Dans le cadre du stockage de Gaz Naturel Liquéfié (GNL) dans des réservoirs flottants, tels que les méthaniers, les contraintes imposées à la cuve par le ballotement de la cargaison doivent être quantifiées. La plupart des études expérimentales ou numériques actuelles ne prennent pas en compte la possibilité de changement de phase entre le GNL et sa vapeur lors d'un impact du liquide sur la paroi. L'objectif de cette thèse est l'ajout de ce phénomène physique dans un code de mécanique des fluides numérique pour la simulation de l'impact d'une vague déferlante sur une paroi.Dans ce but, un état de l'art des différentes modélisations possibles du changement de phase en mécanique des fluides est présenté. Il a été choisi de modéliser le changement de phase entre le liquide et le gaz à une interface franche sans hypothèse d'équilibre thermodynamique à l'interface. Un système hyperbolique de lois de conservation incluant le changement de phase interfacial hors-équilibre est présenté.Deux approches sont utilisées pour la résolution numérique de ce système. La première utilise un modèle de mélange pour décrire les mailles contenant l'interface liquide-vapeur. Dans la seconde méthode, l'interface est reconstruite et évolue de manière lagrangienne. Les deux approches sont basées sur un schéma volume fini de type Roe.L'enjeu de la simulation numérique du changement de phase interfacial est la capacité du code à gérer un rapport de densité loin de 1 et une chaleur latente élevée, qui entrainent respectivement de fortes variations de pression et de température à l'interface. L'aspect thermique est le phénomène limitant dans le cadre de la simulation d'impacts de vagues avec changement de phase. Seule une fine couche limite thermique autour de l'interface tend à revenir à l'équilibre thermodynamique liquide vapeur, ce qui limite l'effet quantitatif du changement de phase. / In the context of Liquefied Natural Gas (LNG) transportation in floating tanks, such as in LNG carriers, the constraints imposed by the sloshing of the liquid cargo on the tank have to be estimated. Most experimental and numerical studies until now do not take into account the possibility of phase change between the LNG and its vapor during the impact of liquid on the wall. The goal of this thesis is to include this physical phenomenon into a CFD code for the simulation of a breaking wave impact on a wall.A state of the art of the different modelisations of phase change in fluid mechanics is thus presented. This work focus on the modeling of phase change between the liquid and the gas at a sharp interface, without any equilibrium hypothesis. An hyperbolic system of balance laws including non-equilibrium interfacial phase change is presented.Two approaches are used to solve numerically this system. The first one relies on a mixture model for the description of the finite volume cells containing the interface, whereas in the second approach the interface is reconstructed and evolves in a lagrangian way. Both methods are based on a Roe-type finite volume scheme.The challenge of the numerical simulation of interfacial phase change is the capacity of the code to deal with density ratio far from 1 and high latent heat, as the lead to high temperature and pressure variations at the interface. The thermal aspect is the limiting phenomenon in the frame of wave impact simulation with phase change. Only a thin boundary layer around the interface tends to return to thermodynamical equilibrium, thus limiting the quantitative effect of phase change.

Dans le présent travail de thèse, nous souhaitons approfondir l’étude des systèmes à commutation pour des problèmes aux dérivées partielles en explorant de nouvelles pistes d’investigation, incluant notamment la question de la synthèse de contrôle garanti par décomposition de l’espace des états, la synthèse de contrôle nécessitant la réduction de modèle, le contrôle des différentes sources d’erreur sur des quantités d’intérêt, et la mesure des incertitudes sur les états et les paramètres du modèle. Nous envisageons l’utilisation de méthodes de calcul ensemblistes associées à des méthodes de réduction de modèle, ainsi que l’utilisation d’observateurs d’état pour l’estimation en ligne du système. / In this thesis, we focus on switched control systems described by partial differential equations, and investigate the issues of guaranteed control of such systems using state-space decomposition methods. The use of state-space decomposition methods requires model order reduction, control of the different sources of error for quantities of interest, and measure of uncertainties on the states and parameters of the system. We are considering using set-based computation methods, in association with model order reduction techniques, along with the use of state-observers for on-line estimation of the system.

