This thesis deals with the optimal control of PDEs. After a brief introduction in the theory of elliptic and parabolic PDEs, we introduce a software that solves systems of PDEs by the finite elements method. In the second chapter we derive optimality conditions in terms of function spaces, i.e. a systems of PDEs coupled by some pointwise relations. Now we present algorithms to solve the optimality systems numerically and present some numerical test cases. A further chapter deals with the so called lack of adjointness, an issue of gradient methods applied on parabolic optimal control problems. However, since optimal control problems lead to large numerical schemes, model reduction becomes popular. We analyze the proper orthogonal decomposition method and apply it to our model problems. Finally, we apply all considered techniques to a real world problem.

Die Dissertation behandelt methodische und algorithmische Aspekte der Spektralelementemethode zur räumlichen Diskretisierung partieller Differentialgleichungen. Die Weiterentwicklung einer symmetriebasierten Faktorisierung ermöglicht effiziente Operatoren für Tetraederelemente. Auf Grundlage einer umfassenden Leistungsanalyse werden Engpässe in der Implementierung der Operatoren identifiziert und durch algorithmische Modifikationen der Methode eliminiert.

In der vorliegenden Arbeit wird die Methode der Anwendung der hyperkomplexen Funktionentheorie zur Behandlung partieller Differentialgleichungen über beschränkten Gebieten unter Benutzung einer orthogonalen Zerlegung des Raumes L_2(U) verallgemeinert. Zum einen kann diese Zerlegung als direkte Zerlegung über dem Raum L_p(G),p>1, verallgemeinert werden, was die Untersuchung partieller Differentialgleichungen über allgemeinen Sobolev-Räumen W_p^k(G),p>1,k natürliche Zahl, ermöglicht. Dies wird am Beispiel des Stokes-Problems demonstriert. Zum anderen wird ein modifizierter Cauchy-Kern über unbeschränkten Gebieten eingeführt, deren Komplement eine nichtleere offene Menge enthält. Grundlegende Resultate der Cliffordanalysis über beschränkten Gebieten werden auf diese Situation verallgemeinert und eine orthogonale Zerlegung des Raumes L_2(G) bewiesen. Diese Resultate werden im weiteren dazu benutzt, das stationäre Stokes- bzw. Navier-Stokes-Problem in dem allgemeinen Fall eines unbeschränkten Gebietes zu untersuchen. Im weiteren wird gezeigt, dass sich die entwickelten Methoden auch auf partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung anwenden lassen. Dies wird am Beispiel der biharmonischen Gleichung mit Randbedingungen, die Komponenten in Normalenrichtung und tangentieller Richtung besitzen, demonstriert. Am Ende beschäftigen wir uns mit der Verallgemeinerung der komplexen Methoden von Vekua. Dazu werden hyperkomplexe Verallgemeinerungen des komplexen Pi-Operators untersucht und auf die Lösung von hyperkomplexen Beltramigleichungen angewandt. / A modified Cauchy kernel is introduced over unbounded domains whose complement contain non-empty open sets. Basic results on Clifford analysis over bounded domains are now carried over to this more general context. In the end boundary value problems, e.g. for the Stokes-system or the Navier-Stokes-system, will be studied in the case of an unbounded domain without using weighted Sobolev spaces. In the latter part of this paper we deal with hypercomplex generalizations of the complex Pi-operator which turn out to have most of the useful properties of their complex origin. Afterwards the application of this operator to the solution of hypercomplex Beltrami equations will be studied.

We study a class of differential inclusions involving maximal monotone relations, which cover a huge class of problems in mathematical physics. For this purpose we introduce the time derivative as a continuously invertible operator in a suitable Hilbert space. It turns out that this realization is a strictly monotone operator and thus, the question on existence and uniqueness can be answered by well-known results in the theory of maximal monotone relations. Furthermore, we show that the resulting solution operator is Lipschitz-continuous and causal, which is a natural property of evolutionary processes. Finally, the results are applied to a system of partial differential equations and inclusions, which describes the diffusion of a compressible fluid through a saturated, porous, plastically deforming media, where certain hysteresis phenomena are modeled by maximal montone relations.

