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Osciladores de ultra-baixa-tensão com aplicação em circuitos de captação de energia

Machado, Márcio Bender January 2014 (has links)
Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Florianópolis, 2014 / Made available in DSpace on 2015-02-05T21:21:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 329913.pdf: 22484058 bytes, checksum: f7331ac6b417ae4debd42b072651c5c1 (MD5) Previous issue date: 2014 / Abstract: This thesis describes the analysis and design of oscillators and charge pumps that can operate with very low supply voltages. The focus is on operation of the MOS transistor in the triode region owing to the limited voltage options available. Special attention has been given to the properties of the zero-VT transistor due to its high drive capability at low voltage. In order to investigate the minimum supply voltage for MOSFET oscillators, three topologies were studied. Two of them, namely the enhanced swing ring and the enhanced swing Colpitts oscillators, can operate with supply voltages below the thermal voltage, kT =q. Simplified theoretical expressions for the minimum supply voltage, oscillation frequency and minimum transistor gain of the oscillators were derived. Measurement results obtained using prototypes built with zero-VT transistors verified the operation of the oscillators for a supply voltage as low as 30 mV and 3.5 mV with high swing amplitude for arrangements built with integrated and off-theshelfinductors, respectively. The application of the ultra-low-voltage oscillators to energy harvesting circuits was addressed in this work. In order to convert the ac signal of the oscillator into a dc signal, the popular Dickson charge pump converter was employed. Expressions for the output voltage, input resistance and power converter efficiency of the Dickson charge pump operating at ultra-low voltages were derived. Experimental results obtained with prototypes built with the enhanced swing ring oscillator and the Dickson charge pump confirmed the feasibility of obtaining a dc output equal to 1 V at current consumptions of 100 nA and 1 µA from input voltages of 10 mV and 23 mV, respectively.<br> / O presente trabalho apresenta a análise, projeto e experimentação de osciladores e conversores dc-dc elevadores operando a muito baixas tensões de alimentação. Devido aos baixos valores de tensão de alimentação de interesse deste trabalho, especial atenção foi dada à operação do transistor MOS na região triodo e às propriedades do transistor zero-VT, graças a sua alta capacidade de corrente para baixas tensões. Com o objetivo de investigar a mínima tensão de alimentação de osciladores a MOSFET, três topologias foram estudadas. Duas delas, chamadas de oscilador em anel com elevada excursão desinal e oscilador Colpitts com elevada excursão de sinal, podem trabalhar com tensões de alimentação inferiores à tensão térmica, kT /q. Expressões simplificadas para a mínima tensão de alimentação, frequência de oscilação e mínimo ganho do transistor foram derivadas para cada topologia. Resultados experimentais obtidos com protótipos implementados com transistores zero-VT comprovam a operação dos osciladores com tensões tão baixas quanto 30 mV e 3,5 mV em circuitos construídos com indutores integrados e discretos, respectivamente. A aplicação dos osciladores a circuitos de captação de energia (energy harvesting circuits) a partir de fontes de alimentação de ultra-baixa-tensão foi estudada neste trabalho. Com o propósito de converter tensões ac geradas pelos osciladores em sinais dc, o clássico conversor Dickson foi utilizado. Expressões para a tensão de saída, resistência de entrada e eficiência de conversão de potência do conversor Dickson operando a ultra-baixas-tensões foram derivadas. Resultados experimentais obtidos com protótipos construídos com o oscilador em anel com elevada excursão de sinal e com o conversor Dickson, provaram a possibilidade de se obter uma tensão dc na saída de 1 V para correntes de carga de 100 nA e 1 µA a partir de tensões de entrada de 10 mV e 23 mV, respectivamente.
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Amortiguación de Oscilaciones Electromecánicas Utilizando Control de Enlace HVDC

