L'objectif de cette thèse est de traiter trois problèmes relatifs aux réseaux de grande taille. Les outils utilisés à cette fin sont issus des probabilités et plus spécifiquement de la théorie des files d'attente. En plus d'améliorer la compréhension des systèmes étudiés, les travaux réalisés dans cette thèse ont permis de prouver des résultats théoriques nouveaux ainsi que d'illustrer certains phénomènes probabilistes. Dans le Chapitre II, un modèle de réseau à partage de bande passante est étudié. Contrairement à ce qui avait été étudié dans la littérature, les utilisateurs n'utilisent pas de contrôle de congestion. On suppose qu'ils envoient des données avec un débit maximum et protègent leur transmission à l'aide d'un mécanisme basé sur des codes correcteurs d'erreur. Le modèle obtenu est analysé pour deux topologies de réseaux spécifiques : les réseaux linéaires et les arbres montants. A l'aide de limites fluides, les conditions de stabilité de ces réseaux sont établies. Ces limites fluides donnent lieu à un phénomène intéressant de moyennage stochastique. Ensuite, une autre méthode de renormalisation est utilisée pour prouver que la région de stabilité de ces processus converge vers la région optimale lorsque que les débits maximaux des utilisateurs deviennent infiniment petits par rapport à la taille des liens du réseau. Dans le Chapitre III, on se propose d'étudier CSMA/CA, un algorithme d'accès implémenté dans certains standards de réseaux sans fil. Chaque lien est constitué d'un émetteur et d'un récepteur et un graphe d'interférence modélise les collisions potentielles entre les liens. Les arrivées et les départs de ces derniers sont prises en compte. Une approximation est faite en supposant que la dynamique d'accès au canal est infiniment plus rapide que la dynamique des arrivées et départs de liens. Il est alors établi que le CSMA permet une utilisation optimale des ressources radio dans le cadre des réseaux ad-hoc. Cependant, il est également prouvé que ce même algorithme n'est pas efficace pour les réseaux avec une station de base ; dans ce cas, un biais en faveur des transmissions vers la station de base est observé. A la fin du chapitre, l'hypothèse simplificatrice est discutée. Les deux derniers chapitres de la thèse sont consacrés à l'étude d'un grand système distribué de stockage de données avec pertes. L'objectif est d'estimer la vitesse de perte des fichiers ou la durée de vie d'un fichier donné. Dans le Chapitre IV, c'est le premier point de vue qui est adopté. Le système est considéré de manière globale. Le système est constitué d'un grand nombre de fichiers qui peuvent avoir chacun deux copies au maximum. Chaque copie disparaît au bout d'un temps aléatoire. Un mécanisme centralisé de sauvegarde permet alors de restaurer les copies perdues. Un fichier dont les deux copies ont été détruites est définitivement perdu. Le système est étudié dans le cas limite où le nombre de fichiers tend vers l'infini. Afin de décrire correctement le système, trois échelles de temps différentes sont étudiées. Ralentir le temps permet de comprendre le mécanisme de sauvegarde ; laisser le temps inchangé permet de définir la capacité du système ; accélérer le temps permet d'évaluer la vitesse de perte des fichiers. Le principe de moyennage stochastique est également observé à l'échelle de temps la plus rapide. Dans le chapitre V, le point de vue d'un fichier donné est adopté. Des liens sont établis avec les modèles classiques d'Ehrenfest, issu de la physique statistique, et d'Erlang, issu des télécommunications. Des méthodes basées sur les martingales sont utilisées pour calculer la transformée de Laplace des temps d'atteinte de ces deux processus. Ces transformées permettent alors d'estimer le comportement asymptotique de ces temps d'atteinte et notamment le temps de disparition d'un fichier.

