Os caleidociclos têm sido utilizados como forma artística de apresentação de imagens, pinturas ou como parte de trabalhos artísticos, principalmente de imagens com simetrias; talvez os mais conhecidos sejam os trabalhos de M. C. Escher. As poucas publicações encontradas da teoria matemática envolvida nos caleidociclos dão base para imaginar e criar aplicações no desenvolvimento de habilidades e competências trabalhadas na escola. Para aumentar as possibilidades de aplicações de conceitos, teoremas e relações matemáticas estudadas no ensino básico, o presente trabalho apresenta algumas propostas de atividades utilizando os caleidociclos. As propostas foram elaboradas de acordo com o nível de ensino, ou seja, simetrias para o 7o ano, teorema de Pitágoras para os 8o e 9o anos do Ensino Fundamental, lei dos cossenos e relação fundamental da trigonometria para a 1a série e volume e área de superfície de sólidos geométricos para 2a série do Ensino Médio; algumas das propostas apresentam variações para se adequar ao nível de desenvolvimento em que a turma se encontra. Todos os moldes utilizados e outras possibilidades de caleidociclos, incluindo sólidos encaixantes aos caleidociclos, foram organizados ao final deste trabalho em um dos apêndices. Há também um apêndice com outros tipos de sólidos geométricos com movimentos, que podem ser usados no mesmo intuito de aplicação diferenciada da geometria espacial. / Kaleidocycles have been used asan artistic formof presentation of pictures, paintings or a part of artworks, especially images with symmetries; perhaps the best known works are M. C. Eschers. The few finded publications of the mathematical theory related to these three-dimensional rings give rise to imagine and create applications for developing skills to be worked in classroom. In order to increase the possibility of applications of concepts, theorems and mathematical relations, the present work proposes some activities dealing with kaleidocycles. The proposals were prepared in accordance with the students level of education, i.e., symmetries for the7th grade, the Pythagorean theorem for the 8th and 9th grades, law of cosines and the fundamental relation of trigonometry, volume and surface area of geometric solids for high school students; some of the proposals have variations to suit the level of development in which the class is at. All the molds used and other possibilities of kaleidocycles, including solids which fit into kaleidocycles, were organized at the end of this dissertation in one of the appendices. There is also an appendix with other types of mobile geometric solids that can be used in the same purpose in different applications of spatial geometry.

Os caleidociclos têm sido utilizados como forma artística de apresentação de imagens, pinturas ou como parte de trabalhos artísticos, principalmente de imagens com simetrias; talvez os mais conhecidos sejam os trabalhos de M. C. Escher. As poucas publicações encontradas da teoria matemática envolvida nos caleidociclos dão base para imaginar e criar aplicações no desenvolvimento de habilidades e competências trabalhadas na escola. Para aumentar as possibilidades de aplicações de conceitos, teoremas e relações matemáticas estudadas no ensino básico, o presente trabalho apresenta algumas propostas de atividades utilizando os caleidociclos. As propostas foram elaboradas de acordo com o nível de ensino, ou seja, simetrias para o 7o ano, teorema de Pitágoras para os 8o e 9o anos do Ensino Fundamental, lei dos cossenos e relação fundamental da trigonometria para a 1a série e volume e área de superfície de sólidos geométricos para 2a série do Ensino Médio; algumas das propostas apresentam variações para se adequar ao nível de desenvolvimento em que a turma se encontra. Todos os moldes utilizados e outras possibilidades de caleidociclos, incluindo sólidos encaixantes aos caleidociclos, foram organizados ao final deste trabalho em um dos apêndices. Há também um apêndice com outros tipos de sólidos geométricos com movimentos, que podem ser usados no mesmo intuito de aplicação diferenciada da geometria espacial. / Kaleidocycles have been used asan artistic formof presentation of pictures, paintings or a part of artworks, especially images with symmetries; perhaps the best known works are M. C. Eschers. The few finded publications of the mathematical theory related to these three-dimensional rings give rise to imagine and create applications for developing skills to be worked in classroom. In order to increase the possibility of applications of concepts, theorems and mathematical relations, the present work proposes some activities dealing with kaleidocycles. The proposals were prepared in accordance with the students level of education, i.e., symmetries for the7th grade, the Pythagorean theorem for the 8th and 9th grades, law of cosines and the fundamental relation of trigonometry, volume and surface area of geometric solids for high school students; some of the proposals have variations to suit the level of development in which the class is at. All the molds used and other possibilities of kaleidocycles, including solids which fit into kaleidocycles, were organized at the end of this dissertation in one of the appendices. There is also an appendix with other types of mobile geometric solids that can be used in the same purpose in different applications of spatial geometry.

