Dans ce travail nous étudions la complexité de certains fragments du mu-calcul selon deux points de vue: l’un syntaxique et l’autre topologique. Dans la première partie nous adoptons le point de vue syntaxique afin d'étudier le comportement du mu-calcul sur des classes restreintes de modèles. Parmi d'autres résultats, nous montrons en particulier que sur les modèles transitifs toute propriété définissable par une formule du mu-calcul est définissable par une formule sans alternance de points fixes. Pour ce qui concerne la perspective topologique, nous montrons d'abord que sur les modèles transitifs la logique modale correspond au fragment borélien du mu-calcul. Ensuite nous donnons une description effective des hiérarchies de Borel et de Wadge d'un sous-fragment sans alternance de cette logique sur les arbres binaires et vérifions que pour ce fragment les points de vue topologique et syntaxique coïncident. / In this work we study the complexity of some fragments of the modal mu-calculus from two points of view: the syntactical and the topological. In the first part of the dissertation we adopt the syntactical point of view in order to study the behavior of this formalism on some restricted classes of models. Among other results, we show that on transitive transition systems, every mu-formula is logically equivalent to an alternation free formula. For what concerns the topological point of view, we first prove that on transitive models, the modal logic is exactly the Borel fragment of the modal mu-calculus. Then we provide an effective description of the Borel and Wadge hierarchies of a sub-fragment of the alternation free fragment of the mu-calculus on binary trees. Finally we verify that for this fragment the syntactical point of view and topological point of view coincide.

Le domaine de cette thèse est la déduction automatique, c.-à-d. le développement d'algorithmes dont le but est de prouver automatiquement des conjectures mathématiques. Dans cette thèse, les conjectures que nous voulons prouver appartiennent à une extension de la logique propositionnelle, appelée "schémas de formules". Ces objets permettent de représenter de façon finie une infinité de formules propositionnelles (de même que, p.ex., les langages réguliers permettent de représenter de façon finie des ensembles infinis de mots). Démontrer un schéma de formules revient alors à démontrer (en une fois) l'infinité de formules qu'il représente. Nous montrons que le problème de démontrer des schémas de formules est indécidable en général. La suite de la thèse s'articule autour de la définition d'algorithmes essayant tout de même de prouver automatiquement des schémas (mais, bien sûr, qui ne terminent pas en général). Ces algorithmes nous permettent d'identifier des classes décidables de schémas, c.-à-d. des classes pour lesquelles il existe un algorithme qui termine sur n'importe quelle entrée en répondant si le schéma est vrai ou pas. L'un de ces algorithmes a donné lieu à l'implémentation d'un prototype. Les méthodes de preuves présentées mélangent méthodes de preuve classiques en logique propositionnelle (DPLL ou tableaux sémantiques) et raisonnement par récurrence. Le raisonnement par récurrence est effectuée par l'utilisation de "preuves cycliques", c.-à-d. des preuves infinies dans lesquelles nous détectons des cycles. Dans ce cas, nous pouvons ramener les preuves infinies à des objets finis, ce que nous pouvons appeler des "schémas de preuves".

Cette thèse propose une approche à la spécification et preuve des propriétés de vivacité<br />avec hypothèses d'équité en B événementiel et présente une sémantique pour ces propriétés<br />fondée sur de points fixes de transformateurs d'ensembles. La proposition utilise une logique<br />de programmation issue de la logique unity pour spécifier et vérifier des propriétés de vivacité<br />sous des hypothèses de progrès minimal et d'équité faible et présente des règles pour préserver<br />ces propriétés dans les raffinements. La sémantique de points fixes nous permet de faire<br />équivalentes les notions d'atteignabilité sous les hypothèses d'équité et de terminaison de<br />l'itération d'événements. Cela nous permet de prouver la correction et la complétude des<br />règles permettant la dérivation des propriétés de vivacité. En outre, cela donne les fondements<br />pour prouver la correction des règles permettant la vérification des propriétés de vivacité et<br />des règles permettant la préservation de la vivacité sous raffinement.

Dans les années quatre-vingts dix du siècle dernier, R. W. Thomason a démontréun théorème de concentration pour la K-théorie équivariante algébrique sur lesschémas munis d'une action d'un groupe algébrique G diagonalisable. Comme d'habitude,un tel théorème entraîne une formule des points fixes de type Lefschetz qui permetde calculer la caractéristique d'Euler-Poincaré équivariante d'un G-faisceau cohérent surun G-schéma propre en termes d'une caractéristique sur le sous-schéma des points fixes.Le but de cette thèse est de généraliser les résultats de R.W. Thomason dans le contextede la géométrie d'Arakelov. Dans ce travail, nous considérons les schémas arithmétiquesau sens de Gillet-Soulé et nous tout d'abord démontrons un analogue arithmétiquedu théorème de concentration pour les schémas arithmétiques munis d'une action duschéma en groupe diagonalisable associé à Z/nZ. La démonstration résulte du théorèmede concentration algébrique joint à des arguments analytiques. Dans le dernier chapitre,nous formulons et démontrons deux types de formules de Lefschetz arithmétiques. Cesdeux formules donnent une réponse positive à deux conjectures énoncées par K. Köhler,V. Maillot et D. Rössler.

