Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

La physique des phénomènes de surface a progressé en même temps que les modèles décrivant des transitions de phase dans le volume. A deux dimensions, en particulier, les théories des champs invariantes sous les transformations conformes se sont révélées des outils extrêmement puissants pour décrire de manière non-perturbative les transitions de phase. L'étude des phénomènes de surface dans ce contexte a produit de nombreux résultats exacts tels que des exposants critiques et des fonctions de corrélations dans divers modèles critiques. Dans cette thèse nous nous intéressons à des théories statistiques à deux dimensions dont les degrés de liberté sont non locaux, comme par exemple des polymères en solution. Ces théories peuvent être formulées localement au prix de poids de Boltzmann négatifs ou complexes, elles sont alors non-unitaires. Nous nous intéressons aux effets de surface dans ces théories, et décrivons les différentes conditions au bord qui sont compatibles avec l'invariance conforme. Notre stratégie n'est pas de formuler une approche axiomatique, mais plutôt de partir de modèles concrets sur réseau, et d'étudier leur limite continue.

Nous étudions l’influence du champ magnétique aléatoire et des interactions à longue portée sur le comportement critique du modèle d’Ising ; notre approche est basée sur une version non perturbative et fonctionnelle du groupe de renormalisation. Les concepts du groupe de renormalisation non perturbatif sont tout d’abord introduits, puis illustrés dans le cadre simple d’une théorie classique d’un champ scalaire. Nous discutons ensuite les propriétés critiques de cette dernière en présence d’un champ magnétique aléatoire gelé qui traduit le désordre dans le système. Celui-ci est distribué comme un bruit blanc gaussien dans l’espace. Nous insistons principalement sur la propriété de réduction dimensionnelle qui prédit un comportement critique identique pour le modèle en champ aléatoire à d dimensions et le modèle pur (c’est à dire sans champ aléatoire) en dimension d − 2. Bien que cette propriété soit démontrée à tous les ordres par la théorie de perturba- tion, on montre que celle-ci est brisée en dessous d’une dimension critique dDR = 5.13. La réduction dimensionnelle et sa brisure sont alors reliées aux caractéristiques d’échelle des grandes avalanches intervenant dans le système à température nulle. Nous considérons, dans un second temps, une généralisation du modèle d’Ising dans laquelle l’interaction ferromagnétique décroit désormais à longue portée comme r^−(d+σ) avec σ > 0 (d désigne toujours la dimension de l’espace). Dans un tel système, il est possible de travailler en dimension fixée (incluant la dimension d = 1) et de varier l’exposant σ afin de parcourir une gamme de comportements critiques similaire à celle obtenue entre les dimensions critiques inférieure et supérieure de la version à courte portée du modèle. Nous avons caractérisé la transition de phase dans le plan (σ, d), et notamment calculé les exposants critiques en fonction du paramètre σ pour les dimensions physiquement intéressantes d = 1, 2 et 3. Finalement, on s’intéresse aussi à la théorie en présence d’un champ magnétique aléatoire dont les corrélations décroissent à grande distance comme r^−d+ρ avec ρ > −d. Dans le cas particulier où ρ = 2 − σ, on montre que la propriété de réduction dimensionnelle est vérifiée lorsque σ est suffisamment petit, mais brisée à grand σ (en dimension inférieure à dDR ). En particulier, concernant le modèle tridimensionnel, nos résultats prédisent une brisure de réduction dimensionnelle lorsque σ > σDR = 0.71 / We study the influence of the presence of a random magnetic field and of long-ranged interactions on the critical behavior of the Ising model. Our approach is based on a nonperturbative and functional version of the renormalization group. The bases of the nonperturbative renormalization group are introduced first and then illustrated in the simple case of the classical scalar field theory. We next discuss the critical properties of the latter in the presence of a random magnetic field, which is associated with frozen disorder in the system. The distribution of the random field in space is taken as that of a gaussian white noise. We focus on the property of dimensional reduction that predicts identical critical behavior for the random-field model in dimension $d$ and the pure model, \textit{i.e.} in the absence of random field, in dimension d-2. Although this property is found at all orders of the perturbation theory, it is violated below a critical dimension $d_{DR} \approx 5.13$. We show that the dimensional reduction and its breakdown are related to the large-scale properties of the avalanches that are present in the system at zero temperature. We next consider a generalization of the Ising model in which the ferromagnetic interaction varies at large distance like $r^{-(d+\sigma)}$ with $\sigma > 0$ ($d$ being the spatial dimension). In this system, it is possible to obtain a range of critical behavior similar to that encountered in the short-ranged version of the model between the lower and the upper critical dimensions by varying the exponent $\sigma$ while keeping the dimension $d$ fixed (including the case $d=1$).We have characterized the phase transition of this long-ranged model in the plane $(\sigma,d)$ and computed the critical exponents as a function of the parameter $\sigma$ for the physically interesting dimensions, $d=1,2$ and $3$. Finally, we have also studied the long-ranged random-field Ising model when the correlations of the random magnetic field decrease at large distance as $r^{-d+\rho}$ with $\rho > -d$. In the special case where $\rho=2-\sigma$, we have shown that the dimensional-reduction property is satisfied when $\sigma$ is small enough but breaks down above a critical value (when the spatial dimension $d$ is less than $d_{DR}$). In particular, for $d=3$, we predict a breakdown of dimensional reduction for $\sigma_{DR}\approx 0.71$.