Reyes Chamorro, Lorenzo January 2009 (has links)
El crecimiento de la demanda eléctrica en el país requiere de nuevas fuentes de energía por parte del sector público y privado. En particular, una región que posee un gran potencial energético hidráulico es la XI Región de Aysén. Sin embargo la concentración de la demanda se encuentra en el centro del país por lo que es necesario transmitir una gran cantidad de energía, estimada inicialmente en 2750[MW] de potencia activa, a través de aproximadamente 2000[km] de longitud. En este contexto, la mejor solución técnico – económica disponible para la transmisión es un enlace de corriente continua en alto voltaje (HVDC del inglés “High Voltage Direct Current”). El disponer de un enlace HVDC de las características del proyecto Aysén ofrece importantes oportunidades para mejorar la operación de los sistemas de corriente alterna a los que se conecta. En efecto, un enlace HVDC utiliza elementos de electrónica de potencia de muy rápida respuesta, por lo que es posible plantear esquemas de control que contribuyan a la seguridad y estabilidad dinámica del sistema. En esta memoria de título se plantea como objetivo el desarrollo de un esquema de control para amortiguar oscilaciones electromecánicas debido a pequeñas perturbaciones. En este trabajo, se desarrolla una guía general para el problema de amortiguar oscilaciones electromecánicas en el intervalo de 0.1 – 2 [Hz]. Para ello se desarrolla un modelo y una herramienta computacional en MATLAB que resuelve en forma linealizada un modelo dinámico del Sistema Interconectado Central de Chile reducido considerando 6 variables de estado por generador, y las ecuaciones de flujo de potencia alterno y continuo para los balances de potencia. Con el sistema linealizado se diseña un control de lazo cerrado clásico para amortiguar oscilaciones de potencia utilizando como variable de control la corriente de operación del enlace HVDC y como variable controlada la diferencia angular entre 2 barras del sistema. Como resultado se obtiene que la técnica utilizada a través de la herramienta computacional desarrollada en esta memoria, efectivamente logra amortiguar las oscilaciones de potencia en el sistema deseado, logrando una variación del factor de amortiguamiento de para el modo local.
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Análise de ruído de fase em osciladores mos baseada no grau de inversão dos transitores

Lacerda, Polyana Camargo de January 2016 (has links)
Orientador : Prof. Dr. Oscar da Costa Gouveia Filho / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. Defesa: Curitiba, 24/08/2016 / Inclui referências : f. 59-61 / Resumo: Neste trabalho, foi desenvolvido um metodo de analise de ruido de fase de osciladores MOS baseado no grau de inversao dos transistores, com o objetivo de demonstrar como o nivel de inversao do transistor influencia o resultado do ruido de fase em um oscilador. Foi apresentado o modelo do transistor MOS baseado no conceito do nivel de inversao de operacao do transistor e o uso deste conceito para definir o ruido termico e o ruido 1/.. do dispositivo. Em relacao ao modelo de ruido de fase utilizado, a teoria esta fundamentada na identificacao da funcao de sensibilidade ao impulso . ISF do oscilador a ser analisado e do ruido estacionario ou ciclo-estacionario gerado pela fonte de ruido do circuito. Neste caso, para ser evidenciada a contribuicao do ruido do transistor MOS no ruido de fase do circuito, foram analisados transistores operando em niveis de inversao moderada e forte. Foi utilizada a topologia de oscilador Colpitts de Sinal de Excursao Melhorada (ESCO), como circuito base para o desenvolvimento de um metodo de analise do ruido de fase. O projeto dos ESCOs foi desde a etapa de calculo e simulacao ate fabricacao e medicao. O desempenho referente ao ruido de fase foi comparado com os resultados calculados pelo modelo proposto, os resultados obtidos por simulacao e os medidos. A partir dos resultados obtidos, foi constatado que osciladores projetados com transistores operando em nivel de inversao maior apresentaram melhor ruido de fase. Palavras chave: Transistor MOS; Ruido 1/..; Oscilador Colpitts; ISF; Ruido de fase. / Abstract: In this study, a method of oscillator phase noise analysis based on transistor MOS inversion level was developed, in order to demonstrate how the transistor inversion level influences the result of phase noise in an oscillator. It was presented MOS transistor model based on the concept of transistor operation inversion level and use of this concept to define thermal and 1/?? noise of the device. In relation to the used phase noise model, the theory is based on the identification of the oscillator impulse sensitivity function - ISF to be analyzed and the stationary noise or cyclo-stationary generated by circuit noise source. In this case, to be evidenced MOS transistor noise contribution to the phase noise of the circuit, transistors operating at moderate and strong inversion levels were analyzed. It was used Enhanced Swing Colpitts Oscillator (ESCO) topology, as a base circuit to develop a method of analysis of the phase noise. The design of ESCO was from the calculation step and simulation to manufacturing and measurement. The performance related to the phase noise was compared with the results calculated by the proposed model, the results obtained by simulation and measurement. From the results, it was verified oscillators designed with transistors operating at higher inversion level showed better phase noise. Keywords: MOS Transistor; 1/?? Noise; Oscillator Colpitts; ISF; Phase noise.
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Auto-organização interfacial durante a eletrodeposição de ligas Cu-Sn em regime oscilatório / Interfacial self-organization during electrodeposition of Cu-Sn alloys under oscillatory condition

