution of the so called 'closure problem'', i.e. the representation of the 4th order moments in terms of the 2nd order moments. In the absence of fiber-fiber interactions and isotropic initial fiber density, the FTE admits an analytical solution in terms of elliptic integrals. From these elliptic integrals, the closure problem can be solved by a simple numerical inversion. Part of this work derives approximate inverses and analytical inverses for special cases of fiber orientation densities. Furthermore a method is presented to generate rational functions for the computation of arbitrary moments in terms of the 2nd order closure parameters. Another part of this work treats the determination of effective material properties for SFRPs by the use of FFT-based homogenization methods. For these methods a novel discretization scheme, the 'staggered grid'' method, was developed and successfully tested. Furthermore the so called 'composite voxel'' approach was extended to nonlinear elasticity, which improves the approximation of material properties at the interfaces and allows the reduction of the model order by several magnitudes compared to classical approaches. Related the homogenization we investigate optimal experimental designs to robustly determine effective elastic properties of SFRPs with the least number of computer simulations. Finally we deal with the topology optimization of injection molded parts, by extending classical SIMP-based topology optimization with an approximate model for the fiber orientations. Along with the compliance minimization by topology optimization we also present a simple shape optimization method for compensation of part warpage for an black-box production process.:Acknowledgments v Abstract vii Chapter 1. Introduction 1 1.1 Motivation 1 1.2 Nomenclature 3 Chapter 2. Numerical simulation of SFRP injection molding 5 2.1 Introduction 5 2.2 Injection molding technology 5 2.3 Process simulation 6 2.4 Governing equations 8 2.5 Numerical implementation 18 2.6 Numerical examples 25 2.7 Conclusions and outlook 27 Chapter 3. Numerical and analytical methods for the exact closure of the Folgar-Tucker equation 35 3.1 Introduction 35 3.2 The ACG as solution of Jeffery's equation 35 3.3 The exact closure 36 3.4 Carlson-type elliptic integrals 37 3.5 Inversion of R_D-system 40 3.6 Moment tensors of the angular central Gaussian distribution on the n-sphere 49 3.7 Experimental evidence for ACG distribution hypothesis 54 3.8 Conclusions and outlook 60 Chapter 4. Homogenization of SFRP materials 63 4.1 Introduction 63 4.2 Microscopic and macroscopic model of SFRP materials 63 4.3 Effective linear elastic properties 65 4.4 The staggered grid method 68 4.5 Model order reduction by composite voxels 80 4.6 Optimal experimental design for parameter identification 93 Chapter 5. Optimization of parts produced by SFRP injection molding 103 5.1 Topology optimization 103 5.2 Warpage compensation 110 Chapter 6. Conclusions and perspectives 115 Appendix A. Appendix 117 A.1 Evaluation of R_D in Python 117 A.2 Approximate inverse for R_D in Python 117 A.3 Inversion of R_D using Newton's/Halley's method in Python 117 A.4 Inversion of R_D using fixed point method in Python 119 A.5 Moment computation using SymPy 120 A.6 Fiber collision test 122 A.7 OED calculation of the weighting matrix 123 A.8 OED Jacobian of objective and constraints 123 Appendix B. Theses 125 Bibliography 127 / Diese Arbeit befasst sich mit Fragen der Simulation und Optimierung des Spritzgießens von kurzfaserverstärkten Kunststoffen (SFRPs). Der Spritzgussprozess wird durch ein Zweiphasen-Fließproblem modelliert. Die Simulation des Zweiphasenflusses wird von der Lösung der Folgar-Tucker-Gleichung (FTE) zur Simulation der Momente der Faserorientierungsdichten begleitet. Die FTE erfordert die Lösung des sogenannten 'Abschlussproblems'', d. h. die Darstellung der Momente 4. Ordnung in Form der Momente 2. Ordnung. In Abwesenheit von Faser-Faser-Wechselwirkungen und anfänglich isotroper Faserdichte lässt die FTE eine analytische Lösung durch elliptische Integrale zu. Aus diesen elliptischen Integralen kann das Abschlussproblem durch eine einfache numerische Inversion gelöst werden. Ein Teil dieser Arbeit leitet approximative Inverse und analytische Inverse für spezielle Fälle von Faserorientierungsdichten her. Weiterhin wird eine Methode vorgestellt, um rationale Funktionen für die Berechnung beliebiger Momente in Bezug auf die Abschlussparameter 2. Ordnung zu generieren. Ein weiterer Teil dieser Arbeit befasst sich mit der Bestimmung effektiver Materialeigenschaften für SFRPs durch FFT-basierte Homogenisierungsmethoden. Für diese Methoden wurde ein neuartiges Diskretisierungsschema 'staggerd grid'' entwickelt und erfolgreich getestet. Darüber hinaus wurde der sogenannte 'composite voxel''-Ansatz auf die nichtlineare Elastizität ausgedehnt, was die Approximation der Materialeigenschaften an den Grenzflächen verbessert und die Reduzierung der Modellordnung um mehrere Größenordnungen im Vergleich zu klassischen Ansätzen ermöglicht. Im Zusammenhang mit der Homogenisierung untersuchen wir optimale experimentelle Designs, um die effektiven elastischen Eigenschaften von SFRPs mit der geringsten Anzahl von Computersimulationen zuverlässig zu bestimmen. Schließlich beschäftigen wir uns mit der Topologieoptimierung von Spritzgussteilen, indem wir die klassische SIMP-basierte Topologieoptimierung um ein Näherungsmodell für die Faserorientierungen erweitern. Neben der Compliance-Minimierung durch Topologieoptimierung stellen wir eine einfache Formoptimierungsmethode zur Kompensation von Teileverzug für einen Black-Box-Produktionsprozess vor.:Acknowledgments v Abstract vii Chapter 1. Introduction 1 1.1 Motivation 1 1.2 Nomenclature 3 Chapter 2. Numerical simulation of SFRP injection molding 5 2.1 Introduction 5 2.2 Injection molding technology 5 2.3 Process simulation 6 2.4 Governing equations 8 2.5 Numerical implementation 18 2.6 Numerical examples 25 2.7 Conclusions and outlook 27 Chapter 3. Numerical and analytical methods for the exact closure of the Folgar-Tucker equation 35 3.1 Introduction 35 3.2 The ACG as solution of Jeffery's equation 35 3.3 The exact closure 36 3.4 Carlson-type elliptic integrals 37 3.5 Inversion of R_D-system 40 3.6 Moment tensors of the angular central Gaussian distribution on the n-sphere 49 3.7 Experimental evidence for ACG distribution hypothesis 54 3.8 Conclusions and outlook 60 Chapter 4. Homogenization of SFRP materials 63 4.1 Introduction 63 4.2 Microscopic and macroscopic model of SFRP materials 63 4.3 Effective linear elastic properties 65 4.4 The staggered grid method 68 4.5 Model order reduction by composite voxels 80 4.6 Optimal experimental design for parameter identification 93 Chapter 5. Optimization of parts produced by SFRP injection molding 103 5.1 Topology optimization 103 5.2 Warpage compensation 110 Chapter 6. Conclusions and perspectives 115 Appendix A. Appendix 117 A.1 Evaluation of R_D in Python 117 A.2 Approximate inverse for R_D in Python 117 A.3 Inversion of R_D using Newton's/Halley's method in Python 117 A.4 Inversion of R_D using fixed point method in Python 119 A.5 Moment computation using SymPy 120 A.6 Fiber collision test 122 A.7 OED calculation of the weighting matrix 123 A.8 OED Jacobian of objective and constraints 123 Appendix B. Theses 125 Bibliography 127