The thesis deals with stochastic and algebraic aspects of the integer convex hull. In the first part, the intrinsic volumes of the randomized integer convex hull are investigated. In particular, we obtained an exact asymptotic order of the expected intrinsic volumes difference in a smooth convex body and a tight inequality for the expected mean width difference. In the algebraic part, an exact formula for the Bhattacharya function of complete primary monomial ideas in two variables is given. As a consequence, we derive an effective characterization for complete monomial ideals in two variables.

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, die technologischen Schritte für die Herstellung eines geschlossenzelligen metallischen Werkstoffs aus Stahl zu untersuchen. Das Eigenschaftsbild dieses neuartigen zellular aufgebauten Werkstoffs soll umfassend beschrieben und mit bereits existierenden Werkstoffkonzepten verglichen werden. Die Grundidee für die Herstellung einer geschlossenzelligen Struktur bildet die Kombination der Technologie zur Herstellung von metallischen Hohlkugeln und Hohlkugelstrukturen mit dem Herstellungsprozesses für Partikelschäume aus expandierbarem Polystyrol (EPS). Dazu ist es notwendig zunächst Grünkugeln herzustellen, wie bei der Technologie der Hohlkugeln, wobei jedoch ein treibmittelhaltiges EPS zum Einsatz kommt, das mit einer Beschichtung aus Metallpulver und Binder versehen wird. Anschließend sollen die Grünkugeln in einer geschlossenen Form zum expandieren gebracht werden. Dazu wird, wie bei der Partikelschaumtechnologie für Teile aus expandierbarem Polystyrol (EPS), Wasserdampf verwendet. Der durch den Temperaturanstieg und das Treibmittel der EPS-Partikel in den Grünkugeln entstehende Innendruck führt zum Aufschäumen und zur Expansion jeder Grünkugel. In der Folge ändert jede Kugel ihre Form so lange, bis sie mit allen Nachbarn einen flächigen, stabilen Kontakt bildet. Der auf diesem Weg erzeugte Grünkörper kann dann entformt und getrocknet werden. Wie bei der Hohlkugeltechnologie muss nachträglich das EPS durch die thermische Entbinderung entfernt und das Metallpulverskelett zu dichten Zellwänden gesintert werden. Für die Umsetzung dieser Idee ist es erforderlich, ein geeignetes Bindersystem für die Metallpulver-Binder-Beschichtung zu entwickeln, welches die Formänderung während des Schäumprozess unbeschädigt übersteht, sowie den Schäumprozess entsprechend anzupassen. Damit wäre die Möglichkeit gegeben, einen geschlossenzelligen metallischen Werkstoff herzustellen. Er würde die Vorteile einer geschlossenzelligen Struktur und die Materialvielfalt der pulvermetallurgischen Technologie der Hohlkugelherstellung (insbesondere in Bezug auf Stähle und andere höherschmelzende Werkstoffe) miteinander verbinden. In Vorversuchen wurde bereits gezeigt, dass die der Arbeit zugrunde liegenden Ideen realisierbar sind. Mit der vorliegenden Arbeit wird jedoch erstmals die vollständige Kette der technologischen Schritte hinsichtlich der relevanten Einflussgrößen untersucht, wobei großen Wert auf eine Umsetzbarkeit auch im industriellen Maßstab gelegt wird. Für den praktischen Einsatz des geschlossenzelligen Metallschaums sind seine mechanischen Kennwerte, sowie die sie beeinflussenden Herstellungsparameter von grundlegender Bedeutung. Dazu soll die Charakterisierung der zellularen Struktur und des Gefüges des Zellwandmaterials erfolgen. Hauptsächlich soll das Verformungsverhalten mit Hilfe von Druckversuchen untersucht werden. Die Festigkeitskennwerte, das Energieabsorptionsvermögen und die Steifigkeit des zellularen Werkstoffes sind weitere zu untersuchende Kenngrößen. Anhand der Ergebnisse wird eine Einordnung gegenüber dem Stand der Technik der Metallschäume vorgenommen.