Edson Joanni 10 January 2007 (has links)
A emergência de estruturas espaço-temporais auto-organizadas em sistemas químicos abertos e afastados do estado de equilíbrio termodinâmico resulta da cooperação entre os processos de reação e transporte de espécies ativas e tem se tornado uma área de intensa atividade nos últimos anos. Auto-organização dinâmica na interface sólido/líquido durante a eletrodeposição de Cu-Sn em regime oscilatório é o tema central do presente trabalho. O sistema estudado consistiu da co-eletrodeposição de cobre e estanho sobre eletrodo de ouro policristalino na presença do surfactante Triton X-100. Instabilidades temporais na forma de oscilações de corrente sob controle potenciostático resultantes da presença de uma região de resistência diferencial negativa no perfil voltamétrico têm sido experimentalmente observadas nesse sistema. Acompanhando essas oscilações de corrente há uma deposição intercalada em multicamadas de diferentes composições (basicamente Cu e CuSn), espessuras e morfologias. Especificamente foram estudadas neste trabalho a variedade dinâmica (i.e., o formato e escala de tempo das oscilações de corrente) e a estrutura e composição dos eletrodepósitos formados. Esse estudo tomou como base o mapeamento das regiões de instabilidade no plano (resistência externa, Rext) x (voltagem aplicada, U) sob diferentes concentrações das espécies eletroativas. Curvas de polarização foram obtidas por meio de experimentos quasi-estacionários de varredura catódica a baixas velocidades. De posse do conhecimento da localização das regiões nas quais oscilações de corrente foram observadas, experimentos estacionários foram realizados, e a morfologia e composição dos depósitos foram investigadas ex-situ por meio de microscopia eletrônica de varredura (MEV) e EDX, respectivamente. / The study of the dynamics self-organization on the solid/liquid interface during the co-electro deposition of copper and tin in the presence of adsorbed surfactant was carried out. Temporal instabilities in form of current oscillations under potentiostatic control resulted from the presence of a negative differential resistance in the voltametric profile has been reported in this system. The electro deposits obtained by this oscillatory regimen exhibit layer-by-layer structure with different compositions of Cu-Sn alloys. In the present work current density (j) versus potential(U) curves and j versus time (t) curves were recorded for the co-electro depositions under a series of external resistances (Rext) and polarization potentials. The characterization of the films were carried out by scanning electron microscope (SEM) and energy dispersive x-ray (EDX) analysis. The results confirm that for different values of external resistance and polarization potentials different compositions of the electro deposited Cu-Sn alloys were obtained.
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Ritmo circadiano de temperatura corporal no tuco-tuco (Ctenomys aff. knighti), um roedor subterrâneo sul-americano / Circadian rhythm of body temperature in the tuco-tuco (Ctenomys aff. knighti), a South-American subterranean rodent