Dans cette thèse nous présentons dans un premier temps une nouvelle notion de différentiabilité généralisée pour les applications multivoques, faisant intervenir des applications positivement homogènes: la H-différentiabilité. Nous étudions la stabilité de cette notion en utilisant la convergence de Fischer, d'abord dédiée aux ensembles mais que nous avons adaptée aux applications multivoques. Nous nous intéressons ensuite à l'étude de la dépendance continue des ensembles de points fixes d'une application multivoque contractante par rapport aux données. Finalement nous analysons la convergence d'une méthode d'approximations successives de type forward-backward splitting, des zéros de la somme de deux opérateurs multivoques non monotones, jouissants notamment de propriétés de pseudo H-différentiabilité / In this thesis we present at first a new concept of generalized differentiation for setvalued mappings, involving positively homogeneous applications: the H-differentiability. We study the stability of this notion by using Fischer convergence,firstly dedicated to sets but which we have adapted to set-valued mappings. We establish the continuous dependence of fixed points sets of set-valued contraction and finally we study the convergence of a forward-backward splitting method for approximating the zeros of the sum of two non-monotone set-valued mappings, notably using properties of pseudo H-differentiability.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Le théorème de Burke est un résultat classique en théorie des files d'attente. Il établit que le processus de départ d'une file M/M/1 est un processus de Poisson de même intensité que le processus des arrivées. Nous présentons des extensions de ce résultat à la file d'attente et au modèle de stockage. Nous abordons ensuite l'étude de ces systèmes en tandem et en régime transitoire. Nous prouvons que les équations qui régissent la dynamique des deux systèmes (file d'attente et modèle de stockage) sont les mêmes alors que les variables pertinentes sont différentes selon le modèle qui nous intéresse. En utilisant des analogies entre ces systèmes et l'algorithme de Robinson-Schensted-Knuth, nous donnons une preuve élégante de la propriété de symétrie de chacun des deux systèmes. Nous nous intéressons également aux corrélations entre les services des clients successifs au sein d'une période d'activité. Nous revenons par la suite au théorème de Burke que l'on peut voir comme étant un résultat de point fixe: le processus de Poisson est un point fixe pour la file d'attente avec des lois de service exponentielles. Nous prouvons des résultats de points fixes dans le cadre des grandes déviations où les variables d'entrée sont décrites par le biais de leurs fonctions de taux.

Dans les années quatre-vingts dix du siècle dernier, R. W. Thomason a démontréun théorème de concentration pour la K-théorie équivariante algébrique sur lesschémas munis d’une action d’un groupe algébrique G diagonalisable. Comme d’habitude,un tel théorème entraîne une formule des points fixes de type Lefschetz qui permetde calculer la caractéristique d’Euler-Poincaré équivariante d’un G-faisceau cohérent surun G-schéma propre en termes d’une caractéristique sur le sous-schéma des points fixes.Le but de cette thèse est de généraliser les résultats de R.W. Thomason dans le contextede la géométrie d’Arakelov. Dans ce travail, nous considérons les schémas arithmétiquesau sens de Gillet-Soulé et nous tout d’abord démontrons un analogue arithmétiquedu théorème de concentration pour les schémas arithmétiques munis d’une action duschéma en groupe diagonalisable associé à Z/nZ. La démonstration résulte du théorèmede concentration algébrique joint à des arguments analytiques. Dans le dernier chapitre,nous formulons et démontrons deux types de formules de Lefschetz arithmétiques. Cesdeux formules donnent une réponse positive à deux conjectures énoncées par K. Köhler,V. Maillot et D. Rössler. / In the nineties of the last century, R. W. Thomason proved a concentrationtheorem for the algebraic equivariant K-theory on the schemes which are endowed withan action of a diagonalisable group scheme G. As usual, such a concentration theoreminduces a fixed point formula of Lefschetz type which can be used to calculate theequivariant Euler-Poincaré characteristic of a coherent G-sheaf on a proper G-schemein terms of a characteristic on the fixed point subscheme. It is the aim of this thesis togeneralize R. W. Thomason’s results to the context of Arakelov geometry. In this work,we consider the arithmetic schemes in the sense of Gillet-Soulé and we first prove anarithmetic analogue of the concentration theorem for the arithmetic schemes endowedwith an action of the diagonalisable group scheme associated to Z/nZ. The proof is acombination of the algebraic concentration theorem and some analytic arguments. Inthe last chapter, we formulate and prove two kinds of arithmetic Lefschetz formulae.These two formulae give a positive answer to two conjectures made by K. Köhler, V.Maillot and D. Rössler.