This study was carried out to investigate the effect of using animated computer 3-D figures illustration (ACTDFI) in the learning of polyhedron in geometry. By random sampling, intact group of four grade 9 classes in four different schools from a cluster of four educational district schools of Limpopo province in South Africa were selected. The study involved quasi-experimental and inquiry research approaches, the quasi-experimental approach involved pre and posttest design while the inquiry research approach involve classroom observation. There were three experimental groups and a control group with a total of 174 study participants. ACTDFI was used as an intervention for two weeks in the three experimental groups while in the control group, chalk-talk traditional teaching approach was used. Pre-test and post-test was used to collect quantitative data while classroom observation was used to collect qualitative data. This study was carried out to investigate the effect of using animated computer 3-D figures illustration (ACTDFI) in the learning of polyhedron in geometry. By random sampling, intact group of four grade 9 classes in four different schools from a cluster of four educational district schools of Limpopo province in South Africa were selected. The study involved quasi-experimental and inquiry research approaches, the quasi-experimental approach involved pre and posttest design while the inquiry research approach involve classroom observation. There were three experimental groups and a control group with a total of 174 study participants. ACTDFI was used as an intervention for two weeks in the three experimental groups while in the control group, chalk-talk traditional teaching approach was used. Pre-test and post-test was used to collect quantitative data while classroom observation was used to collect qualitative data. The findings from the quantitative Classroom observations were carried out to collect relevant data on how the study participants were taught stationary points in differential calculus, especially with the use of the constructivist pedagogical approach. A suitable observation checklist was developed for this purpose (Appendix 6 refers). Classroom observation checklist is a list of factors to be considered while observing a class. It gives a structure and framework for the observation. suggested that the use of ACTDFI might have improved academic achievement in learning of polyhedron during the intervention, while the qualitative data analysis indicated that the use of ACTDFI in the experimental groups might have facilitated the learning of the concepts of polyhedron. It is therefore recommended that further research is necessary on the application of ACTDFI in the teaching of 3-dimensional shapes at the primary schools / Mathematics Education / M. Sc. (Mathematics Education)

