Orientador: Marcelo Martins dos Santos / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-23T21:53:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Santos_RonaldoAntoniodos_D.pdf: 739129 bytes, checksum: f677894f21ef1223fced35636869835d (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: Neste trabalho provamos a existência de solução global para um sistema não linear constituído de duas equações parabólicas acopladas a duas equações diferenciais ordinárias. Tal sistema modela um processo de combustão em um meio poroso com duas camadas, em que os efeitos de compressibilidade são desprezados, mas a troca de calor entre as camadas, bem como a propagação de calor por convecção são levadas em conta. Supondo que os dados iniciais são lipschitzianos, limitados e pertencentes a algum espaço , 1 < < ?, obtivemos solução clássica para o problema / Abstract: In this work we prove the existence of a global solution for a nonlinear system consisting of two parabolic equations coupled to two ordinary differential equations. Such a system models a combustion process in a porous medium with two layers in which compressibility effects are neglected, but heat transfer between the layers as well as heat conduction are taken into a account. We obtained a classical solution under the assumptions that the initial data is bounded, Lipschitz and belongs to some space, with 1 < < ? / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Cette thèse traite de deux sujets: la résolubilité forte d'équations différentielles stochastiques à dérive hölderienne et bruit hypoelliptique et la simulation de processus progressifs-rétrogrades découplés de McKean-Vlasov. Dans le premier cas, on montre qu'un système hypoelliptique, composé d'une composante diffusive et d'une composante totalement dégénérée, est fortement résoluble lorsque l'exposant de la régularité Hölder de la dérive par rapport à la composante dégénérée est strictement supérieur à 2/3. Ce travail étend au cadre dégénéré les travaux antérieurs de Zvonkin (1974), Veretennikov (1980) et Krylov et Röckner (2005). L'apparition d'un seuil critique pour l'exposant peut-être vue comme le prix à payer pour la dégénérescence. La preuve repose sur des résultats de régularité de la solution de l'EDP associée, qui est dégénérée, et est basée sur une méthode parametrix. Dans le second cas, on propose un algorithme basé sur les méthodes de cubature pour la simulation de processus progessifs-rétrogrades découplés de McKean-Vlasov apparaissant dans des problèmes de contrôle dans un environnement de type champ moyen. Cet algorithme se divise en deux parties. Une première étape de construction d'un arbre de particules, à dynamique déterministe, approchant la loi de la composante progressive. Cet arbre peut être paramétré de manière à obtenir n'importe quel ordre d'approximation (en terme de pas de discrétisation de l'intervalle). Une seconde étape, conditionnelle à l'arbre, permettant l'approximation de la composante rétrograde. Deux schémas explicites sont proposés permettant un ordre d'approximation de 1 et 2. / This thesis deals with two subjects: the strong well-posedness of stochastic differential equations with Hölder drift and hypoelliptic noise and the simulation of decoupled forward backward stochastic differential equations of McKean-Vlasov type. In the first work, we study a class of degenerate system with hypoelliptic noise. We prove that strong well-posedness holds for this system when the drift is only H\"{o}lder, with Hölder exponent larger than the critical value 2/3. This work extends to the degenerate setting the earlier results obtained by Zvonkin (1974), Veretennikov (1980) and Krylov and Röckner (2005). The existence of a threshold for the Hölder exponent in the degenerate case may be understood as the price to pay to balance the degeneracy of the noise. Our proof relies on regularization properties of the associated PDE, which is degenerate in the current framework and is based on a parametrix method. In the second work, we propose a new algorithm to approach weakly the solution of a McKean-Vlasov stochastic differential equation. Based on the cubature method, the algorithm is deterministic differing from the usual methods based on interacting particles. It can be parametrized in order to obtain a given order of convergence. Then, we construct implementable algorithms to solve decoupled forward backward stochastic differential equations of McKean-Vlasov type, which appear in some stochastic control problems in a mean field environment. We give two algorithms and show that they have convergence of orders one and two under appropriate regularity conditions.