Cette thèse porte sur la modélisation d'un réseau de câbles coaxiaux et multi-conducteurs. Ce dernier peut être mathématiquement traduit par les équations aux dérivées partielles de Maxwell qui régissent la propagation des ondes électromagnétiques en son sein ou par un modèle type circuit électrique d'inconnues - les potentiels et courants électriques- qui vérifient sur les branches du circuit l'équation des télégraphistes et sur les noeuds les lois de Kirchhoff.Si la première méthode est assez générale pour comprendre toutes sortes de défauts, elle néanmoins trop couteuse pour les applications que nous avons en tête, à savoir le contrôle non destructif. La seconde quant à elle est obtenue par une modélisation non issue de la théorie de Maxwell et est valide que si les câbles sont parfaits (cylindriques, sans pertes...). Nous avons établi diverses modèles 1D venant généraliser l'équation des télégraphistes et les lois de Kirchhoff pour y incorporer diverses défauts (géométrie, pertes, effet de peau, caractéristique des matériaux variables) tant sur les câbles que dans les jonctions. Ceux-ci sont obtenus via des analyses asymptotiques (classiques, multi-échelles, raccordées) des équations 3D de Maxwell en considérant certains paramètres (dimensions transverses des câbles par rapport à leurs longueurs, conductivité du milieu diélectrique par rapport à celle du métal des âmes, petite taille de la zone de jonction par rapport à l'ensemble du réseau) extrêmement petits.Une des difficultés mathématiques tient en ce que les domaines que nous prendrons en compte (sections des câbles, jonctions) ne sont aucunement simplement connexes, nous obligeant ainsi à remanier quelques outils standard tel les décompositions en potentiels. / This thesis aim to modelize network made of coaxial and multi-conductors cables.It could be mathematically represent with the Maxwell equations which deals on electromagnetic waves propagating in the network or an electrical circuit whose unknowns - the electrical potentials and currents - satisfy the telegrapher's equation on each branches and the Kirchhoff's laws on each knots.The first method is enough general to integrate many defaults but numerically too expansive for the application we have in mind, namely non destructive testing. The second one is not obtained from the Maxwell theory and it is valid if and only if the cable are perfect (cylindrical, lossless...). We derive some 1D models generalizing the usual telegrapher's equation and Kirchhoff's rules from Maxwell's equation. This new models integrate plenty of defects (geometry, losses, skin-effect, materials' characteristics varying) and are derive via asymptotic analysis (classical ones, multi-scales ones, matched ones) by considering very small parameters (transverse dimensions of the cables relative to length of the cables, conductivity of the dielectric part relative to the metal of the inner-wires, size of the junction part relative to the whole network).One of the mathematical difficult is due to the fact that the geometry we will consider (sections of the cables, junctions) are not simply connected. Thus we will generalize usual tools such as the Helmholtz decompositions.