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, die technologischen Schritte für die Herstellung eines geschlossenzelligen metallischen Werkstoffs aus Stahl zu untersuchen. Das Eigenschaftsbild dieses neuartigen zellular aufgebauten Werkstoffs soll umfassend beschrieben und mit bereits existierenden Werkstoffkonzepten verglichen werden. Die Grundidee für die Herstellung einer geschlossenzelligen Struktur bildet die Kombination der Technologie zur Herstellung von metallischen Hohlkugeln und Hohlkugelstrukturen mit dem Herstellungsprozesses für Partikelschäume aus expandierbarem Polystyrol (EPS). Dazu ist es notwendig zunächst Grünkugeln herzustellen, wie bei der Technologie der Hohlkugeln, wobei jedoch ein treibmittelhaltiges EPS zum Einsatz kommt, das mit einer Beschichtung aus Metallpulver und Binder versehen wird. Anschließend sollen die Grünkugeln in einer geschlossenen Form zum expandieren gebracht werden. Dazu wird, wie bei der Partikelschaumtechnologie für Teile aus expandierbarem Polystyrol (EPS), Wasserdampf verwendet. Der durch den Temperaturanstieg und das Treibmittel der EPS-Partikel in den Grünkugeln entstehende Innendruck führt zum Aufschäumen und zur Expansion jeder Grünkugel. In der Folge ändert jede Kugel ihre Form so lange, bis sie mit allen Nachbarn einen flächigen, stabilen Kontakt bildet. Der auf diesem Weg erzeugte Grünkörper kann dann entformt und getrocknet werden. Wie bei der Hohlkugeltechnologie muss nachträglich das EPS durch die thermische Entbinderung entfernt und das Metallpulverskelett zu dichten Zellwänden gesintert werden. Für die Umsetzung dieser Idee ist es erforderlich, ein geeignetes Bindersystem für die Metallpulver-Binder-Beschichtung zu entwickeln, welches die Formänderung während des Schäumprozess unbeschädigt übersteht, sowie den Schäumprozess entsprechend anzupassen. Damit wäre die Möglichkeit gegeben, einen geschlossenzelligen metallischen Werkstoff herzustellen. Er würde die Vorteile einer geschlossenzelligen Struktur und die Materialvielfalt der pulvermetallurgischen Technologie der Hohlkugelherstellung (insbesondere in Bezug auf Stähle und andere höherschmelzende Werkstoffe) miteinander verbinden. In Vorversuchen wurde bereits gezeigt, dass die der Arbeit zugrunde liegenden Ideen realisierbar sind. Mit der vorliegenden Arbeit wird jedoch erstmals die vollständige Kette der technologischen Schritte hinsichtlich der relevanten Einflussgrößen untersucht, wobei großen Wert auf eine Umsetzbarkeit auch im industriellen Maßstab gelegt wird. Für den praktischen Einsatz des geschlossenzelligen Metallschaums sind seine mechanischen Kennwerte, sowie die sie beeinflussenden Herstellungsparameter von grundlegender Bedeutung. Dazu soll die Charakterisierung der zellularen Struktur und des Gefüges des Zellwandmaterials erfolgen. Hauptsächlich soll das Verformungsverhalten mit Hilfe von Druckversuchen untersucht werden. Die Festigkeitskennwerte, das Energieabsorptionsvermögen und die Steifigkeit des zellularen Werkstoffes sind weitere zu untersuchende Kenngrößen. Anhand der Ergebnisse wird eine Einordnung gegenüber dem Stand der Technik der Metallschäume vorgenommen.:1 Ziel der Arbeit 1 2 Einführung – zellulare Materialien 3 2.1 Herstellung zellularer metallischer Werkstoffe 4 2.2 Pulvermetallurgische Verfahren