Cette thèse traite de deux sujets: la résolubilité forte d'équations différentielles stochastiques à dérive hölderienne et bruit hypoelliptique et la simulation de processus progressifs-rétrogrades découplés de McKean-Vlasov. Dans le premier cas, on montre qu'un système hypoelliptique, composé d'une composante diffusive et d'une composante totalement dégénérée, est fortement résoluble lorsque l'exposant de la régularité Hölder de la dérive par rapport à la composante dégénérée est strictement supérieur à 2/3. Ce travail étend au cadre dégénéré les travaux antérieurs de Zvonkin (1974), Veretennikov (1980) et Krylov et Röckner (2005). L'apparition d'un seuil critique pour l'exposant peut-être vue comme le prix à payer pour la dégénérescence. La preuve repose sur des résultats de régularité de la solution de l'EDP associée, qui est dégénérée, et est basée sur une méthode parametrix. Dans le second cas, on propose un algorithme basé sur les méthodes de cubature pour la simulation de processus progessifs-rétrogrades découplés de McKean-Vlasov apparaissant dans des problèmes de contrôle dans un environnement de type champ moyen. Cet algorithme se divise en deux parties. Une première étape de construction d'un arbre de particules, à dynamique déterministe, approchant la loi de la composante progressive. Cet arbre peut être paramétré de manière à obtenir n'importe quel ordre d'approximation (en terme de pas de discrétisation de l'intervalle). Une seconde étape, conditionnelle à l'arbre, permettant l'approximation de la composante rétrograde. Deux schémas explicites sont proposés permettant un ordre d'approximation de 1 et 2.

Cette thèse traite de deux sujets: la résolubilité forte d'équations différentielles stochastiques à dérive hölderienne et bruit hypoelliptique et la simulation de processus progressifs-rétrogrades découplés de McKean-Vlasov. Dans le premier cas, on montre qu'un système hypoelliptique, composé d'une composante diffusive et d'une composante totalement dégénérée, est fortement résoluble lorsque l'exposant de la régularité Hölder de la dérive par rapport à la composante dégénérée est strictement supérieur à 2/3. Ce travail étend au cadre dégénéré les travaux antérieurs de Zvonkin (1974), Veretennikov (1980) et Krylov et Röckner (2005). L'apparition d'un seuil critique pour l'exposant peut-être vue comme le prix à payer pour la dégénérescence. La preuve repose sur des résultats de régularité de la solution de l'EDP associée, qui est dégénérée, et est basée sur une méthode parametrix. Dans le second cas, on propose un algorithme basé sur les méthodes de cubature pour la simulation de processus progessifs-rétrogrades découplés de McKean-Vlasov apparaissant dans des problèmes de contrôle dans un environnement de type champ moyen. Cet algorithme se divise en deux parties. Une première étape de construction d'un arbre de particules, à dynamique déterministe, approchant la loi de la composante progressive. Cet arbre peut être paramétré de manière à obtenir n'importe quel ordre d'approximation (en terme de pas de discrétisation de l'intervalle). Une seconde étape, conditionnelle à l'arbre, permettant l'approximation de la composante rétrograde. Deux schémas explicites sont proposés permettant un ordre d'approximation de 1 et 2.

In this thesis, we present a new existence result for Lévy-type processes. Lévy-type processes behave locally like a Lévy process, but the Lévy triplet may depend on the current position of the process. They can be characterized by their so-called symbol; this is the analogue of the characteristic exponent in the Lévy case. Using a parametrix construction, we prove the existence of Lévy-type processes with a given symbol under weak regularity assumptions on the regularity of the symbol. Applications range from existence results for stable-like processes and mixed processes to uniqueness results for Lévy-driven stochastic differential equations. Moreover, we discuss sufficient conditions for the existence of moments of Lévy-type processes and derive estimates for fractional moments.

In this thesis, we present a new existence result for Lévy-type processes. Lévy-type processes behave locally like a Lévy process, but the Lévy triplet may depend on the current position of the process. They can be characterized by their so-called symbol; this is the analogue of the characteristic exponent in the Lévy case. Using a parametrix construction, we prove the existence of Lévy-type processes with a given symbol under weak regularity assumptions on the regularity of the symbol. Applications range from existence results for stable-like processes and mixed processes to uniqueness results for Lévy-driven stochastic differential equations. Moreover, we discuss sufficient conditions for the existence of moments of Lévy-type processes and derive estimates for fractional moments.