In der vorliegenden Arbeit wird das Entstehen von Singularitäten an Oberflächen von dünnen Flüssigkeitsfilmen studiert. Unter einer Singularität versteht man hier das plötzliche Aufreißen einer Flüssigkeitsoberfläche an einer Stelle. Nach einer Diskussion physikalischer Phänomene, wird ein 2D Modell zur Beschreibung von Flüssigkeitsfilmen hergeleitet. Dieses Modell beinhaltet u.a. Oberflächenspannung, van der Waals''sche Kräfte und eine Navier-slip Randbedingung (Schlupf-Randbedingung) zwischen Substrat und Flüssigkeit, d.h. die Flüssigkeite haftet nicht an der Grenzfläche zum Substrat. Dieses Phänomen wird vor allen Dingen im Nano- und Mikrometerbereich beobachtet. Dieses Modell wird vereinfacht und man erhält die sogenannte "strong-slip" Gleichung. In dieser Dissertation werden verschiedene Ansätze verfolgt, um die Singularität der Flüssigkeitsoberfläche zu beschreiben. Der Entstehungsprozess der Singularität wird durch die lineare Stabilitätsuntersuchung beschrieben. Da die Linearisierung schnell ihre Gültigkeit verliert, wird das nichtlineare Verhalten der Singularität mit einem numerischen Verfahren beschrieben. Das dazu hier konstruierte Finite-Differenzen-Schema besitzt eine hohe räumliche und zeitliche Genauigkeit. Dadurch können verschiedene Regime, in denen die Singularität eine selbstähnliche Dynamik besitzt, untersucht und beschrieben werden. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Gleichungen weiter vereinfacht. Dadurch können qualitative Eigenschaften der Singularitätsentstehung bewiesen werden. Weiterhin kann so eine Verbindung zu Modellen der Ostwald-Reifung hergestellt werden und man gelangt zu ähnlichen mathematischen Aussagen wie für selbstähnliche Vergröberungsprozesse. Insbesondere wird in der Arbeit gezeigt, dass die Singularität nach endlicher Zeit auftritt. Für das vereinfachte Problem werden hinreichende und notwendige Bedingungen für selbstähnliches Verhalten angegeben. / In this thesis we study the formation of surface singularites of thin liquid films, i.e., rupture of thin liquid films. First, important physical phenomena are discussed and a two-dimensional model for thin-film rupture is derived . That model contains surface tension, van der Waals forces between a liquid and a underlying substrate, and a Navier-slip condition. Using the thin-film hypothesis, this model is simplified and one obtains the so-called strong-slip equation. The phenomenon slip, where the velocity of the liquid is non-zero at a fluid-solid interface, is particularly important at microscopic length scales. In this text we study interfacial singularities with various approaches. The creation of a singularity is described by a linear stability analysis. The non-linear behavior is investigated by a numerical analysis. A finite-difference scheme is used to study the non-linear self-similar dynamics of the singularity. In the second part of this thesis the equations are further simplified. This allows to study qualitative properties of the singularity formation. Furthermore, we can establish a correspondence to models for Ostwald rippending and obtain similar mathematical statements as they are known for self-similar coarsening processes. In particular it is shown that rupture happens after a finite time. In addition, necessary and sufficient condition for self-similar rupture are proven.

The thesis deals with so-called evolutionary equations, a class of abstract linear operator equations, which cover a huge class of partial differential equation with and without memory. We provide a unified Hilbert space framework for the well-posedness of such equations. Moreover, we inspect the exponential stability of those problems and construct spaces of admissible inital values and pre-histories, on which a strongly continuous semigroup could be associated with the given problem. The theoretical results are illustrated by several examples.

The thesis deals with so-called evolutionary equations, a class of abstract linear operator equations, which cover a huge class of partial differential equation with and without memory. We provide a unified Hilbert space framework for the well-posedness of such equations. Moreover, we inspect the exponential stability of those problems and construct spaces of admissible inital values and pre-histories, on which a strongly continuous semigroup could be associated with the given problem. The theoretical results are illustrated by several examples.