Patricia Tachinardi Andrade Silva 19 June 2012 (has links)
Em mamíferos, a temperatura corporal (Tc) varia ao longo do dia, de forma rítmica, bem como a atividade locomotora. Essa ritmicidade diária é gerada endogenamente, por osciladores circadianos. Em geral, os valores mais elevados de Tc concentram-se nos mesmos horários em que há atividade locomotora. No entanto, variações diárias de Tc são observadas mesmo em indivíduos imóveis, evidenciando que o ritmo de Tc não é uma mera consequência dos efeitos agudos da atividade locomotora. Este trabalho teve o objetivo de estudar o ritmo circadiano de Tc no roedor Ctenomys aff. knighti (tuco-tuco) e sua relação temporal com o ritmo de atividade locomotora. A caracterização do ritmo de Tc nesse animal é particularmente interessante, pois ele habita o ambiente subterrâneo, que impõe desafios tanto à expressão rítmica (pois os ciclos ambientais são ausentes ou têm baixa amplitude) quanto à termorregulação (devido à características como alta umidade e atmosfera hipóxica e estagnada). Medimos a Tc e a atividade locomotora dos tuco-tucos em condições controladas de laboratório. Na caracterização inicial, constatamos que o ritmo de Tc dos tuco-tucos persiste mesmo em escuridão e temperatura constantes. Quando houve exposição a um ciclo diário de claro/escuro, o ritmo de Tc foi sincronizado, e os valores mais altos ocorreram na fase de escuro. Os ritmos de Tc e de atividade locomotora mostraram-se fortemente associados no tempo. Investigamos, então, se a corrida na roda de atividade modificaria a amplitude do ritmo de Tc, por envolver atividade muscular intensa. Observamos, no entanto, que a amplitude é pouco alterada com a retirada da roda e que na sua ausência os animais substituem a corrida por outras atividades que também causam efeitos agudos na Tc. Em seguida, estudamos a variação da sensibilidade da Tc aos efeitos agudos da atividade ao longo do dia. Através de um método estatístico, que também foi utilizado para filtrar os dados de Tc, verificamos que há maior correlação entre variações de Tc e de atividade no início da noite. Por fim, investigamos se o controle do ritmo de Tc é exercido pelos núcleos supraquiasmáticos, os quais são os osciladores circadianos do ritmo de atividade locomotora. Nossa abordagem utilizou animais neurologicamente intactos, comparando os padrões do ritmo de Tc e de atividade locomotora durante a ocorrência do fenômeno de \"partição do ritmo\". Constatamos que na maioria dos casos os padrões de partição, tanto da Tc como da atividade locomotora são idênticos, sugerindo um controle temporal comum. No entanto, em um dos animais observamos diferenças entre os dois ritmos, sugerindo que esse controle circadiano pode ser ainda mais complexo. / In mammals, body temperature (Tb), as well as locomotor activity, changes during the day, exhibiting a rhythmic pattern. This daily rhythmicity is generated endogenously by circadian oscillators. Usually, the highest Tb values occur simultaneously to locomotor activity. Nevertheless, daily Tb changes are observed even in immobile individuals. This fact is evidence that the Tb rhythm is not a mere consequence of the acute effects of locomotor activity. The present work,which os performed in the research center CRILAR, in Argentina, had the objective of studying the circadian rhythm of Tb. in the rodent Ctenomys aff. knighti (tuco-tuco) and its temporal relationship with the locomotor activity rhythm. The characterization of the Tb rhythm in this animal is especially interesting because it inhabits the subterranean environment, which poses challenges to both rhythmic expression (because environmental cycles are either absent or have low amplitude) and thermoregulation (due to high relative humidity, hypoxic atmosphere and limited ventilation). We measured Tb and locomotor activity of tuco-tucos under controlled laboratory conditions. An initial characterization showed that the tuco-tuco\'s Tb rhythm persisted even in constant darkness and constant temperature. This rhythm synchronized to a daily light/dark cycle, with highest values occurring during the dark phase. Tb and locomotor activity rhythm were robustly associated in time. Then, we investigated whether the wheel running would modify the Tb rhythm amplitude, because this behavior involves intense muscular activity. However, we observed that the amplitude is only slightly altered upon running-wheel removal and that in the absence of the wheel tuco-tucos substitute running with other behaviors which also have acute effects on Tb. Applying a statistical method, which was also used to filter Tb data, we verified that there is a stronger correlation between Tb changes and activity in the beginning of the night. Finally, we investigated whether the Tb rhythm is also under control of the suprachiasmatic nuclei, which are knowingly the circadian oscillators for the locomotor activity rhythm. We used an approach which involved neurally intact animals, by comparing the rhythmic patterns of Tb and locomotor activity rhythms during the occurrence of a phenomenon called \"splitting\". In most cases, splitting patterns of both Tb and locomotor activity rhythms were identical, indicating a common temporal control of these two variables. Nevertheless, we observed, in one animal, differences between the two rhythms, which suggest that the circadian control might be even more complex.
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Duplo oscilador acoplado não-linear ressonante com frequências unitárias