Cette thèse est consacrée à l'étude des systèmes critiques possédant des symétries discrètes, en deux dimensions. Les théories conformes jouent un rôle central dans la compréhension des phénomènes critiques des systèmes bidimensionnels, et la symétrie discrète additionnelle donne lieu aux théories dites parafermioniques. Dans une première partie, nous étudions les flots du groupe de renormalisation sous l'effet de perturbations faiblement pertinentes pour ces théories parafermioniques . En utilisant les techniques issues du Gaz de Coulomb et de la représentation coset de ces théories conformes, nous avons obtenu perturbativement les équations du groupe de renormalisation. Nous avons ainsi mis en évidence des flots non massifs entre différentes théories parafermioniques. Dans une deuxiéme partie, nous étudions les applications des théories conformes parafermioniques à l'effet Hall quantique fractionnaire. Nous montrons, en calculant les fonctions de corrélation correspondantes, que les théories parafermioniques unitaires fournissent des candidats interessants pour décrire certains états non-abéliens, en particulier elles permettent de corriger les problèmes de non-unitarité. Enfin nous prouvons une conjecture reliant les polynômes de Jack aux théories W.

En utilisant les méthodes analytiques et numériques de la Physique Statistique bidimensionnelle (matrice de transfert, invariance conforme, gaz de Coulomb, équations de Yang-Baxter, Ansatz de Bethe, Monte-Carlo), nous abordons des problèmes qui n'entrent pas dans le cadre du modèle gaussien compact : modèle de Potts antiferromagnétique critique, modèle de boucles de Brauer. Ces modèles présentent des propriétés critiques originales, comme l'apparition de degrés de liberté non-compacts. Ces propriétés apparaissent quand on introduit, dans le modèle de boucles sur réseau, des intersections entre les boucles ou une alternance des poids de Boltzmann entre les sous-réseaux. Dans le cas du modèle de Potts antiferromagnétique, nous développons l'étude de la structure issue des équations de Yang-Baxter, et nous identifions une famille d'états de Bethe associés aux degrés de liberté non-compacts. Les calculs numériques sur de grandes tailles de système permettent de conjecturer la loi d'échelle du rayon de compactification effectif. Dans le cas du modèle de Brauer avec une fugacité de boucles n = 0, nous proposons un modèle de chemin d'échappement invariant d'échelle, et nous déterminons ses propriétés critiques par des méthodes numériques. En tant qu'observable (non-locale), le chemin d'échappement caractérise les points communs et différences avec les marches aléatoires.

