FJRW-theory is a recent advancement in singularity theory arising from physics. The FJRW-theory is a graded vector space constructed from a quasihomogeneous weighted polynomial and symmetry group, but it has been conjectured that the theory only depends on the weights of the polynomial and the group. In this thesis, I prove this conjecture using Poincaré polynomials and Koszul complexes. By constructing the Koszul complex of the state space, we have found an expression for the Poincaré polynomial of the state space for a given polynomial and associated group. This Poincaré polynomial is defined over the representation ring of a group in order for us to take G-invariants. It turns out that the construction of the Koszul complex is independent of the choice of polynomial, which proves our conjecture that two different polynomials with the same weights will have isomorphic FJRW rings as long as the associated groups are the same.

Estudamos uma classe de campos de vetores seccionalmente lineares no plano denotada por X. Tais campos aparecem frequentemente em modelos matemáticos aplicados à engenharia. Baseados no trabalho de J. Sotomayor e R. Garcia [SG03], impondo condições sobre as singularidades, órbitas periódicas e separatrizes, definimos um conjunto de campos de vetores que são estruturalmente estáveis em X. Provamos que esse conjunto é aberto, denso e tem medida de Lebesgue total em X, o qual é um espaço vetorial de dimensão finita. / We study a class of piecewise-linear vector fields in the plane denoted by X. These vector fields appear often in mathematical models applied to Engineering. Based on Jorge Sotomayor and Ronaldo Garcia paper [SG03], we impose conditions on singularities, periodic orbits and separatrices, to define a set of vector fields structurally stable in X. We give a proof that this set is open, dense and has full Lebesgue measure in X, that is a finite dimensional vector space.

A voz humana apresenta flutuações na frequência, amplitude e formato de onda. Esse comportamento característico pode ser estudado usando técnicas de análise não linear, além das técnicas convencionais. O objetivo desse trabalho é analisar sinais de vozes normais e patológicas (com nódulos e edemas) usando seção de Poincaré de vários trechos do espaço de fase reconstruído e calcular a dispersão em relação ao ponto médio da seção e em relação à distribuição dos pontos sobre os eixos coordenados. Essa dispersão será calculada utilizando o conceito estatístico de desvio padrão. Foram analisados 48 sinais de voz humanas, divididos em 3 grupos (16 normais, 16 com nódulo e 16 com edema de Reinke). Foram selecionados trechos de 500m do sinal temporal nas regiões de maior estacionariedade, descartando os trechos iniciais e finais do sinal para evitar possíveis transitórios. A partir do espaço de fase bidimensional, a seção de Poincaré foi traçada em 10 trechos distintos da trajetória. Em seguida, foi gerado o espaço de fase em 3 dimensões contendo os pontos da seção. Foi feita uma rotação tridimensional dos pontos utilizando a reta tangente à trajetória de modo que a seção ficasse paralela ao plano x = O. Da seção resultante foram extraídas as componentes principais e em seguida calculado o desvio padrão da dispersão e o desvio padrão dos pontos projetados no plano em relação aos eixos coordenados (y;z). A validação da ferramenta desenvolvida para esse estudo foi realizada utilizando um sinal senoidal inserindo gradativamente Jitter e Shimmer, onde se verificou uma variação proporcional da média da dispersão. Os resultados obtidos para esse conjunto de vozes mostraram que o desvio padrão da dispersão e o desvio padrão em relação aos eixos coordenados dos pontos de vozes normais é menor do que os encontrados para vozes com edema e com nódulo. Concluiu-se que a ferramenta proposta conseguiu diferenciar vozes normais das vozes patológicas. Portanto, a ferramenta é promissora para análise e avaliação desse grupo vozes. / The human voice, normal or pathological, has fluctuations in the frequency, amplitude and waveform. This characteristic behavior can be studied using techniques of nonlinear analysis, in addition to conventional techniques. The aim of this study is to analyze signals of normal and pathological voices (with nodules and edema) using the Poincaré section of several parts of the reconstructed phase space and calculate the dispersion in relation to the midpoint of the section and in relation to the distribution of points on coordinate axes. This dispersion is calculated using the statistical concept of standard deviation. We analyzed 48 human voice signals divided into 3 groups (16 normal, 16 with nodules and 16 with Reinke\'s edema). It was selected 500m signal frames presenting good stationarity, discarding the initial and final portions of the signal to avoid possible transient. From the two-dimensional phase space, the Poincaré section was drawn on 10 different stretches of the path. It was then generated the three-dimensional phase space containing the points of the section. We conducted a three dimensional rotation of the points using the tangent to the trajectory so that the section stayed parallel to the plane. From the resulting section, principal components were extracted and then calculated the standard deviation of the dispersion and the standard deviation of the coordinate axes of the projected points of the section in the plan. The validation tool developed for this study was performed using a sinusoidal signal gradually inserting jitter and shimmer, where there was a proportional variation of the dispersion media. The results for this set of voices showed that the standard deviation of the dispersion and the standard deviation related to the coordinate axes of the points of normal voices is smaller than those found for voices with edema and nodule. It was concluded that the proposal was promising tool for analyzing and evaluating this group voices.