La popularité croissante des applications Internet très gourmandes en bande passante (P2P, streaming,...) nous pousse à considérer le problème suivant :Comment construire des systèmes de communications collectives efficaces sur une plateforme à grande échelle ? Le développement de schéma de communications collectives dans le cadre d'un réseau distribué à grande échelle est une tâche difficile, qui a été largement étudiée et dont de multiples solutions ont été proposées. Toutefois, une nouvelle approche globale et systématique est nécessaire, une approche qui combine des modèles de réseaux et la conception algorithmique.Dans ce mémoire nous proposons l'utilisation de modèles capables de capturer le comportement d'un réseau réel et suffisamment simples pour que leurs propriétés mathématiques puissentêtre étudiées et pour qu'il soit possible de créer des algorithmesoptimaux. Premièrement, nous considérons le problème d'évaluation de la bande passante disponible pour une connexion point-à-point donnée. Nousétudions la façon d'obtenir des jeux de données de bande passante, utilisant plateforme PlanetLab. Nous présentons aussi nos propres jeux de données, jeux obtenus avec bedibe, un logiciel que nous avons développé. Ces données sont nécessaires pour évaluer les performances des différents algorithmesde réseau. Bien qu'on trouve de nombreux jeux de données de latence,les jeux de données de bande passante sont très rares. Nous présentons ensuite un modèle, appelé LastMile, qui estime la bande passante. En profitant des jeux de données décrits précédemment, nous montrons que cet algorithme est capable de prédire la bande passante entre deux noeuds donnés avec une précision comparable au meilleur algorithme connu de prédiction (DMF). De plus le modèle LastMile s'étend naturellement aux prédictions dans le scénario de congestion (plusieurs connexions partageant un même lien). Nous sommes effectivement en mesure de démontrer, à l'aide des ensembles de données PlanetLab, que la prédiction LastMile est préférable dans des tels scénarios.Dans le troisième chapitre, nous proposons des nouveaux algorithmes pour résoudre le problème de diffusion. Nous supposons que le réseau est modélisé par le modèle LastMile. Nous montrons que, sous cette hypothèse, nous sommes en mesure de fournir des algorithmes avec des ratios d'approximation élevés. De plus nous étendons le modèle LastMile, de manière à y intégrer des artéfacts de connectivité, dans notre cas ce sont des firewalls qui empêchent certains nœuds de communiquer directement entre eux. Dans ce dernier cas, nous sommes également en mesure de fournir des algorithmes d'approximation avec des garanties de performances prouvables. Les chapitres 1 à 3 forment les trois étapes accomplies de notre programme qui visent trois buts. Premièrement, développer à partir dezéro un modèle de réseau de communication. Deuxièmement, prouver expérimentalement sa performance. Troisièmement, montrer qu'il peut être utilisé pour développer des algorithmes qui résolvent les problèmes de communications collectives. Dans le 4e chapitre, nous montrons comment on peut concevoir dessystèmes de communication efficaces, selon différents modèles decoûts, en utilisant des techniques combinatoires,tout en utilisant des hypothèses simplificatrices sur la structure duréseau et les requêtes. Ce travail est complémentaire au chapitre précédent puisque auparavant, nous avons adopté l'hypothèse que les connectionsétaient autonomes (i.e. nous n'avons aucun contrôle sur le routage des connexions simples). Dans le chapitre 4, nous montrons comment résoudre le problème du routage économe en énergie, étant donnée une topologie fixée. / The increasing popularity of Internet bandwidth-intensive applications prompts us to consider followingproblem: How to compute efficient collective communication schemes on large-scale platform?The issue of designing a collective communication in the context of a large scale distributed networkis a difficult and a multi-level problem. A lot of solutions have been extensively studied andproposed. But a new, comprehensive and systematic approach is required, that combines networkmodels and algorithmic design of solutions.In this work we advocate the use of models that are able to capture real-life network behavior,but also are simple enough that a mathematical analysis of their properties and the design of optimalalgorithms is achievable.First, we consider the problem of the measuring available bandwidth for a given point-topointconnection. We discuss how to obtain reliable datasets of bandwidth measurements usingPlanetLab platform, and we provide our own datasets together with the distributed software usedto obtain it. While those datasets are not a part of our model per se, they are necessary whenevaluating the performance of various network algorithms. Such datasets are common for latencyrelatedproblems, but very rare when dealing with bandwidth-related ones.Then, we advocate for a model that tries to accurately capture the capabilities of a network,named LastMile model. This model assumes that essentially the congestion happens at the edgesconnecting machines to the wide Internet. It has a natural consequence in a bandwidth predictionalgorithm based on this model. Using datasets described earlier, we prove that this algorithm is ableto predict with an accuracy comparable to best known network prediction algorithm (DistributedMatrix Factorization) available bandwidth between two given nodes. While we were unable toimprove upon DMF algorithm in the field of point-to-point prediction, we show that our algorithmhas a clear advantage coming from its simplicity, i.e. it naturally extends to the network predictionsunder congestion scenario (multiple connections sharing a bandwidth over a single link). We areactually able to show, using PlanetLab datasets, that LastMile prediction is better in such scenarios.In the third chapter, we propose new algorithms for solving the large scale broadcast problem.We assume that the network is modeled by the LastMile model. We show that under thisassumption, we are able to provide algorithms with provable, strong approximation ratios. Takingadvantage of the simplicity and elasticity of the model, we can even extend it, so that it captures theidea of connectivity artifacts, in our case firewalls preventing some nodes to communicate directlybetween each other. In the extended case we are also able to provide approximation algorithmswith provable performance.The chapters 1 to 3 form three successful steps of our program to develop from scratch amathematical network communication model, prove it experimentally, and show that it can beapplied to develop algorithms solving hard problems related to design of communication schemesin networks.In the chapter 4 we show how under different network cost models, using some simplifyingassumptions on the structure of network and queries, one can design very efficient communicationschemes using simple combinatorial techniques. This work is complementary to the previous chapter in the sense that previously when designing communication schemes, we assumed atomicityof connections, i.e. that we have no control over routing of simple connections. In chapter 4 weshow how to solve the problem of an efficient routing of network request, given that we know thetopology of the network. It shows the importance of instantiating the parameters and the structureof the network in the context of designing efficient communication schemes.

