Dans cette thèse, on étudie la contrôlabilité et la stabilisation de certaines équations aux dérivées partielles dispersives. On s'intéresse d'abord au problème du contrôle interne. Grâce à des méthodes d'analyse microlocale et à l'utilisation des espaces de Bourgain, on prouve la stabilisation et la contrôlabilité en grand temps de l'équation de Schrödinger non linéaire, d'abord sur un intervalle, puis sur des variétés de dimension 3. Dans le cas d'un intervalle, on raisonne à la régularité L^2, permettant ainsi de traiter une non-linéarité focalisante ou défocalisante. On obtient aussi des résultats de régularité supplémentaire pour le contrôle. De plus, on prouve la contrôlabilité aux trajectoires, dont on déduit une deuxième preuve de la contrôlabilité globale. On applique ensuite ces méthodes à l'équation de Korteweg-de Vries en données périodiques. Pour cette équation, on donne aussi un terme d'amortissement dépendant du temps permettant d'avoir un taux de décroissance exponentielle arbitraire. On étudie aussi l'équation de Klein-Gordon sur des variétés compactes avec une nonlinéarité critique. Sous des hypothèses légèrement plus fortes que la condition de contrôle géométrique, on prouve la stabilisation et la contrôlabilité en grand temps pour des données haute fréquence. La preuve nécessite la mise en oeuvre d'une décomposition en prols sur des variétés pour laquelle des effets géométriques doivent être analysés. Dans une dernière partie, on étudie le contrôle bilinéaire. Grâce à un effet régularisant, on établit la contrôlabilité locale de l'équation de Schrödinger sur un intervalle avec une preuve plus simple que dans la littérature existante, permettant ainsi d'atteindre les espaces optimaux et en temps arbitraire. La méthode est assez robuste pour être étendue à d'autres situations : les données radiales sur la boule, l'équation de Schrödinger non linéaire et des ondes non linéaire sur un intervalle.

L'étude présentée dans ce travail de thèse aborde deux aspects du problème de Cauchy caractéristique en relativité générale. D'une part, une formule intégrale pour le problème de Cauchy caractéristique pour l'équation de Dirac est établie, généralisant les travaux de Penrose en espace-temps courbe. Ayant adapté le cadre fonctionnel pour obtenir une théorie des distributions adaptée à la structure algébriques des spineurs, le formalisme Geroch-Held-Penrose est utilisé pour décrire de la manière la plus précise possible la formule intégrale. La formule de Penrose en spin arbitraire sur l'espace-temps de Minkowski est retrouvée. D'autre part, une théorie de scattering conforme pour une équation des ondes non linéaire conformément invariante sur un espace asymptotiquement simple est construite. En effectuant un rééchelonnement conforme, l'espace-temps est complété en lui ajoutant une frontière constituée de deux hypersurfaces caractéristiques représentant respectivement les extrémités passées et futures des géodésiques de type lumière. Le comportement asymptotique des champs s'obtient alors en considérant les traces des solutions de l'équation conforme sur ces bords. L'inversibilité des opérateurs de trace s'obtient alors en résolvant un problème de Cauchy caractéristique sur ce bord et l'opérateur de scattering conforme par composition de ces opérateurs de trace.

Cette thèse porte sur l'étude expérimentale des ondes non-linéaires à la surface de l'eau. Premièrement, l'étude présente les mesures spatio-temporelles des ondes non-linéaires lors du passage sur une marche immergée. Celles-ci ont permis de séparer et d'analyser les diffèrent composants jusqu'au deuxième ordre. En particulier, la contribution de la tension de surface, a été mise en évidence en mesurant la longueur du battement de la deuxième harmonique. Les résultats obtenus ont été comparés à un modèle théorique multi-modal des coefficients de transmission et de réflexion. Dans la même configuration, la construction d'un bassin fermé en ajoutant un mur réfléchissant à la fin, a permis d'observer l'excitation de modes à basse fréquence, avec une dynamique quasi-périodique intéressante. En parallèle, deux aspects expérimentaux impliqués dans les manipulations à petite échelle ont été étudiés. Premièrement, l'atténuation produite par la friction sur le fond a été mesurée et analysée pour des ondes distribuées de façon aléatoire, en montrant l'importance relative de cet effet. Deuxièmement, la dynamique de la ligne de contact joue un rôle important lorsque les ondes ont des amplitudes suffisamment petites et que les bords se trouvent suffisamment proches. Dans ce cas, nous avons constaté des différences considérables en réflexion et en courbure du front d'onde. La dernière partie porte sur les mesures expérimentales de l'absorption parfaite avec un résonateur couplé dans un guide d'onde étroit. Les modes piégés générés par un cylindre décalé dans le guide, ont été excités pour produire l'absorption. / This thesis presents an experimental investigation on the propagation of nonlinear water waves. The first part focuses on the space-time measurements of nonlinear water waves, when it passes over a submerged step. The space-time resolved measurement allows us to separate the different components at the second order, which are compared with a theoretical nonlinear multi-modal model. The important contribution of the surface tension at higher orders is verified by measuring the beating length of the second harmonic. In the same conditions, the addition of a reflecting wall at the end of the channel sets a rectangular tank with submerged step, where the excitation of low-frequency modes yields a quasi-periodic dynamics. Concurrently, a research about aspects that have to be considered in small scale experiments of surface waves has been carried out. In shallow water, the damping of water waves is highly influenced by the bottom friction. This dependence was measured for randomly distributed waves, revealing the relative contribution of this effect. Moreover, the dynamic of the contact line plays a significant role when the wave-amplitude is small and the boundaries are near, both in relation to the capillary length. We observed experimentally how the wetting of the boundaries changes the reflection and the wave-front curvature. The final part covers the measurement of perfect wave absorption by a coupled resonator in a narrow waveguide. The trapped modes generated by a cylinder shifted from the channel axis were excited to generate the absorption.