A voz humana apresenta flutuações na frequência, amplitude e formato de onda. Esse comportamento característico pode ser estudado usando técnicas de análise não linear, além das técnicas convencionais. O objetivo desse trabalho é analisar sinais de vozes normais e patológicas (com nódulos e edemas) usando seção de Poincaré de vários trechos do espaço de fase reconstruído e calcular a dispersão em relação ao ponto médio da seção e em relação à distribuição dos pontos sobre os eixos coordenados. Essa dispersão será calculada utilizando o conceito estatístico de desvio padrão. Foram analisados 48 sinais de voz humanas, divididos em 3 grupos (16 normais, 16 com nódulo e 16 com edema de Reinke). Foram selecionados trechos de 500m do sinal temporal nas regiões de maior estacionariedade, descartando os trechos iniciais e finais do sinal para evitar possíveis transitórios. A partir do espaço de fase bidimensional, a seção de Poincaré foi traçada em 10 trechos distintos da trajetória. Em seguida, foi gerado o espaço de fase em 3 dimensões contendo os pontos da seção. Foi feita uma rotação tridimensional dos pontos utilizando a reta tangente à trajetória de modo que a seção ficasse paralela ao plano x = O. Da seção resultante foram extraídas as componentes principais e em seguida calculado o desvio padrão da dispersão e o desvio padrão dos pontos projetados no plano em relação aos eixos coordenados (y;z). A validação da ferramenta desenvolvida para esse estudo foi realizada utilizando um sinal senoidal inserindo gradativamente Jitter e Shimmer, onde se verificou uma variação proporcional da média da dispersão. Os resultados obtidos para esse conjunto de vozes mostraram que o desvio padrão da dispersão e o desvio padrão em relação aos eixos coordenados dos pontos de vozes normais é menor do que os encontrados para vozes com edema e com nódulo. Concluiu-se que a ferramenta proposta conseguiu diferenciar vozes normais das vozes patológicas. Portanto, a ferramenta é promissora para análise e avaliação desse grupo vozes. / The human voice, normal or pathological, has fluctuations in the frequency, amplitude and waveform. This characteristic behavior can be studied using techniques of nonlinear analysis, in addition to conventional techniques. The aim of this study is to analyze signals of normal and pathological voices (with nodules and edema) using the Poincaré section of several parts of the reconstructed phase space and calculate the dispersion in relation to the midpoint of the section and in relation to the distribution of points on coordinate axes. This dispersion is calculated using the statistical concept of standard deviation. We analyzed 48 human voice signals divided into 3 groups (16 normal, 16 with nodules and 16 with Reinke\'s edema). It was selected 500m signal frames presenting good stationarity, discarding the initial and final portions of the signal to avoid possible transient. From the two-dimensional phase space, the Poincaré section was drawn on 10 different stretches of the path. It was then generated the three-dimensional phase space containing the points of the section. We conducted a three dimensional rotation of the points using the tangent to the trajectory so that the section stayed parallel to the plane. From the resulting section, principal components were extracted and then calculated the standard deviation of the dispersion and the standard deviation of the coordinate axes of the projected points of the section in the plan. The validation tool developed for this study was performed using a sinusoidal signal gradually inserting jitter and shimmer, where there was a proportional variation of the dispersion media. The results for this set of voices showed that the standard deviation of the dispersion and the standard deviation related to the coordinate axes of the points of normal voices is smaller than those found for voices with edema and nodule. It was concluded that the proposal was promising tool for analyzing and evaluating this group voices.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 3489954 bytes, checksum: 857373bbfa0d1a2ba6e371f0fab25e09 (MD5) Previous issue date: 2011-04-18 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work was dedicated to classify all the global phase portraits of the quadratic polynomial vector fields having a rational first integral of degree three. For this, techniques were used as blow-up, classification of singular points, invariant curves for a system of ordinary diferential equations and vector fields induced on the sphere. / Este trabalho foi dedicado a determinação global dos retratos de fase, no disco de Poincaré, dos campos vetoriais polinomiais quadráticos que possuem integral primeira racional de grau três. Para determinar o retrato de fase, utilizamos técnicas como blow-up, classi- ficação dos pontos singulares, curvas invariantes para um sistema de equações diferenciais ordinárias e a indução de campos vetoriais sobre a esfera.