This thesis deals with the optimal control of PDEs. After a brief introduction in the theory of elliptic and parabolic PDEs, we introduce a software that solves systems of PDEs by the finite elements method. In the second chapter we derive optimality conditions in terms of function spaces, i.e. a systems of PDEs coupled by some pointwise relations. Now we present algorithms to solve the optimality systems numerically and present some numerical test cases. A further chapter deals with the so called lack of adjointness, an issue of gradient methods applied on parabolic optimal control problems. However, since optimal control problems lead to large numerical schemes, model reduction becomes popular. We analyze the proper orthogonal decomposition method and apply it to our model problems. Finally, we apply all considered techniques to a real world problem.:Introduction The state equation Optimal control and optimality conditions Algorithms The \"lack of adjointness\" Numerical examples Efficient solution of PDEs and KKT- systems A real world application Functional analytical basics Codes of the examples

Die Dissertation behandelt methodische und algorithmische Aspekte der Spektralelementemethode zur räumlichen Diskretisierung partieller Differentialgleichungen. Die Weiterentwicklung einer symmetriebasierten Faktorisierung ermöglicht effiziente Operatoren für Tetraederelemente. Auf Grundlage einer umfassenden Leistungsanalyse werden Engpässe in der Implementierung der Operatoren identifiziert und durch algorithmische Modifikationen der Methode eliminiert.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit drei Klassen ausgewählter nichtlinearer Probleme, die Forschungsgegenstand der angewandten Mathematik sind. Diese Probleme behandeln die Minimierung von Integralen in der Variationsrechnung (Kapitel 3), das Lösen partieller Differentialgleichungen (Kapitel 4) und das Lösen nichtlinearer Optimierungsaufgaben (Kapitel 5). Mit deren Hilfe lassen sich unterschiedlichste Phänomene der Natur- und Ingenieurwissenschaften sowie der Ökonomie mathematisch modellieren. Als konkretes Beispiel werden mathematische Modelle der Theorie elastischer Festkörper betrachtet. Das Ziel der vorliegenden Arbeit besteht darin, ein gegebenes nichtlineares Problem durch polynomiale Probleme zu approximieren. Um dieses Ziel zu erreichen, beschäftigt sich ein großer Teil der vorliegenden Arbeit mit der polynomialen Approximation von nichtlinearen Funktionen. Den Ausgangspunkt dafür bildet der Weierstraßsche Approximationssatz. Auf der Basis dieses bekannten Satzes und eigener Sätze wird als Hauptresultat der vorliegenden Arbeit gezeigt, dass im Übergang von einer gegebenen Funktion zum approximierenden Polynom wesentliche Eigenschaften der gegebenen Funktion erhalten werden können. Die wichtigsten Eigenschaften, für die dies bisher nicht bekannt war, sind: Quasikonvexität im Sinne der Variationsrechnung, Quasimonotonie im Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen sowie Quasikonvexität im Sinne der nichtlinearen Optimierung (Theoreme 3.16, 4.10 und 5.5). Schließlich wird gezeigt, dass die zu den untersuchten Klassen gehörenden nichtlinearen Probleme durch polynomiale Probleme approximiert werden können (Theoreme 3.26, 4.16 und 5.8). Die dieser Approximation zugrunde liegende Konvergenz garantiert sowohl eine Approximation im Parameterraum als auch eine Approximation im Lösungsraum. Für letztere werden die Konzepte der Gamma-Konvergenz (Epi-Konvergenz) und der G-Konvergenz verwendet. / In this thesis, we are concerned with three classes of non-linear problems that appear naturally in various fields of science, engineering and economics. In order to cover many different applications, we study problems in the calculus of variation (Chapter 3), partial differential equations (Chapter 4) as well as non-linear programming problems (Chapter 5). As an example of possible applications, we consider models of non-linear elasticity theory. The aim of this thesis is to approximate a given non-linear problem by polynomial problems. In order to achieve the desired polynomial approximation of problems, a large part of this thesis is dedicated to the polynomial approximation of non-linear functions. The Weierstraß approximation theorem forms the starting point. Based on this well-known theorem, we prove theorems that eventually lead to our main result: A given non-linear function can be approximated by polynomials so that essential properties of the function are preserved. This result is new for three properties that are important in the context of the considered non-linear problems. These properties are: quasiconvexity in the sense of the calculus of variation, quasimonotonicity in the context of partial differential equations and quasiconvexity in the sense of non-linear programming (Theorems 3.16, 4.10 and 5.5). Finally, we show the following: Every non-linear problem that belongs to one of the three considered classes of problems can be approximated by polynomial problems (Theorems 3.26, 4.16 and 5.8). The underlying convergence guarantees both the approximation in the parameter space and the approximation in the solution space. In this context, we use the concepts of Gamma-convergence (epi-convergence) and of G-convergence.