Ce mémoire présente la caractérisation et l'étude de différents microrésonateurs optiques ainsi que leur utilisation pour la génération d'effets non linéaires. Avec leur capacité à confiner très efficacement la lumière, les microrésonateurs optiques sont des candidats intéressants à la génération non linéaire de micropeignes de fréquences grâce au principe de mélange à quatre ondes en cascade. Leur petite taille permet des espacements entre les fréquences générées pouvant aisément se situer de 10 à 1000 GHz, des taux de répétitions difficilement accessibles pour les lasers à mode bloqués conventionnels. Depuis plusieurs années, la communauté scientifique s'intéresse à cette alternative miniaturisée afin d'obtenir des peignes de fréquences avec des propriétés particulières. Le mémoire présentera la caractérisation de différents types de microrésonateurs optiques, microsphères de SiO2 et de GTZN (germano-tellurites), microtige de SiO₂ et microdisque de SiO₂ afin de déterminer des candidats potentiels à la génération d'effets non linéaires. Les candidats retenus seront ensuite utilisés afin de générer des fréquences par mélange à quatre ondes en cascade. Une étude préliminaire des fréquences générées sera ensuite décrite. / This master thesis presents the characterization and study of optical microresonators and their utilization for non linear effects generation. With the capacity to efficiently confine light, optical microresonators are promising candidates to generate microcombs via cascaded fourwave mixing. Their small size allows easy access to mode spacing ranging from 10 to 1000 GHz. Such repetition rates are hardly reachable with usual mode locked lasers. For many years, the scientific community has been interested into this miniaturized alternative in order to obtain frequency combs with peculiar properties. The master thesis will hence present the characterization of differents types of microresonators to determine their non linear effects generation potential. Best candidates will be used to generate cascaded four-wave mixing. A preliminary study about the generated frequencies will then be described.

Cette thèse s'intéresse, à la diffraction d'ondes électromagnétiques par un matériau ferromagnétique obéissant à la loi non-linéaire de Landau-Lifshitz, et comporte trois parties. On étudie dans la première partie le problème de Cauchy formé par le système de Maxwell et la loi de L.L. On y montre l'existence et l'unicité des solutions fortes en 2D. La deuxième partie traite le problème de diffraction par un revêtement ferromagnétique de faible épaisseur. La couche mince est remplacée par des conditions aux limites équivalentes, obtenues via un développement asymptotique par rapport à l'épaisseur et permettant un calcul approchée de la solution. La stabilité (ou instabilité) de ces conditions est analysée dans le cas général mais l'étude de l'erreur pour le problème non-linéaire n'a été faite que pour le modèle 1D. On propose et on étudie ensuite deux schémas de discrétisation en temps. L'intérêt pratique de ces conditions équivalentes a été mis en évidence par des expériences numériques 1D et 2D. La troisième partie est consacrée à l'homogénéisation d'un milieu ferromagnétique périodique. Le modèle homogénéisé est présenté dans le cas général et comprend une loi non linéaire micro-macro non locale. La convergence double échelle est montrée dans le cas laminaire. Le procédé d'homogénéisation est également validé numériquement dans ce cas.

