Neste trabalho temos como objetivo principal apresentar algumas congruências relacionadas ao número de partições de um inteiro seguindo algumas restrições. Serão três tipos de partições consideradas. Primeiramente tomam-se partições m-árias, ou seja, cujas partes são potências de m, com m inteiro. Com partições binárias, apesar de serem um caso particular das m-árias com m = 2, diferentes resultados serão apresentados. Por último, as partições em que as partes pares são distintas. No desenvolver desta dissertação, usaremos resultados como o do Produto Triplo de Jacobi e a fórmula 1ψ1 de Ramanujan. / In this work we intend to show some congruences related to the number of partiti- ons of a integer, subject to some restrictions. We consider three types of partitions. At first, we will take m-ary partitions, it means that whose parts are power of m, where m is integer. About binary partitions, despite the fact they are a specific case from m-ary partitions, different theorems will be shown. The last one, partitions whose parts are distinct. In the development of this dissertation, we are going to use known results such as the Jacobi’s Triple Product and the Ramanujan’s 1ψ1 formula.

Neste trabalho temos como objetivo principal apresentar algumas congruências relacionadas ao número de partições de um inteiro seguindo algumas restrições. Serão três tipos de partições consideradas. Primeiramente tomam-se partições m-árias, ou seja, cujas partes são potências de m, com m inteiro. Com partições binárias, apesar de serem um caso particular das m-árias com m = 2, diferentes resultados serão apresentados. Por último, as partições em que as partes pares são distintas. No desenvolver desta dissertação, usaremos resultados como o do Produto Triplo de Jacobi e a fórmula 1ψ1 de Ramanujan. / In this work we intend to show some congruences related to the number of partiti- ons of a integer, subject to some restrictions. We consider three types of partitions. At first, we will take m-ary partitions, it means that whose parts are power of m, where m is integer. About binary partitions, despite the fact they are a specific case from m-ary partitions, different theorems will be shown. The last one, partitions whose parts are distinct. In the development of this dissertation, we are going to use known results such as the Jacobi’s Triple Product and the Ramanujan’s 1ψ1 formula.

Neste trabalho temos como objetivo principal apresentar algumas congruências relacionadas ao número de partições de um inteiro seguindo algumas restrições. Serão três tipos de partições consideradas. Primeiramente tomam-se partições m-árias, ou seja, cujas partes são potências de m, com m inteiro. Com partições binárias, apesar de serem um caso particular das m-árias com m = 2, diferentes resultados serão apresentados. Por último, as partições em que as partes pares são distintas. No desenvolver desta dissertação, usaremos resultados como o do Produto Triplo de Jacobi e a fórmula 1ψ1 de Ramanujan. / In this work we intend to show some congruences related to the number of partiti- ons of a integer, subject to some restrictions. We consider three types of partitions. At first, we will take m-ary partitions, it means that whose parts are power of m, where m is integer. About binary partitions, despite the fact they are a specific case from m-ary partitions, different theorems will be shown. The last one, partitions whose parts are distinct. In the development of this dissertation, we are going to use known results such as the Jacobi’s Triple Product and the Ramanujan’s 1ψ1 formula.

Neste trabalho, apresentamos as partições de Frobenius generalizadas coloridas com k cores, uma classe de partições de inteiros definida por George Andrews. Mais especificamente, apresentamos uma expressão para a função geradora para esse tipo de partições e, em alguns casos particulares, uma expressão em termos das funções é de Ramanujan. Nosso objetivo principal é apresentar alguns resultados recentes a respeito de congruências nos coeficientes da função geradora. / In this work, we present the generalized Frobenius partitions colored with k colors, a class of integer partitions de ned by George Andrews. More speci cally, we present an expression for the generating function for this kind of partitions and, in some particular cases, an expression in therms of Ramanujan's ' and functions. Our main goal is to present some recent results about congruences in the generating function.

Neste trabalho, apresentamos as partições de Frobenius generalizadas coloridas com k cores, uma classe de partições de inteiros definida por George Andrews. Mais especificamente, apresentamos uma expressão para a função geradora para esse tipo de partições e, em alguns casos particulares, uma expressão em termos das funções é de Ramanujan. Nosso objetivo principal é apresentar alguns resultados recentes a respeito de congruências nos coeficientes da função geradora. / In this work, we present the generalized Frobenius partitions colored with k colors, a class of integer partitions de ned by George Andrews. More speci cally, we present an expression for the generating function for this kind of partitions and, in some particular cases, an expression in therms of Ramanujan's ' and functions. Our main goal is to present some recent results about congruences in the generating function.