Submitted by Franciele Moreira (francielemoreyra@gmail.com) on 2017-12-27T12:48:10Z No. of bitstreams: 2 Tese - Pablo Vandré Jacob Furlan - 2017.pdf: 3620430 bytes, checksum: 7275b5a734d392f78e2829268555ec68 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2017-12-28T09:41:38Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Tese - Pablo Vandré Jacob Furlan - 2017.pdf: 3620430 bytes, checksum: 7275b5a734d392f78e2829268555ec68 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-12-28T09:41:38Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Tese - Pablo Vandré Jacob Furlan - 2017.pdf: 3620430 bytes, checksum: 7275b5a734d392f78e2829268555ec68 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2017-11-27 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work, we establish a new method to calculate the index of curves in a neighborhood of a boundary and we show that the index of a trajectory of a vector field which intersects the boundary at two points is 1/2. Using this method we extended the index definition for discontinuous vector fields with a regular transition manifold and we calculate the index for closed curves that intersect the variety of transition = f−1(0), where f is a differentiable function, and is the union of the regions tangency, sewing, sliding and escaping. We also show that the index for solutions of the discontinuous vector field that are −closed of type 1 and intersect the boundary at 2-point is equal to 1. We also establish an index theory for discontinuous vector fields when the transition manifold is not regular in a point and we show that the index is given by the calculation in its regular regions and add ±1/2, depending on the dynamics at the non-regular point. We apply the theory of index developed in this work and we give quotas for the indices of continuous vector field and for polynomial vector fields on two zones. Finally, we demonstrate a version of the Poincaré-Hopf Theorem for discontinuous vector fields in compact manifolds. / Neste trabalho estabelecemos um novo método para calcular o índice de curvas numa vizinhança do bordo e mostramos que o índice de uma trajetória de um campo vetorial a qual intersecta o bordo em dois pontos é 12 . Utilizando este método estendemos a definição do índice para campos vetoriais descontínuos com variedade de transição regular e calculamos o índice para curvas fechadas que intersectam a variedade de transição = f−1(0), onde f é uma função diferenciável, e é a união das regiões de tangência, de deslize, escape ou costura. Mostramos também que o índice para soluções do campo vetorial descontínuo que são −fechadas do tipo 1 e intersectam o bordo em 2 pontos é igual a 1. Estabelecemos também uma teoria do índice para campos vetoriais descontínuos quando a variedade de transição não é regular em um ponto e mostramos que o índice é dado pelo cálculo em suas regiões regulares e somar ±1 2 , a depender da dinâmica no ponto não regular. Aplicamos a teoria do índice desenvolvida neste trabalho e damos cotas para índices de campos vetoriais contínuos e para campos vetoriais polinomiais por partes. Finalmente, demostramos uma versão do Teorema de Poincaré-Hopf para campos vetoriais descontínuos em variedades compactas.

Estudamos uma classe de campos de vetores seccionalmente lineares no plano denotada por X. Tais campos aparecem frequentemente em modelos matemáticos aplicados à engenharia. Baseados no trabalho de J. Sotomayor e R. Garcia [SG03], impondo condições sobre as singularidades, órbitas periódicas e separatrizes, definimos um conjunto de campos de vetores que são estruturalmente estáveis em X. Provamos que esse conjunto é aberto, denso e tem medida de Lebesgue total em X, o qual é um espaço vetorial de dimensão finita. / We study a class of piecewise-linear vector fields in the plane denoted by X. These vector fields appear often in mathematical models applied to Engineering. Based on Jorge Sotomayor and Ronaldo Garcia paper [SG03], we impose conditions on singularities, periodic orbits and separatrices, to define a set of vector fields structurally stable in X. We give a proof that this set is open, dense and has full Lebesgue measure in X, that is a finite dimensional vector space.