Cette thèse à pour objet l’étude des résonances du laplacien sur les variétés à pointes. Ce sont des variétés dont les bouts sont des pointes hyperboliques réelles. Ces objets ont été introduits par Selberg pour les surfaces à pointes de courbure constante dans les années 50. Leur définition a ensuite été étendue en courbure variable par Lax et Phillips. Les résonances sont les poles d’une famille méromorphe de fonctions propres généralisées du laplacien. Elles sont associées au spectre continu du laplacien. Pour analyser ce spectre continu, plusieurs directions de recherche sont explorées ici. D’une part, on obtient des résultats sur la localisation de ces résonances. En particulier, si la courbure est négative, on montre que pour un ensemble générique de métriques, les résonances se séparent en deux ensembles. Le premier est contenu dans une bande près du spectre continu. L’autre partie est composé de résonances qui s’éloignent du spectre. Ceci laisse une zone de taille log sans résonance.D’autre part, on étudie les mesures microlocales associées à certaines suites de paramètre spectraux. En particulier, on montre que pour des suites de paramètres spectraux qui s’approche du spectre, mais pas trop vite, la mesure microlocale associée est nécessairement la mesure de Liouville. Cette propriété est valable quand la courbure de la variété est négative. / In this thesis, we study the resonances of the Laplace operator on cusp manifolds. They are manifolds whose ends are real hyperbolic cusps. The resonances were introduced by Selberg in the 50's for the constant curvature cusp surfaces. Their definition was later extended to the case of variable curvature by Lax and Phillips. The resonances are the poles of a meromorphic family of generalized eigenfunctions of the Laplace operator. They are associated to the continuous spectrum of the Laplace operator. To analyze this continuous spectrum, different directions of research are investigated.On the one hand, we obtain results on the localization of resonances. In particular, if the curvature is negative, for a generic set of metrics, they split into two sets. The first one is included in a band near the spectrum. The other is composed of resonances that are far from the spectrum. This leaves a log zone without resonances. On the other hand, we study the microlocal measures associated to certain sequences of spectral parameters. In particular we show that for some sequences of parameters that converge to the spectrum, but not too fast, the associated microlocal measure has to be the Liouville measure. This property holds when the curvature is negative.

<p>We use common notation &lowast; for distribution (Scshwartz), (M_p) (Beurling) i {M_p} (Roumieu) setting. We introduce and study new (ultra) distribution spaces, the test function spaces&nbsp;<em>D^&lowast;_E</em>&nbsp; and their strong duals <em>D^{<span style="font-size: 10px;">&#39;</span>&lowast;}_E&rsquo;*</em>.These spaces generalize the spaces <em>D^&lowast;_L^q , D&#39;^&lowast;_L^p , B&rsquo;*</em>&nbsp;and their weighted versions. The construction of our new (ultra)distribution &nbsp;spaces is based on the analysis of a suitable translation-invariant Banach space of (ultra)distribution <em>E</em>&nbsp;with continuous translation group, which turns out to be a convolution module over the Beurling algebra&nbsp;<em>L¹_&omega;</em>, where the weight &nbsp;&omega; is related to the translation operators on <em>E</em>.&nbsp;The&nbsp;Banach space&nbsp;<em>E</em>^&rsquo;_&lowast;&nbsp;stands for&nbsp;<em>L¹_&omega;ˇ &lowast; E</em>&rsquo;.