Orientador: Jose Plinio de Oliveira Santos / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-07-27T11:41:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Oliveira_SandraRegina_M.pdf: 6927434 bytes, checksum: f5f59829917e7c80df7d40e55666c0e4 (MD5) Previous issue date: 2001 / Resumo: Trata-se do estudo de uma importante identidade analítica que expressa uma soma infinita como um produto infinito, a qual é conhecida como "Identidade do Produto Triplo de Jacobi". São apresentadas várias provas dessa identidade, principalmente de natureza combinatória e diversas aplicações da mesma. destacando dentre elas, uma das provas mais simples dada ao Teorema dos Números Pentagonais de Euler, e a expressão das funções theta em termos de produtos infinitos. / Abstract: Not informed. / Mestrado / Mestre em Matemática

Neste trabalho, apresentamos as partições de Frobenius generalizadas coloridas com k cores, uma classe de partições de inteiros definida por George Andrews. Mais especificamente, apresentamos uma expressão para a função geradora para esse tipo de partições e, em alguns casos particulares, uma expressão em termos das funções é de Ramanujan. Nosso objetivo principal é apresentar alguns resultados recentes a respeito de congruências nos coeficientes da função geradora. / In this work, we present the generalized Frobenius partitions colored with k colors, a class of integer partitions de ned by George Andrews. More speci cally, we present an expression for the generating function for this kind of partitions and, in some particular cases, an expression in therms of Ramanujan's ' and functions. Our main goal is to present some recent results about congruences in the generating function.

Neste trabalho, consideramos o problema de calcular o reticulado de subcorpos de uma extensão separável e de grau nito k( )/k. Isto e, queremos encontrar todos os corpos L tais que k L k( ). Até recentemente, o algoritmo utilizado pela maioria dos Sistemas Algébricos Computacionais baseava-se em um problema combinatorial nas raízes do polinômio minimal f de sobre k. Em 2013, um algoritmo foi apresentado para encontrar tais subcorpos. Este método calcula um pequeno conjunto de subcorpos, chamados de subcorpos principais, com a propriedade de que todo subcorpo de k( )/k e a interseção de alguns destes subcorpos. Assim, calcular o reticulado de subcorpos e dividido em duas etapas: 1) Encontrar os subcorpos principais de k( )/k e 2) Calcular todas as interseções destes subcorpos. A primeira etapa pode ser feita em tempo polinomial. Entretanto, a segunda etapa não pode e assim, domina a complexidade do algoritmo. Nosso objetivo e melhorar a segunda etapa, tanto em teoria quanto na prática. Para isso, mostramos como rapidamente calcular todas as interseções entre os subcorpos principais. Embora a complexidade continue não sendo limitada polinomialmente (e também não poderia ser, pois o número total de subcorpos não o é), conseguimos melhorar a complexidade do algoritmo. Também notamos um melhoramento na prática, principalmente quando o número de subcorpos e grande. Além disso, estudamos dois casos especiais: corpos numéricos e o corpo das funções racionais. Para corpos numéricos (i.e., quando k = Q), também apresentamos um melhoramento para a primeira etapa. No segundo caso, os subcorpos da extensão k(t)=k(f(t)), definida por f(t) 2 k(t), nos fornecem decomposições da função racional f(t). Nosso algoritmo tem uma performance melhor que algoritmos anteriores para calcular as decomposições de funções racionais. / In this work, we consider the problem of computing the sub eld lattice of a separable and nite degree eld extension k( )/k. That is, we wish to nd all elds L such that k L k( ). Until recently, the algorithm used by most Computer Algebraic Systems relied on a combinatorial problem on the roots of the minimal polynomial f of over k, which can be a computationally expensive task. In 2013, another algorithm was presented to nd the sub eld lattice of k( )/k. This method computes a small set of sub elds, called principal sub elds, with the property that any other sub eld of k( )/k is the intersection of some of these principal sub elds. Thus, the problem of computing the sub eld lattice can be split into 2 steps: 1) Find the principal sub elds of k( )/k and 2) Compute all intersections of these sub elds. The rst step can be executed in polynomial time however, the second step can not and thus, dominates the algorithm complexity.Our main goal is to improve the second step, both theoretically and practically. More speci cally, we develop a method to quickly compute all intersections of principal sub elds. While the complexity is still not polynomially bounded (in fact, it can not be for the total number of sub elds is not polynomially bounded), this new method helps to improve the non-polynomial part of the complexity. Practical performance is also improved when the number of intersections is large. We also focus on two special cases: number elds and rational function elds. For the number eld case (i.e., when k = Q), we also present an improvement for the rst step. For the rational function eld case, computing the sub eld lattice of the extension K(t)=K(f(t)) de ned by f(t) 2 K(t) yields all decompositions of the rational function f(t). Our algorithm outperforms previous algorithms for computing rational function decompositions.