zur Herstellung von Schäumen aus höherschmelzenden Werkstoffen (Stahl, Titan, …) 8 2.2.1 Pressen von Metallpulver-Treibmittel-Mischungen 8 2.2.2 Pressen von Metallpulver-Platzhalter-Mischungen 9 2.2.3 Schaumherstellung mit Metallpulver-Polymer-Mischungen 9 2.2.4 Beschichtung von Trägerstrukturen 10 2.2.5 Technologie zur Herstellung von Hohlkugelstrukturen 11 2.3 Eigenschaften zellularer metallischer Werkstoffe 13 2.4 Die Struktur zellularer metallischer Werkstoffe 14 2.4.1 Mikrostruktur 15 2.4.2 Mesostruktur 16 2.4.3 Makrostruktur 16 2.5 Mechanische Eigenschaften 17 2.5.1 Einleitung 17 2.5.2 Mechanische Prüfung 19 2.5.3 Verformung und Versagen 20 2.5.4 E-Modul und Steifigkeit 22 2.5.4.1 Theoretische Betrachtung 22 2.5.4.2 Praktische Bestimmung der Steifigkeit 24 2.5.5 Einfluss der Strukturebenen auf das mechanische Verhalten 25 2.5.5.1 Makroskopische Parameter 26 2.5.5.2 Einfluss der mikroskopischen Parameter 27 2.5.5.3 Einfluss der mesoskopischen Parameter 28 2.6 Zusammenfassung 31 3 Konzept zur Herstellung eines geschlossenzelligen metallischen Werkstoffs 33 4 Nachweis der Herstellbarkeit einer geschlossenzelligen Struktur 37 4.1 Experimentelle Arbeiten 37 4.1.1 Verwendete Materialien 37 4.1.2 Beschichtung 38 4.1.3 Formgebung - Ausschäumen 38 4.1.4 Wärmebehandlung 39 4.2 Ergebnisse 39 4.3 Zusammenfassung 40 5 Formschäumen 43 5.1 Formteilherstellung aus expandierbarem Polystyrol (EPS) 43 5.2 Überlegungen zum Formschäumen von Grünkugeln 44 5.3 Anforderungen an das Bindersystem beim Formschäumen 44 5.4 Entwicklung des Versuchsstandes 46 5.4.1 Konstruktion des Formwerkzeuges 46 5.4.2 Dampfbereitstellung 48 6 Verfahrensexperimente 49 6.1 Ausgangsmaterialien 49 6.1.1 Metallpulver 49 6.1.2 Expandierbares Polystyrol (EPS) 49 6.1.3 Binder 50 6.2 Grünkugelherstellung 51 6.2.1 Substrataufbereitung 51 6.2.2 Suspensionen 52 6.2.3 Grünkugelherstellung – Beschichtung des EPS 53 6.2.4 Charakterisierung der EPS-Partikel und Grünkugeln 54 6.3 Formschäumen 55 6.3.1 Formschäumen von unbeschichtetem EPS 55 6.3.1.1 Schäumen mit dem Dampfkessel 55 6.3.1.2 Schäumen mit dem Dampferzeuger 56 6.3.1.3 Schäumkraftmessung an EPS- Formkörpern 56 6.3.2 Formkörperherstellung – Formschäumen mit Grünkugeln 57 6.3.2.1 Formschäumen mit Dampfkessel 58 6.3.2.2 Formschäumen mit Dampferzeuger 58 6.4 Untersuchungen an ausgewählten Metallpulver-Binder-Folien 58 6.4.1 Herstellen der Folien durch das Foliengießen 58 6.4.2 Zugversuche an Folien 59 7 Ergebnisse der Formgebung und Grünkörperherstellung 61 7.1 Formschäumen mit EPS-Partikeln 61 7.1.1 Vorgeschäumtes EPS 61 7.1.2 Formkörper aus unbeschichtetem EPS 62 7.1.3 Schäumkraftmessung an EPS-Formkörpern 63 7.1.4 Anzahl der Kontaktflächen geschäumter Partikel 65 7.2 Formschäumen mit Grünkugeln 67 7.2.1 Grünkugelherstellung 67 7.2.2 Formkörperherstellung 71 7.2.2.1 Beurteilung der Metallpulver-Binder-Schichten 74 7.2.2.2 Schäumen mit Dampfkessel 75 7.2.2.3 Schäumen mit Dampferzeuger 76 7.2.2.4 Vergleich der Metallpulver-Binder-Schichten 76 7.2.3 Formkörperherstellung mit Dampferzeuger 77 7.2.3.1 Einfluss des verwendeten