Cette thèse porte sur la modélisation de l’écoulement et du transport en milieu poreux ;nous effectuons des simulations numériques et démontrons des résultats de convergence d’algorithmes.Au Chapitre 1, nous appliquons des méthodes de volumes finis pour la simulation d’écoulements à densité variable en milieu poreux ; il vient à résoudre une équation de convection diffusion parabolique pour la concentration couplée à une équation elliptique en pression.Nous nous appuyons sur la méthode des volumes finis standard pour le calcul des solutions de deux problèmes spécifiques : une interface en rotation entre eau salée et eau douce et le problème de Henry. Nous appliquons ensuite la méthode de volumes finis généralisés SUSHI pour la simulation des mêmes problèmes ainsi que celle d’un problème de bassin salé en dimension trois d’espace. Nous nous appuyons sur des maillages adaptatifs, basés sur des éléments de volume carrés ou cubiques.Au Chapitre 2, nous nous appuyons de nouveau sur la méthode de volumes finis généralisés SUSHI pour la discrétisation de l’équation de Richards, une équation elliptique parabolique pour le calcul d’écoulements en milieu poreux. Le terme de diffusion peut être anisotrope et hétérogène. Cette classe de méthodes localement conservatrices s’applique àune grande variété de mailles polyédriques non structurées qui peuvent ne pas se raccorder.La discrétisation en temps est totalement implicite. Nous obtenons un résultat de convergence basé sur des estimations a priori et sur l’application du théorème de compacité de Fréchet-Kolmogorov. Nous présentons aussi des tests numériques.Au Chapitre 3, nous discrétisons le problème de Signorini par un schéma de type gradient,qui s’écrit à l’aide d’une formulation variationnelle discrète et est basé sur des approximations indépendantes des fonctions et des gradients. On montre l’existence et l’unicité de la solution discrète ainsi que sa convergence vers la solution faible du problème continu. Nous présentons ensuite un schéma numérique basé sur la méthode SUSHI.Au Chapitre 4, nous appliquons un schéma semi-implicite en temps combiné avec la méthode SUSHI pour la résolution numérique d’un problème d’écoulements à densité variable ;il s’agit de résoudre des équations paraboliques de convection-diffusion pour la densité de soluté et le transport de la température ainsi que pour la pression. Nous simulons l’avance d’un front d’eau douce assez chaude et le transport de chaleur dans un aquifère captif qui est initialement chargé d’eau froide salée. Nous utilisons des maillages adaptatifs, basés sur des éléments de volume carrés. / This thesis bears on the modelling of groundwater flow and transport in porous media; we perform numerical simulations by means of finite volume methods and prove convergence results. In Chapter 1, we first apply a semi-implicit standard finite volume method and then the generalized finite volume method SUSHI for the numerical simulation of density driven flows in porous media; we solve a nonlinear convection-diffusion parabolic equation for the concentration coupled with an elliptic equation for the pressure. We apply the standard finite volume method to compute the solutions of a problem involving a rotating interface between salt and fresh water and of Henry's problem. We then apply the SUSHI scheme to the same problems as well as to a three dimensional saltpool problem. We use adaptive meshes, based upon square volume elements in space dimension two and cubic volume elements in space dimension three. In Chapter 2, we apply the generalized finite volume method SUSHI to the discretization of Richards equation, an elliptic-parabolic equation modeling groundwater flow, where the diffusion term can be anisotropic and heterogeneous. This class of locally conservative methods can be applied to a wide range of unstructured possibly non-matching polyhedral meshes in arbitrary space dimension. As is needed for Richards equation, the time discretization is fully implicit. We obtain a convergence result based upon a priori estimates and the application of the Fréchet-Kolmogorov compactness theorem. We implement the scheme and present numerical tests. In Chapter 3, we study a gradient scheme for the Signorini problem. Gradient schemes are nonconforming methods written in discrete variational formulation which are based on independent approximations of the functions and the gradients. We prove the existence and uniqueness of the discrete solution as well as its convergence to the weak solution of the Signorini problem. Finally we introduce a numerical scheme based upon the SUSHI discretization and present numerical results. In Chapter 4, we apply a semi-implicit scheme in time together with a generalized finite volume method for the numerical solution of density driven flows in porous media; it comes to solve nonlinear convection-diffusion parabolic equations for the solute and temperature transport as well as for the pressure. We compute the solutions for a specific problem which describes the advance of a warm fresh water front coupled to heat transfer in a confined aquifer which is initially charged with cold salt water. We use adaptive meshes, based upon square volume elements in space dimension two.