Ce mémoire présente les travaux effectués sur le développement d’un dispositif tout-optique de contrôle de l’état de polarisation de la lumière, appelé attracteur de polarisation. En effet, cette caractéristique de la lumière demeure une variable incontrôlable qui peut dégrader les performances des dispositifs tout-optiques. Basé sur l’interaction non linéaire entre deux ondes contrapropagatives au sein d’une fibre optique, ce dispositif permet de contrôler l’état de polarisation de la lumière sans pertes dépendantes de la polarisation.Il est tout d’abord effectué une étude approfondie des propriétés de l’attracteur de polarisation qui conduit au contrôle et à la stabilisation de l’état de polarisation d’un flux de données optiques aux formats NRZ et RZ cadencé à 10 Gb/s dans des fibres de plusieurs kilomètres. Par la suite, cette fonction de régénération tout-optique est associée à d’autres fonctions de régénération telles que l’amplification Raman et le régénérateur de Mamyshev dans le but de régénérer des flux de données optiques à des débits supérieurs à 10 Gb/s.Enfin, une extension de l’attracteur de polarisation, appelé Omnipolariseur, est étudiée où la lumière interagit avec elle-même grâce à un dispositif de réflexion inséré à l’autre extrémité de la fibre optique. La lumière est alors capable d’auto-organiser son état de polarisation, ce qui démontre la capacité de l’Omnipolariseur par exemple à stabiliser l’état de polarisation d’un flux de données optiques RZ à 40 Gb/s à 1550 nm / This thesis deals with the work the development of an all-optical device for the control of the polarization state of light. Actually, this feature of light remains so far an uncontrolled variable, which can degrade the performances of all-optical systems. Based on nonlinear interaction between two counterpropagating waves inside an optical fiber, this device called polarization attractor allows to control the polarization state of light without polarization dependent losses.In a first part, we carry out extensive studies of the polarization attractor properties leading to the control and the regeneration of the polarization state of the 10-Gb/s NRZ and RZ telecommunication signals. Then, this all-optical regeneration function is associated with other regeneration functions, like Raman amplification and Mamyshev regenerator, in order to regenerate optical telecommunication signals at rates exceeding 10-Gb/s.Finally, we present an extension of polarization attractor, called Omnipolarizer, where the light interacts with herself by means of a reflective element inserted at the opposite end of the optical fiber. In that case, the light is able to organize its own polarization state, demonstrating the ability of Omnipolarizer to stabilize by example the polarization state of a 40-Gb/s RZ telecommunication signal at 1550 nm

Cette thèse est consacrée à l’étude de la linéarisation géométrique locale des systèmes complètement intégrables dans la catégorie C1. Le sujet est la conjecture de linéarisation géométrique proposée (et établie dans le cadre analytique) par Nguyen Tien Zung. Nous commençons par les systèmes linéaires, puis introduisons la normalisation dans la catégorie formelle. Nous montrons qu’un système intégrable peut être décomposé en une partie hyperbolique et une partie elliptique. Nous établissons une bonne forme normale de Poincaré-Dulac pour les champs de vecteurs et discutons sa relation avec la linéarisation géométrique. Nous montrons que les systèmes intégrables faiblement hyperboliques sont géométriquement linéarisables en utilisant les outils de Chaperon. Nous étudions les systèmes intégrables sur les espaces de petite dimension : si celle-ci n’est pas plus grande que 4, alors la plupart des cas sont géométriquement linéarisables ; en particulier, la linéarisation géométrique est possible pour les systèmes intégrables de type de foyer-foyer. Enfin, nous généralisons la démonstration en grande dimension et proposons une condition sur les variétés fortement invariantes, sous laquelle nous linéarisons géométriquement les systèmes. Nous parvenons également à normaliser une action de R × T à plusieurs foyers en nous référant aux idées de Zung. / This thesis is devoted to the local geometric linearization of completely integrable systems in the C1 category. The subject is the geometric linearization conjecture proposed (and proved in the analytic case) by Nguyen Tien Zung. We start from linear systems and introduce normalization in the formal category. Wes how that an integrable system can be decomposed into a hyperbolic part and an elliptic part. We establish a good Poincaré-Dulac normal form for the vector fields and discuss its relation with geometric linearization. We prove that weakly hyperbolic integrable systems are geometrically linearizable byusing Chaperon’s tools. We then study integrable systems on small dimensional spaces: if the dimension is no more than 4, then most cases are geometrically linearizable; in particular,geometric linearization works for integrable system of focus-focus type. Finally, we generalize the proof to high dimensions and propose a condition about strongly invariant manifolds, under which we linearize the systems in the geometric sense. We also manage to normalize an R × T-action of several focuses by referring to the ideas of Zung.

Thesis deals with polarization multiplexing and how birefringence influences polarization multiplexing. It also deals with polarization of light and how it can be described by Stokes and Jones vectors and also with visualiating polarization on Poincaré sphere. It also describes how information is transmitted in optical systems. At the end of the thesis is described design for polarization multiplexing at the lab.