La fracturation fragile des roches soumises à des cisaillements sous<br />fortes pressions de confinement présente des traits communs avec une transition de phase thermodynamique: la déformation se localise rapidement à l'échelle des grains dès la sortie du régime élastique réversible, tout en restant d'abord homogène aux grandes échelles. Alors que les microfractures individuelles croissent encore de façon stable, apparaissent autour de la contrainte pic des structures de grande échelle (bandes de cisaillement) qui brisent spontanément les symétries translationnelle et rotationnelle du problème.<br /><br />Analysant des données déformation/contrainte obtenues sur diverses<br />roches et conditions de charge, on montre que celles-ci présentent<br />un haut degré d'universalité, à savoir que la pente de charge est une loi de puissance de l'écart à la contrainte pic, avec un exposant identique dans les différentes experiences à la résolution expérimentale près. Cette loi est vérifiée pratiquement de la sortie du régime élastique, à la contrainte pic.<br /><br />Le fait que cet exposant semble indépendant de la roche, conjoint aux brisures de symétries et à l'émergence d'une structuration macroscopique, est typique d'un point critique. En conséquence, on développe à partir d'un simple postulat de maximisation d'entropie un formalisme de physique statistique adapté à ce problème. On obtient ainsi une distribution de probabilité sur les configurations de microfractures, en fonction de l'énergie nécessaire à leur formation. partir d'un modèle pour ces énergies basé sur des interactions élastiques, on obtient un système présentant deux transitions de phase: la première correspond à l'initiation de l'activité des microfractures, la seconde à la localisation macroscopique.<br />Ce modèle prédit à l'approche de la seconde transition le comportement quadratique observé dans les données, alors que le module d'Young effectif du matériau reste fini.

Les transitions de phase sont des phénomènes communs à tous les systèmes en interaction. Pour des systèmes infinis, elles sont bien décrites par la thermodynamique mais celle-ci ne peut être utilisée pour des petits systèmes comme le noyau de l'atome. Nous proposons dans cette thèse une approche de mécanique statistique, afin d'extraire les caractéristiques thermodynamiques des petits systèmes ouverts et soumis à des forces non saturantes. Nous nous concentrons en particulier sur la définition et la mise en évidence pour de tels systèmes d'une transition de phase de type liquide gaz. Nous définissons des observables théoriques et expérimentales qui permettent de signer sans ambiguïté la présence et l'ordre de la transition. Une observable pertinente et accessible expérimentalement est la fluctuation d'énergie cinétique, pour une valeur fixée de l'énergie totale. Nous vérifions qu'à l'intérieur de la zone de coexistence, ces fluctuations deviennent anormalement grandes et s'accompagnent de comportements pseudo critiques pour la distribution en taille des fragments. Nous obtenons ces résultats dans le cadre du modèle du gaz sur réseau, avec un hamiltonien de plus proche voisins. Afin de compléter cette étude, nous analysons le comportement des observables lorsque les interactions sont à longue portée. Nous nous concentrons sur la problématique nucléaire en considérant l'effet des interactions coulombiennes. Enfin nous abordons en perspective des points spécifiques à la physique nucléaire : le rôle de l'isospin et des effets quantiques.

Prévoir où, quand et comment les matériaux cassent est une problématique qui occupe scientifiques et ingénieurs depuis des siècles. Ce problème est rendu complexe par le fait que la concentration des contraintes en pointe de fissure lie intimement le comportement observé à l'échelle macroscopique aux inhomogénéités de microstructure à des échelles très fines. Ceci induit une dynamique de fissuration erratique, composée d'événements d'endommagement rapides et imprévisibles séparés de périodes calmes (e.g. dynamique des tremblements de terre le long des failles). Par essence, ces aspects statistiques ne peuvent pas être traités avec l'approche de la mécanique des milieux continus traditionnels. Dans un premier temps, nous tentons d'appréhender ce problème au travers d'une expérience modèle qui consiste à faire propager une fissure dans une roche artificielle dont nous contrôlons la microstructure. La vitesse de chargement du système de fracture est réglable sur une large gamme de valeurs. La vitesse de fissuration et l'énergie mécanique sont enregistrées en temps réel. En parallèle, l'émission acoustique associée aux événements de fracture ainsi que leur localisation sont mesurées via des capteurs piézoélectriques, puis analysées comme cela est communément fait en sismologie. Ces expériences nous permettent de caractériser quantitativement la dynamique intermittente de la fissuration. Elles montrent qu'un certain nombre des lois empiriques observées en géophysique sur la sismicité (loi de Richter-Gutenberg, d'Omori, de Voight, d'Utsu...) se retrouvent dans notre système modèle. Dans un deuxième temps, nous adressons ce problème théoriquement et numériquement, en identifiant le phénomène de fracture dans les matériaux hétérogènes avec celui de la propagation d'une ligne élastique sur un potentiel aléatoire 2D. Ceci permet de déterminer quantitativement, en termes de vitesse de chargement, de tailles des hétérogénéités, de propriétés du matériau, et de géométrie de structure, quand la dynamique de fissuration est régulière et compatible avec l'approche ingénieur des milieux continus, et quand elle devient erratique et nécessite une approche statistique. Dans ce dernier cas, nous caractérisons la statistique de de cette dynamique et relions celle-ci aux paramètres de l'expérience.