Nous étudions des modèles mathématiques issus de la théorie des files d’attente pour évaluer et optimiser les performances des mécanismes de partage de ressources entre flots dans les réseaux. Dans une première partie, nous proposons des approximations simples et explicites des principales métriques de performance des flots élastiques dans les réseaux à partage de bande passante opérant sous le mode ”équité équilibré”. Nous étudions ensuite le partage de bande passante entre flux élastiques et flux de streaming en supposant que le nombre de ces derniers est limité par un mécanisme de contrôle d’admission et proposons des approximations de performance basées sur une hypothèse de quasi stationnarité. Les résultats de simulation montrent le bon niveau de précision des approximations proposées.Dans une deuxième partie, nous étudions le compromis entre délai et énergie dans les réseaux à partage de bande passante dont les noeuds peuvent réguler leur vitesse en fonction de la charge du système. En supposant que le réseau est initialement dans un état de congestion, on s’intéresse à la politique optimale d’allocation de débit permettant de le vider à coût minimal. L’analyse de la politique stochastique optimale via la théorie des processus de décision markoviens étant extrêmement difficile, nous proposons de l’approximer en utilisant un modèle fluide déterministe qui peut être résolu grâce à des techniques de contrôle optimal. Pour le cas d’un seul lien partagé par plusieurs classes de trafic, on montre que la politique optimale correspond à la règle cμ et on propose une expression explicite de la vitesse optimale. Enfin, dans une troisième partie, on s’intéresse aux plateformes de Cloud Computing dans le cadre du modèle SaaS. En supposant un partage équitable des ressources physiques entre machines virtuelles s’exécutant de manière concurrente, nous proposons des modèles de file d’attente simples pour prédire les temps de réponse des applications. Les modèles proposés prennent explicitement en compte le comportement des différentes classes d’application (tâches interactives, de calcul ou permanentes). Les expérimentations menées sur une plateforme réelle montrent que les modèles mathématiques obtenus permettent de prédire les temps de réponse avec une bonne précision. / We study queueing-theoretic models for the performance evaluation and optimization of bandwidth-sharing networks. We first propose simple and explicit approximations for the main performance metrics of elastic flows in bandwidth-sharing networks operating under balanced fairness. Assuming that an admission control mechanism is used to limit the number of simultaneous streaming flows, we then study the competition for bandwidth between elastic and streaming flows and propose performance approximations based on a quasi-stationary assumption. Simulation results show the good accuracy of the proposed approximations. We then investigate the energy-delay tradeoff in bandwidth-sharing networks in which nodes can regulate their speed according to the load of the system. Assuming that the network is initially congested, we investigate the rate allocation to the classes that drains out the network with minimum total energy and delay cost. We formulate this optimal resource allocation problem as a Markov decision process which proves tobe both analytically and computationally challenging. We thus propose to solve this stochastic problem using a deterministic fluid approximation. For a single link sharedby an arbitrary number of classes, we show that the optimal-fluid solution follows thewell-known cμ rule and give an explicit expression for the optimal speed. Finally, we consider cloud computing platforms under the SaaS model. Assuming a fair share of the capacity of physical resources between virtual machines executed concurrently, we propose simple queueing models for predicting response times of applications.The proposed models explicitly take into account the different behaviors of the different classes of applications (interactive, CPU-intensive or permanent applications). Experiments on a real virtualized platform show that the mathematical models allow to predict response times accurately

Les travaux menés dans cette thèse concernent les problèmes d'ordonnancement sur des plates-formes de calcul dynamiques et hétérogènes et s'appuient sur le modèle de communication "multi-port" pour les communications. Nous avons considéré le problème de l'ordonnancement des tâches indépendantes sur des plates-formes maîtres-esclaves, dans les contextes statique et dynamique. Nous nous sommes également intéressé au problème de la redistribution de fichiers répliqués dans le cadre de l'équilibrage de charge. Enfin, nous avons étudié l'importance des mécanismes de partage de bande passante pour obtenir une meilleure efficacité du système. / The results presented in this document deal with scheduling problems on dynamic and heterogeneous computing platforms under the "multiport" model for the communications. We have considered the problem of scheduling independent tasks on master-slave platforms, in both offline and online contexts. We have also proposed algorithms for replicated files redistribution to achieve load balancing. Finally, we have studied the importance of bandwidth sharing mechanisms to achieve better efficiency.