Les gens infectés par la rougeole subissent une suppression immunitaire. Ce mémoire porte sur l’influence de cette caractéristique de la rougeole sur un autre pathogène, ici la grippe. Il s’agit donc de modéliser la réponse immunitaire d’une interaction virus-virus, problème d’une grande pertinence durant la pandémie causée par le SRAS-CoV-2 alors que les interactions de celui-ci avec le virus de l’influenza demeurent à déterminer. Nous avons également que la grippe augmente la production d’autres pathogènes. Un modèle de chaque pathogène va être développé et analysé. On cherchera les points fixes, leurs conditions de stabilité et on observera quelques résultats numériques pour constater leurs évolutions dans le temps. Ensuite un modèle suivant l’évolution des deux pathogènes ayant infecté un individu au même moment sera conçu. Dans ce modèle nous inclurons les interactions d’un pathogène l’un sur l’autre pour déterminer théoriquement les effets chez les individus infectés à la fois par la grippe et la rougeole. On pourra par la suite comparer entre les différentes populations lorsqu’il n’y a aucune interaction et avec les différentes interactions entre les deux pathogènes. / People infected with measles experience immune suppression. This work focuses on the influence of this characteristic of measles on another pathogen, here the flu. We also have that the flu will increase the production of other pathogens in a co-infection model. Modeling the immune response to such virus-virus interaction is currently of signficant relevance, given the limited knowledge on SARS-CoV-2/influenza interactions. A model of each pathogen will be developed and analysed. We will look for the fixed points, conditions for their stability and we will observe some numerical results of their evolution over time. Then a model following the evolution of the two pathogens having simultaneously infected an individual will be designed. In this model we will include the interactions of the pathogens on each other to theoretically determine the effects in individuals infected with both influenza and measles. Then we can compare between the different populations when there is no interaction and with the different interactions between the two pathogens.

On s’intéresse à la dynamique dans un voisinage d’un point fixe d’une fonction antiholomorphe d’une variable. Dans un premier temps, on cherche à décrire et à comprendre l’espace des orbites dans un voisinage d’un point fixe multiple, appelé point parabolique, et à explorer les propriétés géométriques préservées par les changements de coordonnée. En particulier, on résout le problème de classification analytique des points paraboliques. Résoudre ce problème consiste à définir un module de classification complet qui permet de déterminer si deux germes de difféomorphismes antiholomorphes sont analytiquement conjugués dans un voisinage de leur point fixe parabolique. On examine également les applications du module à différents problèmes : i) extraction d’une racine n-ième antiholomorphe, ii) existence d’une courbe analytique invariante sous la dynamique d’un germe antiholomorphe parabolique et iii) centralisateur d’un germe antiholomorphe parabolique. Dans un second temps, on étudie les déploiements génériques d’un point fixe double, soit un point parabolique de codimension 1. Les questions sont de nature similaire, à savoir comprendre l’espace des orbites et les propriétés géométriques des déploiements. Afin de classifier les déploiements génériques, on déploie le module de classification pour les points paraboliques, ce qui permet d’obtenir des conditions nécessaires et suffisantes pour déterminer lorsque deux déploiements génériques sont équivalents. / We are interested in the dynamics in a neighbourhood of a fixed point of an antiholomorphic function of one variable. First, we want to describe and understand the space of orbits in a neighbourhood of a multiple fixed point, called a parabolic point, and to explore the geometric properties preserved by changes of coordinate. In particular, we solve the problem of analytical classification of parabolic fixed points. To solve this problem, we define a complete modulus of classification that allows to determine whether two germs of antiholomorphic diffeomorphisms are analytically conjugate in a neighbourhood of their parabolic fixed point. We also consider the applications of the modulus to different problems: i) extraction of an n-th antiholomorphic root, ii) existence of an invariant real analytical curve under the dynamics of a parabolic antiholomorphic germ, and iii) centraliser of a parabolic antiholomorphic germ. In the second part, we study generic unfoldings of a double fixed point, i.e. a parabolic point of codimension 1. The questions are similar in nature, namely to understand the space of orbits and the geometric properties of unfoldings. In order to classify generic unfoldings, the modulus of classification of the parabolic point is unfolded, thus providing the necessary and sufficient conditions to determine when two generic unfoldings are equivalent.