L’objet de cette thèse est l’étude des propriétés de stabilité et contrôle pour des systèmes linéaires écrits à l’aide d’équations aux dérivées partielles (EDP) ou d’équations à retard. Nous souhaitons exploiter dans cette thèse les liens qui existent entre ces deux classes de systèmes de dimension infinie afin de développer une nouvelle approche permettant leur analyse. En effet dans plusieurs applications, il est possible de choisir l’un ou l’autre de ces deux types de systèmes pour modéliser la dynamique considérée. Par exemple, les phénomènes de congestion dans un réseau routier peuvent être modélisés à l’aide d’EDP de type transport [JKC], mais aussi par un modèle à retard distribué [MMN] ou encore à retard discret [SN]. On peut également renvoyer aux travaux de Krstic [K] sur la formulation d’un système à retard comme un système EDP. Ces deux classes de systèmes sont des cas particuliers de systèmes de dimension infinie, et contrairement aux cas de systèmes de dimension finie, on parle de fonctions d’état plutôt que vecteur d’état. Cela implique que l’analyse associée est plus délicate et fait appel à des outils dédiés. Dans le cadre de la thèse, l’étudiant se focalisera sur les approches basées sur une extension du théorème de Lyapunov pour les systèmes de dimension infinie utilisant des fonctionnelles spécifiques. Comme pour la modélisation, l’analyse de stabilité des systèmes à retard ou de type EDP peut être menée à l’aide de fonctionnelles de Lyapunov très similaires. Nous souhaitons que cette thèse tire parti des travaux existants dans les deux communautés sur les systèmes à retards et de type EDP pour développer une approche novatrice et unifiée pour l’analyse et le contrôle de systèmes de dimension infinie. Pour cela, le candidat s’appuiera sur ses acquis en automatique et en mathématiques ainsi que sur l’expertise des deux encadrants. Plusieurs contributions sont attendues durant la thèse. Dans un premier temps, il sera question d’étendre des résultats récents [SG1,2] développés pour l’analyse de stabilité des systèmes à retards au cas de systèmes régis par des EDP. Ces premiers résultats auront vocation à servir de base pour l’étude de la synthèse de commandes robustes dans le cadre d’applications telles que le contrôle de trafic routier [MMN], le contrôle de vibration [RBPA], etc… Cette thèse en automatique requiert plusieurs compétences parmi lesquelles des connaissances sur la théorie de Lyapunov pour les systèmes avec ou sans retard, sur les inégalités matricielles linéaires tout en s’appuyant sur les outils de mathématiques appliquées pour l’étude des équations aux dérivées partielles (algèbre linéaire, analyse fonctionnelle, espaces de Hilbert, de Sobolev). / The purpose of this thesis is the study of stability and control properties for linear systems described by partial differential equations (PDE) or delay differential equations. We wish to use in this thesis the relationship between these two classes of infinite-dimensional systems in view of developing a new paradigm for their analysis. Indeed, in many applications, it is possible to choose one or the other of these two classes of systems to model the dynamics of the system under consideration. For example, traffic flow can be modeled using PDE type of transportation [JKC], but also by a distributed delay model [SMP] or discrete delay [SN]. We may also refer to the work of Krstic [K] on the formulation of a delay system as an PDE system. These two classes of systems are special cases of infinite dimensional systems, unlike the case of finite-dimensional systems, we better called state functions rather than the state vector. This implies that the analysis is more delicate and refers to the use of dedicated tools. As part of the thesis, the student will focus on approaches based on an extension of Lyapunov theorem for infinite dimensional systems using specific functional. As for the modeling process, the stability analysis of delayed or PDE type systems can be conducted using very similar Lyapunov functionals. We hope that this thesis builds on existing work in the two communities on delay systems and PDE to develop an innovative and unified approach to the analysis and control of infinite dimensional systems. To do so, the candidate will build on its skills in automatic and mathematics as well as the on from expertise of both supervisors. Several contributions are expected during the thesis . Initially, we aim at extedning recent results [SG13,14] developed in the context of the stability analysis of delay systems to the case of systems governed by PDE. These first results will provide the basis for the design of robust control laws for various applications including traffic control, vibration control, etc ... Cette thèse portera sur l’étude des propriétés de stabilité et de contrôle des systèmes linéaires de dimension infinie, plus particulièrement écrits à l’aide d’EDP ou d’équations à retard. L’intérêt naturel pour l’étude de cette classe de systèmes à la frontière entre mathématiques appliquées et automatique connaît un succès grandissant de part la large gamme d’applications en contrôle pouvant être décrites par ces modèles : en ingénierie, biologie, informatique… L’émulation scientifique entre systèmes à retard et systèmes de type EDP permettra en outre à cette thèse de tirer parti des méthodes et outils propres à chacun des ces domaines. This PhD proposal in automatic control requires several skills including knowledge on Lyapunov theory for systems with or without delay , on linear matrix inequalities while relying on mathematical tools applied in the study of partial differential equations ( linear algebra functional analysis , Hilbert spaces , Sobolev) .

This thesis extends the utility of the Monte Carlo approach to PDE-based methods presented in the paper Monte Carlo Geometry Processing. In particular, we implement this method on the GPU using CUDA, and investigate more viable methods of estimating the source integral when solving Poisson’s equation with intricate source terms. This is the case for a large group of gradient-domain methods in computer graphics, where source terms are represented by discrete volumetric data on regular grids. We develop unbiased source integral estimators like image-based importance sampling (IBIS) and biased estimators like source integral caching (SIC) and evaluate these against existing GPU-accelerated finite difference solvers for gradient-domain applications. By decoupling the source integration step from the WoS-algorithm, we find that the SIC method can improve performance by several orders of magnitude, making it competitive with existing finite difference solvers in many cases. We further investigate the viability of distance fields for accelerated distance queries and find that these can provide significant performance improvements compared to BVHs without meaningfully affecting bias. / <p>Examensarbetet är utfört vid Institutionen för teknik och naturvetenskap (ITN) vid Tekniska fakulteten, Linköpings universitet</p>