Neste trabalho, colaboramos com o desenvolvimento das técnicas combinatórias que utilizam a q-contagem e ladrilhamentos. O principal resultado que provamos é a seguinte identidade, devida a Ramanujan. Além deste resultado, encontramos novas interpretações combinatórias para várias identidades da teoria das partições. Destacam-se nesta lista de identidades, as seguintes: o teorema q-binomial, a série q-binomial, uma identidade de Gauss, uma identidade de Jacobi e o produto triplo de Jacobi. Damos também uma interpretação nova para os números q-binomiais. No trabalho, apresentamos algumas ideias novas (dentro deste contexto combinatório com a q-contagem): a ideia do empilhamento de peças na mesma posição e uma noção de peso de peças não-absoluta, isto é, que não depende unicamente da posição da peça mas da posição relativa à outras peças. / In this work, we contribute with the development of the combinatorials techniques involving q-enumaration and tilings. The principal result we prove is the following identity of Ramanujan. Besides that, we nd new combinatorial interpretations for several identities of the theory of partitions. In this list, the most important identities are the following: q-binomial theorem, q-binomial serie, a Gauss' identity, a Jacobi's identity and the Jacobi triple product. We also give a new interpretation to the q-binomial numbers. In this work, we present some new ideas (within the combinatorial context of q- enumeration): the idea of pilling up tiles in the same position and a non-absolute weight notion, i.e., which doesn't depend solely on the position of the tile but as well to its relative position to other tiles.

Neste trabalho, consideramos o problema de calcular o reticulado de subcorpos de uma extensão separável e de grau nito k( )/k. Isto e, queremos encontrar todos os corpos L tais que k L k( ). Até recentemente, o algoritmo utilizado pela maioria dos Sistemas Algébricos Computacionais baseava-se em um problema combinatorial nas raízes do polinômio minimal f de sobre k. Em 2013, um algoritmo foi apresentado para encontrar tais subcorpos. Este método calcula um pequeno conjunto de subcorpos, chamados de subcorpos principais, com a propriedade de que todo subcorpo de k( )/k e a interseção de alguns destes subcorpos. Assim, calcular o reticulado de subcorpos e dividido em duas etapas: 1) Encontrar os subcorpos principais de k( )/k e 2) Calcular todas as interseções destes subcorpos. A primeira etapa pode ser feita em tempo polinomial. Entretanto, a segunda etapa não pode e assim, domina a complexidade do algoritmo. Nosso objetivo e melhorar a segunda etapa, tanto em teoria quanto na prática. Para isso, mostramos como rapidamente calcular todas as interseções entre os subcorpos principais. Embora a complexidade continue não sendo limitada polinomialmente (e também não poderia ser, pois o número total de subcorpos não o é), conseguimos melhorar a complexidade do algoritmo. Também notamos um melhoramento na prática, principalmente quando o número de subcorpos e grande. Além disso, estudamos dois casos especiais: corpos numéricos e o corpo das funções racionais. Para corpos numéricos (i.e., quando k = Q), também apresentamos um melhoramento para a primeira etapa. No segundo caso, os subcorpos da extensão k(t)=k(f(t)), definida por f(t) 2 k(t), nos fornecem decomposições da função racional f(t). Nosso algoritmo tem uma performance melhor que algoritmos anteriores para calcular as decomposições de funções racionais. / In this work, we consider the problem of computing the sub eld lattice of a separable and nite degree eld extension k( )/k. That is, we wish to nd all elds L such that k L k( ). Until recently, the algorithm used by most Computer Algebraic Systems relied on a combinatorial problem on the roots of the minimal polynomial f of over k, which can be a computationally expensive task. In 2013, another algorithm was presented to nd the sub eld lattice of k( )/k. This method computes a small set of sub elds, called principal sub elds, with the property that any other sub eld of k( )/k is the intersection of some of these principal sub elds. Thus, the problem of computing the sub eld lattice can be split into 2 steps: 1) Find the principal sub elds of k( )/k and 2) Compute all intersections of these sub elds. The rst step can be executed in polynomial time however, the second step can not and thus, dominates the algorithm complexity.Our main goal is to improve the second step, both theoretically and practically. More speci cally, we develop a method to quickly compute all intersections of principal sub elds. While the complexity is still not polynomially bounded (in fact, it can not be for the total number of sub elds is not polynomially bounded), this new method helps to improve the non-polynomial part of the complexity. Practical performance is also improved when the number of intersections is large. We also focus on two special cases: number elds and rational function elds. For the number eld case (i.e., when k = Q), we also present an improvement for the rst step. For the rational function eld case, computing the sub eld lattice of the extension K(t)=K(f(t)) de ned by f(t) 2 K(t) yields all decompositions of the rational function f(t). Our algorithm outperforms previous algorithms for computing rational function decompositions.