Dans cette thèse, tout d’abord, nous faisons l’Analyse Mathématique du modèle exact du chauffage radiatif d’un corps semi-transparent $\Omega$ par une source radiative noire qui l’entoure. Il s’agit donc d’étudier le couplage d’un système d’Equations de Transfert Radiatif avec condition au bord de réflectivité indépendantes avec une équation de conduction de la chaleur non linéaire avec condition limite non linéaire de type Robin. Nous prouvons l’existence et l’unicité de la solution et nous démontrons des bornes uniformes sur la solution et les intensités radiatives dans chaque bande de longueurs d’ondes pour laquelle le corps est semi-transparent, en fonction de bornes sur les données, Deuxièmement, nous considérons le problème du contrôle optimal de la température absolue à l’intérieur du corps semi-transparent $\Omega$ en agissant sur la température absolue de la source radiative noire qui l’entoure. À cet égard, nous introduisons la fonctionnelle coût appropriée et l’ensemble des contrôles admissibles $T_{S}$, pour lesquels nous prouvons l’existence de contrôles optimaux. En introduisant l’espace des états et l’équation d’état, une condition nécessaire de premier ordre pour qu’un contrôle $T_{S}$ : t ! $T_{S}$ (t) soit optimal, est alors dérivée sous la forme d’une inéquation variationnelle en utilisant le théorème des fonctions implicites et le problème adjoint. Ensuite, nous considérons le problème de l’existence et de l’unicité d’une solution faible des équations de la thermoviscoélasticité dans une formulation mixte de type Hellinger- Reissner, la nouveauté par rapport au travail de M.E. Rognes et R. Winther (M3AS, 2010) étant ici l’apparition de la viscosité dans certains coefficients de l’équation constitutive, viscosité qui dépend dans ce contexte de la température absolue T(x, t) et donc en particulier du temps t. Enfin, nous considérons dans ce cadre le problème du contrôle optimal de la déformation du corps semi-transparent $\Omega$, en agissant sur la température absolue de la source radiative noire qui l’entoure. Nous prouvons l’existence d’un contrôle optimal et nous calculons la dérivée Fréchet de la fonctionnelle coût réduite. / This thesis begins with a rigorous mathematical analysis of the radiative heating of a semi-transparent body made of glass, by a black radiative source surrounding it. This requires the study of the coupling between quasi-steady radiative transfer boundary value problems with nonhomogeneous reflectivity boundary conditions (one for each wavelength band in the semi-transparent electromagnetic spectrum of the glass) and a nonlinear heat conduction evolution equation with a nonlinear Robin boundary condition which takes into account those wavelengths for which the glass behaves like an opaque body. We prove existence and uniqueness of the solution, and give also uniform bounds on the solution i.e. on the absolute temperature distribution inside the body and on the radiative intensities. Now, we consider the temperature $T_{S}$ of the black radiative source S surrounding the semi-transparent body $\Omega$ as the control variable. We adjust the absolute temperature distribution (x, t) 7! T(x, t) inside the semi-transparent body near a desired temperature distribution Td(·, ·) during the time interval of radiative heating ]0, tf [ by acting on $T_{S}$. In this respect, we introduce the appropriate cost functional and the set of admissible controls $T_{S}$, for which we prove the existence of optimal controls. Introducing the State Space and the State Equation, a first order necessary condition for a control $T_{S}$ : t 7! $T_{S}$ (t) to be optimal is then derived in the form of a Variational Inequality by using the Implicit Function Theorem and the adjoint problem. We come now to the goal problem which is the deformation of the semi-transparent body $\Omega$ by heating it with a black radiative source surrounding it. We introduce a weak mixed formulation of this thermoviscoelasticity problem and study the existence and uniqueness of its solution, the novelty here with respect to the work of M.E. Rognes et R. Winther (M3AS, 2010) being the apparition of the viscosity in some of the coefficients of the constitutive equation, viscosity which depends on the absolute temperature T(x, t) and thus in particular on the time t. Finally, we state in this setting the related optimal control problem of the deformation of the semi-transparent body $\Omega$, by acting on the absolute temperature of the black radiative source surrounding it. We prove the existence of an optimal control and we compute the Fréchet derivative of the associated reduced cost functional.

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Cette thèse concerne l’existence et la régularité de solutions d’équations non-linéaires elliptiques, d’équations paraboliques et d’équations de Hesse avec mesures, et les critères de l’existence de solutions grandes d’équations elliptiques et paraboliques non-linéaires. / This thesis is concerned to the existence and regularity of solutions to nonlinear elliptic, parabolic and Hessian equations with measure, and criteria for the existence of large solutions to some nonlinear elliptic and parabolic equations.