Many problems in continuum mechanics, especially in the theory of elastic materials, lead to nonlinear partial differential equations. The nonconvexity of their underlying energy potential is a challenge for mathematical analysis, since convexity plays an important role in the classical theories of existence and regularity. In the last years one main point of interest was to develop techniques to circumvent these difficulties. One approach was to use different notions of convexity like quasi-- or polyconvexity, but most of the work was done only for static (time independent) equations. In this thesis we want to make some contributions concerning existence, regularity and numerical approximation of nonconvex dynamical problems.

Many phenomena in our world can be described as differential equations in high dimensions. However, they are notoriously challenging to solve numerically due to the exponential growth in computational cost with increasing dimensions. This thesis explores an algorithm, known as deep BSDE, for solving high-dimensional partial differential equations and applies it to finance, namely European option pricing. In addition, an implementation of the method is provided that seemingly shortens the runtime by a factor of two, compared with the results in previous studies. From the results, we can conclude that the deep BSDE method does handle high-dimensional problems well. Lastly, the thesis gives the relevant prerequisites required to be able to digest the theory from an undergraduate level.

In this thesis three different approaches for solving partial differential equa-tions with neural networks will be explored; namely Physics-Informed NeuralNetworks, Fourier Neural Operators and the Deep Ritz method. Physics-Informed Neural Networks and the Deep Ritz Method are unsupervised machine learning methods, while the Fourier Neural Operator is a supervised method. The Physics-Informed Neural Network is implemented on Burger’s equation,while the Fourier Neural Operator is implemented on Poisson’s equation and Darcy’s law and the Deep Ritz method is applied to several variational problems. The Physics-Informed Neural Network is also used for the inverse problem; given some data on a solution, the neural network is trained to determine what the underlying partial differential equation is whose solution is given by the data. Apart from this, importance sampling is also implemented to accelerate the training of physics-informed neural networks. The contributions of this thesis are to implement a slightly different form of importance sampling on the physics-informed neural network, to show that the Deep Ritz method can be used for a larger class of variational problems than the original publication suggests and to apply the Fourier Neural Operator on an application in geophyiscs involving Darcy’s law where the coefficient factor is given by exponentiated two-dimensional pink noise.

Cardiovascular diseases (CVDs) are a leading cause of death worldwide, emphasizing the need for advanced and effective intervention and treatment measures. Hypertension, a significant risk factor for CVDs, is characterized by reduced vascular compliance in arterial vessels. There is a significant rise in interest in exploring the viscoelastic properties of arteries in the last few years, for the treatment of these diseases. This study aims to develop an experimental setup using 3D Printing Technology to test viscoelastic arterial models for the validation of a diagnostic device for cardiovascular diseases. The research investigates the selection of polymer-based materials that closely mimic the viscoelastic properties of arterial vessels. An experimental setup is designed and fabricated to perform mechanical tests on 3D-printed specimens. The study utilizes a mathematical model to describe the viscoelastic behavior of the materials. The model's predictions are validated using experimental data obtained from the mechanical tests. This study demonstrates the potential of 3D printing technology in fabricating specimens using elastic and flexible resin materials. These specimens closely replicate the mechanical properties of native arteries, offering a tangible platform for controlled mechanical testing. Stress relaxation tests on the3D printed specimens highlight the viscoelastic properties of fabricated materials, shedding light on their behavior under strain. The study goes further to model the mechanics of these materials, utilizing the Fractional Voigt model to capture the intricate balance between elastic and resistive behaviors under varying deformation levels. The results highlight the successful fitting of the Fractional Voigt model to the experimental data, confirming the viscoelastic behavior of the specimens. The obtained values of α and RMSE indicate a good representation of arterial mechanical properties within the viscoelastic arterial model, under different loading conditions. This research contributes to improving cardiovascular device validation and offers a practical and reliable alternative to invasive experiments. Future works include exploring different materials and conditions for arterial modeling and enhancing the precision and scope of the viscoelastic model. Overall, this study advances the understanding of cardiovascular biomechanics, contributing to the development of more effective diagnostic devices for cardiovascular diseases.

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