Les instabilités paramétriques non linéaires (NL) ont été observées sur les ondes magnéto-élastiques dans le cas d'un couplage de trois quasi-phonons sous pompage électromagnétique. La théorie en prédit une dynamique supercritique explosive, mais limitée expérimentalement par le décalage de fréquence dû aux fortes nonlinéarités. La dynamique supercritique des instabilités paramétriques NL est étudiée dans deux matériaux antiferromagnétiques "plan facile" (AFEP): l'hématite α-Fe2O3 et le borate de fer FeBO3. Ces matériaux possèdent une très grande NL acoustique effective en raison du couplage magnéto-élastique élevé. Les mécanismes de limitation de la dynamique explosive ont été analysés à l'aide de l'approximation anharmonique. La compensation du décalage fréquentiel NL par une modulation de phase singulière du pompage a été proposée et théoriquement vérifiée, puis utilisée pour l'observation expérimentale de la dynamique supercritique explosive des excitations de trois quasi-phonons dans les résonateurs magnéto-élastiques. Les études sur FeBO3 ont été réalisées dans la gamme de température 77 K - 293 K où les paramètres magnéto-élastiques du cristal varient de façon significative. Un modèle fortement non linéaire des excitations de trois quasi-phonons dans les AFEPs a été développé. Les simulations numériques sont en accord avec les résultats expérimentaux. Les études théoriques de couplage de trois ondes magnéto-élastiques progressives ont été effectuées sur la base de modèles théoriques prenant en compte la non-linéarité cubique des cristaux AFEP réels. Les simulations numériques prévoient un comportement explosif et une localisation spatiale des triades générées

Les ondes hydrothermales constituent un système modèle d'ondes non-linéaires dont nous étudions expérimentalement la transition vers le chaos spatio-temporel. A une dimension d'espace, par comparaison entre une cellule annulaire périodique et une cellule rectangulaire de taille finie, nous montrons que l'instabilité primaire en ondes ne survient dans ce dernier cas que lorsque la transition convectif/absolu est franchie. Nous isolons de même pour l'instabilité secondaire d'Eckhaus les régimes d'instabilité convective et absolue. A deux dimensions d'espace dans une cellule cylindrique, nous étudions la structuration de l'écoulement de base en rouleaux corotatifs, puis les différents modes d'instabilités en fonction de la différence de température appliquée et de la hauteur de fluide~: spirales d'Archimède, cibles, fleurs et rayons apparaissent chacuns par bifurcation de Hopf supercritique. Deux modes d'ondes hydrothermales sont alors distingués. Nous tentons d'expliquer l'existence de ces deux modes différents par une étude théorique et numérique: nous quantifions les effets de la courbure sur les instabilités à deux dimensions.

Les interactions paramétriques dans des matériaux actifs magnétoacoustiques de compositions et structures variées sont étudiées expérimentalement.<br />L'influence de la composition des ferrites poly-cristallines à base de nickel sur les sensibilités des vitesses acoustiques aux champs magnétiques DC et RF sont considérées. Un couplage magnéto-élastique maximum de 59% et une sensibilité au champ magnétique de la vitesse des ondes transversales de 100%/kOe ont été trouvées pour la composition Fe2,026Ni0,95Co0,024О4. En utilisation comme milieu actif pour conjugaison de phase paramétrique, cette composition a démontré un incrément d'amplification extraordinaire de 4.5 μs-1.<br />Une méthode impulsionnelle amplitude-phase (IAP) originale a été élaborée et appliquée à l'étude de la sensibilité paramétrique de matériaux actifs intéressants pour les perspectives possédant une faible impédance acoustique (≈9 MRa): composites à base de Terfenol-D et ferrites poreuses de nickel. Les sensibilités de la vitesse acoustique au champ magnétique AC trouvées étaient de 4.39%/kOe et 3.39%/kOe dans le composite et la ferrite poreuse respectivement. <br />Un nouveau phénomène paramétrique acoustique d'excitation de trois phonons liésa été observé dans les cristaux antiferromagnétiques de type “plan-facile” α-Fe2O3 sous pompage magnétique transversal AC. Les modes sous-critiques et super-critiques de ces excitations à trios phonons ont été étudiés par la méthode IAP et décrits théoriquement. La particularité du mode super-critique est la formation d'une singularité pour une durée de pompage finie. Cette singularité est stabilisée par la nonlinéarité intrinsèque du système de phonon.