L'objet de cette thèse est l'étude de phénomènes critiques hors-équilibre. Pour décrire ces systèmes, l'utilisation d'équations de Langevin est souvent incontournable car elles permettent une description heuristique relativement simple du phénomène, construite en ajoutant un terme de bruit à la dynamique macroscopique. J'ai montré qu'il est toutefois possible, dans le cas des processus de réaction-diffusion, d'aller au delà de cette approche et de dériver une équation de Langevin exacte qui décrit la dynamique au niveau microscopique. Une seconde partie de ma thèse est consacrée à l'étude de modèles spécifiques de phénomènes critiques hors-équilibre à l'aide du groupe de renormalisation non-perturbatif (NPRG), une version moderne des blocs de spins de Wilson et Kadanoff. À l'équilibre, cet outil tire son succès de sa capacité à contrôler les fluctuations au voisinage de la transition grâce à un régulateur. Hors équilibre, les fluctuations temporelles doivent être traitées de la même façon, et j'ai donc conçu un régulateur qui contrôle à la fois les fluctuations spatiales et temporelles. Enfin, j'ai appliqué le NPRG à un modèle d'érosion. En effet, l'apparition générique de lois d'échelles dans les paysages suggère l'existence d'un mécanisme sous-jacent qui conduit ces systèmes à leur point critique. L'équation de Kardar-Parisi-Zhang modélise l'érosion à grande échelle (>2 km), mais ne s'accorde pas aux observations à plus petite échelle. Un modèle différent, tenant compte de l'anisotropie (la pente d'une montagne), fut donc suggéré. À l'aide du NPRG, je montre que ce modèle possède une ligne de points fixes qui correspond à un domaine continu d'exposants d'échelle. / This manuscript is focused on the study of critical phenomena taking place out-of-equilibrium. In the description of such phenomena, Langevin equations are ubiquitous and are usually derived in a phenomenological way by adding a noise term to a deterministic mean-field equation. However, I show that for reaction-diffusion processes it is in fact possible to derive an exact Langevin equation from the microscopic process. A second part of my thesis work has been devoted to the study of specific nonequilibrium critical phenomena using the nonperturbative renormalization group (NPRG), which is a modern implementation of Wilson and Kadanoff's block-spin idea. This tool, very powerful in an equilibrium context, takes care of the growing spatial fluctuations that arise near criticality through the use of a regulator. In a nonequilibrium context, the temporal fluctuations also have to be controlled. I have therefore designed a regulator that tackles both spatial and temporal fluctuations. Finally, I have applied the NPRG techniques to a model of landscape erosion: indeed, the generic scaling behaviour that appear in erosional landscapes suggests the existence of an underlying mechanism naturally fine-tuned to be critical. The Kardar-Parisi-Zhang equation seems to give a correct model for landscape erosion at large length scale (>2 km), but fails to predict the scaling observed at smaller scale. A different model was thus suggested which takes into account the intrinsic anisotropy at smaller length scale (the slope of the mountain). Using NPRG techniques, I show that this model possesses a line of fixed points associated with a continuous range of scaling exponents.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.