Dampfdrucks 78 7.2.3.2 Einfluss von Schäumzeit und Bedampfungszeit 80 7.2.3.3 Schäumkraftmessung bei der Grünkörperherstellung 82 7.3 Metallpulver-Binder-Folien (Grünfolien) 83 7.3.1 Dicke und Dichte der Grünfolien 83 7.3.2 Mechanische Eigenschaften der Folien 83 7.3.2.1 Versuchsergebnisse der „trockenen“ Grünfolien 84 7.3.2.2 Versuchsergebnisse der „nassen“ Grünfolien 84 8 Diskussion der Herstellungsuntersuchungen 87 8.1 Formschäumen 87 8.1.1 Einfluss der Metallpulver-Binder-Schicht auf den Schäumvorgang 87 8.1.2 Modifikation der Binderzusammensetzung 87 8.1.3 Schäumkraftmessungen 88 8.2 Zusammenfassung des Formschäumprozesses 89 8.3 Theoretische Betrachtungen zur Bildung der polyederförmigen Zellen 90 8.3.1 Grundlegende Annahmen 90 8.3.2 Tangentialspannung der Kugelschicht 92 8.3.3 Vergleich zu den Ergebnissen der Folienzugversuche 92 8.3.4 Geometrische Verhältnisse spezieller Polyeder und ihrer Inkugel 93 8.3.5 Vergleich zu den Ergebnissen der Folienzugversuche 97 8.4 Zusammenfassung der Herstellungstechnologie von Grünformteilen 98 9 Untersuchung der mechanischen Eigenschaften 103 9.1 Herstellen der Proben 103 9.2 Wärmebehandlung 103 9.2.1 Probenvorbereitung 103 9.2.2 Entbinderung 104 9.2.3 Sintern 104 9.3 Methoden der Charakterisierung 105 9.4 Druckversuche an gesinterten Formkörpern 107 9.4.1 Probenvorbereitung für den Druckversuch 107 9.4.2 Durchführung der Druckversuche 107 9.4.3 Auswertung der Druckversuche 109 9.5 Zugversuche an Folien 110 10 Ergebnisse der mechanischen Prüfungen 111 10.1 Wärmebehandlung 111 10.1.1 Ergebnisse der Sinterung 111 10.1.2 Kohlenstoffgehalte nach der Entbinderung und Sinterung 112 10.2 Metallographie 113 10.3 Ergebnisse der Druckversuche 117 10.3.1 Druckspannung und Stauchung 117 10.3.2 Darstellung der Verformung 118 10.3.3 Probenfestigkeit, Probensteifigkeit und Energieabsorption 119 10.4 Ergebnisse der Folienprüfung 123 10.4.1 Sinterergebnisse (Wärmebehandlung und Metallographie) 123 10.4.2 Ergebnisse der Zugversuche 124 11 Diskussion der mechanischen Prüfungen 125 11.1 Einfluss des Gefüges auf die mechanischen Eigenschaften 126 11.2 Einfluss von Herstellungsparametern auf die mechanischen Eigenschaften 127 11.2.1 Primäre Herstellungsparameter 127 11.2.2 Sekundäre Herstellungsparameter 129 11.2.3 Einfluss der Zwickelform auf die lokale Spannungsverteilung im Zwickelbereich 136 11.2.4 Einfluss der Probenfläche 140 11.3 Elastisches und plastisches Deformationsverhalten der Proben im Druckversuch 142 11.3.1 Elastischer Bereich 144 11.3.2 Elastisch-plastischer Übergangsbereich 149 11.3.3 Plateaubereich 151 11.3.4 Lokale Maxima im Plateaubereich der Druckspannung-Stauchung-Kurve 153 11.4 Zusammenfassung zu den mechanischen Eigenschaften und Einordnung der Ergebnisse 155 12 Zusammenfassung und Ausblick 161 12.1 Zusammenfassung 161 12.2 Ausblick 166 13 Literaturverzeichnis 171 14 Anhang 185 14.1 Abbildungen und Tabellen 185 14.2 Verzeichnis der Abbildungen 200 14.3 Verzeichnis der Tabellen 208 14.4 Verzeichnis der Abkürzungen und Symbole 211 Danksagung 217 Versicherung 219 Lebenslauf 221