Le théorème d'uniformisation locale est un résultat important en théorie des singularités. Connu en caractéristique nulle, il reste ouvert en caractéristique positive. Dans cette thèse, nous donnons une version simultanée de ce théorème en caractéristique nulle. On considère R un anneau local régulier muni d'une valuation centrée en son idéal maximal. Nous démontrons l'uniformisation locale par monomialisation simultanée des éléments de R. La preuve apportée ici est nouvelle et riche de trois choses : tout d'abord, nous monomialisons tous les éléments avec la même suite d'éclatements. De plus, cette suite est explicite et nous connaissons les coordonnées pas à pas. Pour finir, nous ne faisons aucune supposition sur le rang de la valuation. Afin de faire cela, nous utilisons une théorie intimement liée à la théorie des valuations : celle des éléments clefs, une généralisation des polynômes clefs, qui est détaillée dans le deuxième chapitre du manuscrit. On y donne une nouvelle définition des polynômes clefs et on étudie leur rapport précis avec les polynômes clefs de MacLane et Vaquié. Enfin, le dernier chapitre est dédié à un cadre plus général : celui des anneaux locaux d'équicaractéristique nulle quasi-excellents intègres. Dans ce cas, la théorie des éléments clefs, bien que nécessaire, n'est plus suffisante. Il nous faudra utiliser l'idéal premier implicite H d'un tel anneau R et montrer que l'on peut réduire l'étude à la régularisation du quotient du complété de R par H. / The local uniformization theorem is an important result in theory of singularities. Known in characteristic zero, it is an open problem in positive characteristic. In this thesis, we give a simultaneous version of this theorem in zero characteristic. We consider a regular local ring R with a valuation centered in its maximal ideal. We prove the local uniformization theorem by monomializing simultaneously the elements of R. The proof given is new and rich in three respects : first, we monomialize every element with the same sequence of blow-ups. Furthermore, this sequence is explicit and we know the coordinates at each step. In addition, the construction is independent of any hypothesis on the rank of the valuation. To this end, we use a theory intimately linked to that of valuations based on the notion of key elements, a generalization of key polynomials, which is explained in detail in the second chapter of this manuscript. We give a new definition of key polynomials and we study their precise relation with key polynomials of Mac Lane and Vaquié. The last chapter is devoted to the more general framework of local quasi-excellent domains of equicharacteristic zero. In this case, although still necessary, the theory of key elements is no longer sufficient. We need to use the implicit prime ideal H of such a ring R and show that the problem can be reduced to the desingularisation of the quotient of the completion of R by H.

Orientador: Maria Sueli Marconi Roversi / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-25T09:45:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Moretti_ValmirRoberto_M.pdf: 2353079 bytes, checksum: 10961b82279a11922bc9d4a4742d129f (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Neste trabalho apresentamos um estudo dos métodos algébricos para a resolução de equações polinomiais de grau menor ou igual do que quatro. Inicialmente fazemos um estudo dos principais conceitos e resultados da teoria dos polinômios, que é de fundamental importância para o objeto de nossa pesquisa. Como não temos por objetivo o aprofundamento desse assunto, algumas demonstrações foram omitidas. Em seguida, apresentamos um breve relato da história dos processos resolutivos de equações polinomiais, começando pelo estudo do método da falsa posição - utilizado pelos escribas do antigo Egito - passando pelo método geométrico de resolução de uma equação de segundo grau de al-Khwarizmi no século IX, e finalizando na Europa renascentista do século XVI com a dedução das fórmulas resolutivas para as equações polinomiais de terceiro e quarto graus. Encerramos este trabalho com a apresentação de uma proposta de atividades para o estudo dessas equações no Ensino Fundamental e Médio, elaboradas com a intenção de propiciar não só a aprendizagem significativa desse conteúdo como também contribuir para o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas. Na redação deste trabalho tivemos a preocupação de primar pela clareza da exposição, a fim de tornar a leitura agradável e acessível, sobretudo para os professores que estão distantes das universidades e almejam ampliar seu conhecimento e aprimorar sua prática pedagógica / Abstract: In this research we present a study of algebraic methods for solving polynomial equations of degree less than or equal four. First of all we made a study of the major concepts and results of the theory of polynomials, which is especially important for the object of our study. Some statements were omitted because our aim is not to go into to this matter any further. Following, we present a brief account of the history of solving cases of polynomial equations, starting with the study of the false position method - used by the scribes of ancient Egypt - making use of geometric method for solving an equation of the second degree of al - Khwarizmi in the ninth century and ending in Renaissance Europe of the sixteenth century with the deduction of solving formulas for polynomial equations of third and fourth degrees. We, then, conclude this work by presenting activities for the study of these equations in elementary and high schools. These activities are compiled with the intention of not only provide significant learning as well as be used like aimed at enhancing capacities, knowledge and problem-solving skills. In this work, we concern for the clear account in order to assure pleasant and accessible reading, especially for those teachers who are far from universities, nonetheless they wish to enlarge their knowledge and develop their skills of new approaches in teaching / Mestrado / Matemática em Rede Nacional / Mestre em Matemática em Rede Nacional

Neste trabalho, apresentamos um método computacional rigoroso para a demonstração de existência de órbitas periódicas de alguns sistemas de equações diferenciais ordinárias com campo autônomo do tipo polinomial. Mostraremos que o problema de encontrar órbitas periódicas para esses sistemas de equações é equivalente a buscar por raízes de certas funções definidas no espaço de Banach das sequências com decaimento algébrico. O método pode ser dividido em duas etapas. Na primeira, buscamos numericamente por soluções periódicas aproximadas. Na segunda, mostraremos a existência de uma órbita periódica numa vizinhança da curva encontrada numericamente. O rigor das verificações computacionais é garantido pelo uso de aritimética intervalar. / In this work, we present a rigorous computational method for proving the existence of periodic orbits of some systems of ordinary differential equations with autonomous vector field of polynomial type. We show that the problem of finding periodic orbits for these systems is equivalent to check for roots of certain functions defined in the Banach space of sequences with algebraic decay. The method can be divided into two steps. First, we seek, numerically, to approximated periodic solutions. Then, we show the existence of a periodic orbit in a neighborhood of the curve numerically found in the previous stage. The accuracy of the computational verifications is guaranteed by the use of interval arithmetic.