L'étude théorique de la transition vers la turbulence d'écoulements en tuyau de fluides non newtoniens rhéofluidifiants (fluides de Carreau) est menée, avec l'approche consistant à calculer des «~structures très cohérentes~» sous la forme d'«~ondes non linéaires~». Pour cela un code pseudo-spectral de type Petrov-Galerkin, permettant de suivre des solutions ondes non linéaires tridimensionnelles dans l'espace des paramètres par continuation, est développé. Ce code est validé par comparaison à des résultats existants en fluide newtonien, et grâce à un test de consistance en fluide non newtonien. Une convergence spectrale exponentielle est obtenue dans tous les cas. Ce code est utilisé pour chercher (guidé par des résultats expérimentaux récents) de nouvelles solutions de nombre d'onde azimutal fondamental égal à 1, sans succès pour l'instant. Par contre des solutions de nombre d'onde azimutal fondamental égal à 2 ou 3 sont obtenues par continuation à partir du cas newtonien. La rhéofluidification induit, en termes de nombres de Reynolds critiques, un retard à l'apparition de ces ondes par rapport au cas newtonien. Ce retard est caractérisé, et le parallèle est fait avec divers résultats expérimentaux qui montrent un retard à l'apparition de bouffées turbulentes en fluides non newtoniens / The transition to turbulence in pipe flows of shear-thinning fluids is studied theoretically. The method used is the computation of `exact coherent structures' that are tridimensional nonlinear waves. For this purpose a pseudo-spectral Petrov-Galerkin code is developped, which also allows to follow solution branches in the parameter space with continuation methods. This code is validated by recovering already published results in the Newtonian case, and by a consistency test in the non-Newtonian case. A spectral exponential convergence is obtained in all cases. This code is used to seek (guided by recent experimental results) new solutions of fundamental azimuthal wavenumber equal to 1,without success at the time being. On the contrary solutions with a fundamental azimuthal wavenumber equal to 2 and 3 are obtained by continuation from the Newtonian case. The shear-thinning effects induce, in terms of critical Reynolds numbers, a delay for the onset of these waves, as compared with the Newtonian case. This delay is characterized. An analogy is made with various experimental results that show a delay in the transition to turbulence, more precisely, in the onset of `puffs', in non-Newtonian fluids

Les instabilités paramétriques non linéaires (NL) ont été observées sur les ondes magnéto-élastiques dans le cas d’un couplage de trois quasi-phonons sous pompage électromagnétique. La théorie en prédit une dynamique supercritique explosive, mais limitée expérimentalement par le décalage de fréquence dû aux fortes nonlinéarités. La dynamique supercritique des instabilités paramétriques NL est étudiée dans deux matériaux antiferromagnétiques "plan facile" (AFEP): l’hématite α-Fe2O3 et le borate de fer FeBO3. Ces matériaux possèdent une très grande NL acoustique effective en raison du couplage magnéto-élastique élevé. Les mécanismes de limitation de la dynamique explosive ont été analysés à l'aide de l'approximation anharmonique. La compensation du décalage fréquentiel NL par une modulation de phase singulière du pompage a été proposée et théoriquement vérifiée, puis utilisée pour l’observation expérimentale de la dynamique supercritique explosive des excitations de trois quasi-phonons dans les résonateurs magnéto-élastiques. Les études sur FeBO3 ont été réalisées dans la gamme de température 77 K - 293 K où les paramètres magnéto-élastiques du cristal varient de façon significative. Un modèle fortement non linéaire des excitations de trois quasi-phonons dans les AFEPs a été développé. Les simulations numériques sont en accord avec les résultats expérimentaux. Les études théoriques de couplage de trois ondes magnéto-élastiques progressives ont été effectuées sur la base de modèles théoriques prenant en compte la non-linéarité cubique des cristaux AFEP réels. Les simulations numériques prévoient un comportement explosif et une localisation spatiale des triades générées / Recently discovered nonlinear parametric instabilities occur when nonlinear parameter of a system is modulated. These instabilities were reported on magnetoelastic waves as three quasi-phonon coupling under electromagnetic pumping. Theoretical studies predicted supercritical explosive dynamics of these instabilities. Experimentally such singular behavior is limited by strong nonlinear frequency shift.Presented work studies supercritical dynamics of nonlinear parametric instabilities in two easy plane antiferromagnets (AFEP): hematite α-Fe2O3 and iron borate FeBO3. These materials possess unprecedented effective acoustic nonlinearity due to high magneto-elastic coupling. Limiting mechanisms of explosive dynamics were analyzed with the help of anharmonic approximation. Nonlinear frequency shift compensation via singular pumping field phase modulation was suggested and theoretically approbated. This technique was successfully used for experimental observation and investigation of supercritical explosive dynamics of three quasi-phonon excitations in magnetoelastic resonators. Iron borate studies were performed in the temperature range 77 K – 293 K where magnetoelastic parameters of the crystal vary essentially. Strongly nonlinear model of three quasi-phonon excitations in AFEPs was developed. Numerical simulations of the model showed good agreement with experimental results.Theoretical studies of three travelling magnetoelastic waves coupling are performed on the basis of suggested theoretical models that take into account cubic nonlinearity of real AFEP crystals. Numerical simulations of the models suggest explosive behavior and spatial localization of generated triads