&nbsp;We apply our results to the study of the&nbsp;convolution of ultradistributions. The spaces of convolutors&nbsp;<em>O<span style="font-size: 12px;">&rsquo;^&lowast;</span><span style="font-size: 8.33333px;">C</span></em><span style="font-size: 12px;"><em>&nbsp;(</em><strong>R</strong><em>ⁿ)</em>&nbsp;</span>for tempered&nbsp;ultradistributions are analyzed via the duality with respect to the test function<br />spaces<span style="font-size: 12px;">&nbsp;<em>O^&lowast;_C (</em><strong>R</strong><em>ⁿ)</em>,&nbsp;</span>introduced in this thesis. Using the properties of translationinvariant<br />Banach space of ultradistributions <em>E</em> we obtain a full characterization of<br />the general convolution of Roumieu ultradistributions via the space of integrable<br />ultradistributions is obtained. We show: The convolution of two Roumieu ultradistributions&nbsp;<span style="font-size: 12px;"><em>T, S &isin; D&rsquo;^{Mp} (</em><strong>R</strong><em>ⁿ)&nbsp;</em> exists if and only if&nbsp;<em>(</em></span><em>&phi;</em><span style="font-size: 12px;"><em>&nbsp;&lowast; &Scaron;) T &isin; D^&rsquo;{Mp}_L¹(</em><strong>R</strong><em>ⁿ)</em>&nbsp; for every </span><em>&phi;</em><span style="font-size: 12px;"><em>&nbsp;&isin; D ^{Mp} (</em><strong>R</strong><em>ⁿ)</em>.&nbsp;</span>We study boundary values of holomorphic functions defined in tube domains. New edge of the wedge theorems are obtained. The results<br />are then applied to represent<span style="font-size: 12px;">&nbsp;<em>D&rsquo;_E&rsquo;*</em></span><span style="font-size: 12px;">&nbsp;&nbsp;</span>as a quotient space of holomorphic functions.<br />We also give representations of elements of<span style="font-size: 12px;">&nbsp;<em>D&rsquo;_E&rsquo;*</em></span><span style="font-size: 12px;">&nbsp;&nbsp;</span>via the heat kernel method.</p> / <p>Koristimo oznaku &lowast; za distribuciono (Svarcovo), (Mp) (Berlingovo) i&nbsp;{Mp} (Roumieuovo) okruženje. Uvodimo i prouavamo nove (ultra)distribucione&nbsp;prostore, &nbsp;test funkcijske prostore <em>D</em>^&lowast;_E i njihove duale <em>D^&#39;</em>^&lowast;_{<em>E&#39;*</em>}.&nbsp;&nbsp;Ovi prostori uop&scaron;tavaju&nbsp;<br />prostore <em>D</em>^&lowast;_Lq , <em>D</em>^{&#39;&lowast;}_Lp , <em>B^&#39;</em>^&lowast; i njihove težinske verzije. Konstrukcija na&scaron;ih novih&nbsp;<br />(ultra)distribucionih prostora je zasnovana na analizi odgovarajuićh translaciono&nbsp;<br />- invarijantnih Banahovih prostora (ultra)distribucija koje označavamo sa&nbsp;<em>E</em>. Ovi prostori imaju neprekidnu grupu translacija, koja je konvolucioni modul&nbsp;nad &nbsp;Beurlingovom algebrom L¹_&omega;, gde je težina &omega; povezana sa operatorima translacije&nbsp;<br />prostora <em>E</em>. Banahov prostor <em>E^&#39;</em>_{&lowast;&nbsp;}označava prostor <em>L</em>¹_&omega;˅ &lowast; <em>E^&#39;</em>. Koristeći dobijene&nbsp;<br />rezultata proučavamo konvoluciju ultradistribucija. Prostori konvolutora &nbsp;<em>O^&#39;</em>^&lowast;_{<em>C&nbsp;</em>}(<strong>R</strong>ⁿ)&nbsp;temperiranih ultradistribucija, analizirani su pomoću dualnosti&nbsp;<br />test funkcijskih prostora <em>O</em>^&lowast;_<em>C</em> (<strong>R</strong>ⁿ), definisanih u ovoj tezi. Koristeći svojstva&nbsp;<br />translaciono - invarijantnih Banahovih prostora temperiranih ultradistribucija,&nbsp;<br />opet označenih sa <em>E</em>, dobijamo karakterizaciju konvolucije Romuieu-ovih &nbsp;ultradistribucija,&nbsp;preko integrabilnih ultradistribucija. Dokazujemo da: konvolucija&nbsp;<br />dve Roumieu-ove ultradistribucija <em>T</em>, <em>S</em> &isin; <em>D^&#39;</em>^{Mp}&nbsp;(<strong>R</strong>ⁿ) postoji ako i samo ako (&phi; &lowast; <em>S</em>ˇ)<em>T</em> &isin; <em>D^&#39;</em>^{Mp}&nbsp;_L¹ (<strong>R</strong>ⁿ) za svaki &phi; &isin; <em>D</em>^{Mp}(<strong>R</strong>ⁿ). Takođe, proučavamo granične vrednosti holomorfnih funkcija definisanih na tubama. Dokazane su nove teoreme &rdquo;otrog klina&rdquo;. Rezultati se zatim koriste za prezentaciju <em>D^&#39;_E^&#39;</em>_{&lowast;&nbsp;}preko faktor prostora holomorfnih funkcija. Takođe, data je prezentacija elemente <em>D</em>^&#39;_{<em>E^&#39;</em>&lowast;&nbsp;}koristeći heat kernel metode.</p>