GALVÃO, Eudes Naziazeno January 2007 (has links)
Made available in DSpace on 2014-06-12T18:33:26Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo8708_1.pdf: 641279 bytes, checksum: 176b50adc085511ce542a61442eb1916 (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2007 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Nesta dissertação, trabalhamos com Sistemas Mecânicos, sobre a estabilidade de um ponto de equilíbrio, e sobre a existência de órbitas perióodicas em torno do mesmo. Além disso, há questionamentos sobre a existência de famílias de órbitas perióodicas numa vizinhança de tal ponto. Lyapunov estabeleceu o Teorema do Centro de Lyapunov, o qual dá condições suficientes para garantirmos a existência desta família. Mas, infelizmente (ou felizmente!) tal teorema não se aplica ao problema discutido pelo Martin Kummer no artigo On Resonant Non Linearly Coupled Oscillators with Two Equal Frequencies, problema sugerido por um caso especial do hamiltoniano de Hénon-Heiles (Ref.[5]). Tal trabalho se utiliza de vários teoremas fortes sobre fluxos induzidos por hamiltonianos. O Teorema do Twist (de Moser) aparece como protagonista na decisão de estabelecer uma condição suficiente para que a família de órbitas seja estável
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[en] GAAS FET MICROWAVE OSCILLATORS / [pt] OSCILADORES DE MICROONDAS À FET GAAS

LUIS AFONSO BERMUDEZ 24 January 2008 (has links)
[pt] Este trabalho apresenta sistemáticas para projetos de osciladores de microondas empregando basicamente como elemento ativo o transistor FET GaAs em várias configurações. Inicialmente o modelamento a pequenos sinais é estudado e um projeto é desenvolvido para comprovação experimental. Determinações de redes adaptadoras de saídas para o oscilador são apresentadas. A teoria básica de osciladores de microondas a resistência negativa é mostrada com o intuito de modelar o dispositivo ativo em nível de grandes sinais. Um estudo de ruído em osciladores de microondas também é desenvolvido para uma melhor caracterização dos osciladores. Osciladores de microondas estabilizados a ressoadores dielétricos são estudados e um projeto numa configuração original é realizado. Programas Auxiliares de Projetos (PAP) prórpios para calculadoras programáveis de mesa foram desenvolvidos e testados nos projetos apresentados. / [en] In this work some methods of designing microwave oscillators, using GaAs FET`s as the active device, are presented. First, the small-signal is discussed and a pratical circuit is shown . the role of the outpu matching structures is pointed out. The basic theory of negative-resistance microwave oscillator is presented as a tool for the large signal modeling. Noise-effect on the performance of the whole device is also studied. An original contribution on stabilyzed dielectric resonator oscillator is given since a new configuration is suggested. This work was heavily supported by a powerful software that enables computer aided design facilities.
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Reconhecimento de padrões utilizando um anel de osciladores de fase / Pattern recognition using a ring of phase oscillators

Fabio Alessandro Oliveira da Silva 21 December 2016 (has links)
Redes neurais caracterizadas por cadeias de osciladores acoplados são um dentre vários tipos de redes que possuem propriedades peculiares relacionadas com a sua estrutura topológica. A dinâmica que descreve o comportamento dessas redes é modelada por sistemas de equações diferenciais, nos quais cada neurônio (nó) é considerado como um oscilador. Estudos realizados em redes desse tipo, em tarefas de reconhecimento de padrões estáveis gerados aleatoriamente, têm apresentado resultados computacionais satisfatórios. Esta tese propôs um desenvolvimento teórico e computacional que forneceu um algoritmo, para o estudo do desempenho de redes neurais em forma de osciladores de Ciclo-Limite de Stuart-Landau, no reconhecimento de figuras fractais. Neste trabalho apresentaremos contextos reais em que podemos encontrar características deste tipo de redes e motivações. Em seguida, serão expostos conceitos de redes de Hopfield, reconhecimento de padrões, teorias dos fractais e dos osciladores de Ciclo-Limite de Stuart-Landau; tais conceitos, por sua vez, serviram como ferramentas principais para o algoritmo construído que será explicado posteriormente. Antes de apresentá-lo, será exposta a maneira como a dinâmica desses osciladores pode se tornar caótica, por meio de simulações computacionais alterando numericamente variáveis intrínsecas, como tempos de disparos entre neurônios, ou quantidades destes no sistema. Estas descobertas serviram como confirmações para elaborar e compor do algoritmo, bem como orientaram as simulações de reconhecimento de figuras fractais. Por fim, será apresentada a conclusão dos resultados encontrados. / Neural networks characterized by chains of coupled oscillators are one of several types of networks which have peculiar properties related with their topological structure. The dynamics that describes the behavior of these networks is modeled by systems of differential equations, of which each neuron (node) is considered as an oscillator. Studies on such networks, in tasks of recognizing randomly generated stable patterns, have presented satisfactory computational results. This thesis proposed a theoretical and computational development that provided an algorithm for the study of the performance of neural networks in the form of Cycle-Limit oscillators of Stuart-Landau, in the recognition of fractals. In this work we will present real contexts in which we can find characteristics of this type of networks and motivations. Next, concepts of Hopfield networks, pattern recognition, fractals theories and the Stuart-Landau Cycle-Limit oscillators will be presented; these concepts, in turn, served as the main tools for the algorithm constructed that will be explained later. Before presenting it, it will be exposed how the dynamics of these oscillators can become chaotic, through computer simulations numerically altering intrinsic variables, such as firing times between neurons, or quantities of these in the system. These findings served as confirmations for elaborating and composing the algorithm, as well as guiding the simulations of the recognition of fractals. Finally, the results will be presented.
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Algoritmos para la integración de problemas oscilatorios en varias frecuencias

García-Alonso, Fernando 16 June 2003 (has links)
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Estudio de oscilaciones en sistemas no lineales multiparamétricos

Moiola, Jorge Luis 26 June 1992 (has links)
En esta tesis se presenta un estudio de oscilaciones en sistemas no lineales generales que cumplen ciertas condiciones de diferenciabilidad. Para ello se parte, en una primera etapa, de verificar los postulados del teorema de bifurcación de Hopf que da las condiciones para detectar la presencia de soluciones periódicas en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias sujeto a la variación de un parámetro n del mismo. A tal efecto, se utiliza una propuesta fuertemente enraizada en la Teoría de Control Moderna que ofrece una interesante y didáctica presentación gráfica. Con estos primeros resultados exploramos una generalización del teorema de bifurcación de Hopf, permitiéndole mayor flexibilidad a sus hipótesis. En otras palabras, dos de las tres hipótesis originales podrán no cumplirse dando lugar a una gama variada de diagramas de bifurcaciones locales, esto es, representaciones entre el estado estacionario y la rama de soluciones periódicas cuando varia el parámetro de bifurcación mu. Es asi como, avanzando en una jerarquía de tales puntos singulares, es decir donde fallan los postulados del teorema, se cae inevitablemente en una perturbación multiparamétrica cuando se intentan recuperar los diagramas de bifurcaciones o, en otras palabras, cuando se intenta recuperar la dinámica oscilatoria del sistema. Con la propuesta formalmente enunciada se estudian las llamadas degeneraciones del teorema de bifurcación de Hopf. Para las mismas se han previsto dos alternativas de análisis. La primera consiste en plantear las condiciones de definición y de no-degeneración con nuestra formulación y aplicar los resultados de la teoría de singularidades para obtener los diagramas de bifurcaciones locales. La segunda, en cambio, permite directamente construir los diagramas locales en el espacio de los parámetros originales del sistema aplicando técnicas numéricas. En este trabajo mostramos ambas formas de análisis, especialmente en los últimos capítulos. Con tal fin, hemos implementado diferentes órdenes de aproximaciones para recuperar la dinámica oscilatoria del sistema. Estas aproximaciones Incluyen, en orden ascendiente, mayor información del sistema no lineal en forma similar a la clásica expansión en series de Taylor. Las contribuciones originales más importantes radican en: 1) La formulación de las condiciones de definición y de no-degeneración utilizando las técnicas en el llamado dominio frecuencia; 2) La extensión del método gráfico existente para hallar la amplitud y frecuencia de las oscilaciones de tal manera de incluir naturalmente a las bifurcaciones degeneradas de Hopf; 3) La continuación de las ramas de soluciones periódicas bifurcadas utilizando técnicas numéricas junto con diferentes aproximaciones de balance armónico ,y 4) La comparación de resultados numéricos entre la formulación propuesta y el programa más completo y preciso de continuación de soluciones periódicas hasta el presente, el conocido código AUTO.

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