L’objectif de cette thèse est de proposer une méthode permettant d’optimiser la stratégie de maintenance d’un système multi-composants. Cette nouvelle stratégie doit être adaptée aux conditions d’utilisation et aux contraintes budgétaires et sécuritaires. Le vieillissement des composants et la complexité des stratégies de maintenance étudiées nous obligent à avoir recours à de nouveaux modèles probabilistes afin de répondre à la problématique. Nous utilisons un processus stochastique issu de la Fiabilité Dynamique nommé processus markovien déterministe par morceaux (Piecewise Deterministic Markov Process ou PDMP). L’évaluation des quantités d’intérêt (fiabilité, nombre moyen de pannes...) est ici réalisé à l’aide d’un algorithme déterministe de type volumes finis. L’utilisation de ce type d’algorithme, dans ce cadre d’application, présente des difficultés informatiques dues à la place mémoire. Nous proposons plusieurs méthodes pour repousser ces difficultés. L’optimisation d’un plan de maintenance est ensuite effectuée à l’aide d’un algorithme de recuit simulé. Cette méthodologie a été adaptée à deux systèmes ferroviaires utilisés par la SNCF, l’un issu de l’infrastructure, l’autre du matériel roulant. / The aim of this work is to propose a methodology to optimize a multi-components system maintenance. This new maintenance strategy must be adapted to budget and safety constraints and operating conditions. The aging of components and the complexity of studied maintenance strategies require us to use new probabilistic models in order to address the problem. A stochastic process from Dynamic Reliability calculations are here established by using a deterministic algorithm method based on a finite volume scheme. Using this type of algorithm in this context of application presents difficulties due to computer memory space. We propose several methods to counter these difficulties. The optimization of a maintenance plan is then performed using simulated annealing algorithm. This methodology was used to optimize the maintenance of two rail systems used by the French national railway company (SNCF).

La courbure de Ricci grossière d'un processus markovien sur un espace polonais est définie comme un taux de contraction local de la distance de Wasserstein W1 entre les lois du processus partant de deux points distincts. La première partie de cette thèse traite de résultats valables dans le cas d'espaces polonais quelconques. On montre que l'infimum de la courbure de Ricci grossière est un taux de contraction global du semigroupe du processus pour la distance W1. Quoiqu'intuitif, ce résultat est difficile à démontrer en temps continu. La preuve de ce résultat, ses conséquences sur le trou spectral du générateur font l'objet du chapitre 1. Un autre résultat intéressant, faisant intervenir les valeurs de la courbure de Ricci grossière en différents points, et pas seulement son infimum, est un résultat de concentration des mesures d'équilibre, valable uniquement en temps discret. Il sera traité dans le chapitre 2. La seconde partie de cette thèse traite du cas particulier des diffusions sur les variétés riemanniennes. Une formule est donnée permettant d'obtenir la courbure de Ricci grossière à partir du générateur. Dans le cas où la métrique est adaptée à la diffusion, nous montrons l'existence d'un couplage entre les trajectoires tel que la courbure de Ricci grossière est exactement le taux de décroissance de la distance entre ces trajectoires. Le trou spectral du générateur de la diffusion est alors plus grand que la moyenne harmonique de la courbure de Ricci. Ce résultat peut être généralisé lorsque la métrique n'est pas celle induite par le générateur, mais il nécessite une hypothèse contraignante, et la courbure que l'on doit considérer est plus faible.

La courbure de Ricci grossière d’un processus markovien sur un espace polonais est définie comme un taux de contraction local de la distance de Wasserstein W1 entre les lois du processus partant de deux points distincts. La première partie de cette thèse traite de résultats valables dans le cas d’espaces polonais quelconques. On montre que l’infimum de la courbure de Ricci grossière est un taux de contraction global du semigroupe du processus pour la distance W1. Quoiqu’intuitif, ce résultat est difficile à démontrer en temps continu. La preuve de ce résultat, ses conséquences sur le trou spectral du générateur font l’objet du chapitre 1. Un autre résultat intéressant, faisant intervenir les valeurs de la courbure de Ricci grossière en différents points, et pas seulement son infimum, est un résultat de concentration des mesures d’équilibre, valable uniquement en temps discret. Il sera traité dans le chapitre 2. La seconde partie de cette thèse traite du cas particulier des diffusions sur les variétés riemanniennes. Une formule est donnée permettant d’obtenir la courbure de Ricci grossière à partir du générateur. Dans le cas où la métrique est adaptée à la diffusion, nous montrons l’existence d’un couplage entre les trajectoires tel que la courbure de Ricci grossière est exactement le taux de décroissance de la distance entre ces trajectoires. Le trou spectral du générateur de la diffusion est alors plus grand que la moyenne harmonique de la courbure de Ricci. Ce résultat peut être généralisé lorsque la métrique n’est pas celle induite par le générateur, mais il nécessite une hypothèse contraignante, et la courbure que l'on doit considérer est plus faible. / The coarse Ricci curvature of a Markov process on a Polish space is defined as a local contraction rate of the W1 Wasserstein distance between the laws of the process starting at two different points. The first part of this thesis deals with results holding in the case of general Polish spaces. The simplest of them is that the infimum of the coarse Ricci curvature is a global contraction rate of the semigroup of the process for the W1 distance between probability measures. Though intuitive, this result is diffucult to prove in continuous time. The proof of this result, and the following consequences for the spectral gap of the generator are the subject of Chapter 1. Another interesting result, using the values of the coarse Ricci curvature at different points, and not only its infimum, is a concentration result for the equilibrium measures, only holding in a discrete time framework. That will be the topic of Chapter 2. The second part of this thesis deals with the particular case of diffusions on Riemannian manifolds. A formula is given, allowing to get the coarse Ricci curvature from the generator of the diffusion. In the case when the metric is adapted to the diffusion, we show the existence of a coupling between the paths starting at two different points, such that the coarse Ricci curvature is exactly the decreasing rate of the distance between these paths. We can then show that the spectral gap of the generator is at least the harmonic mean of the Ricci curvature. This result can be generalized when the metric is not the one induced by the generator, but it needs a very restricting hypothesis, and the curvature we have to choose is smaller.

Dans une première partie, nous proposons un nouveau modèle de chemostat dans lequel la population bactérienne est représentée de manière individu-centrée, structurée en masse, et la dynamique du substrat est modélisée par une équation différentielle ordinaire. Nous obtenons un processus markovien que nous décrivons à l'aide de mesures aléatoires. Nous déterminons, sous une certaine renormalisation du processus, un résultat de convergence en loi de ce modèle individu-centré hybride vers la solution d'un système d'équations intégro-différentielles. Dans une seconde partie, nous nous intéressons à des modèles de dynamiques adaptatives du chemostat. Nous reprenons le modèle individu-centré étudié dans la première partie, auquel nous ajoutons un mécanisme de mutation. Sous des hypothèses de mutations rares et de grande population, les résultats asymptotiques obtenus dans la première partie nous permettent de réduire l'étude d'une population mutante à un modèle de croissance-fragmentation-soutirage en milieu constant. Nous étudions la probabilité d'extinction de cette population mutante. Nous décrivons également le modèle déterministe associé au modèle individu-centré hybride avec mutation et nous comparons les deux approches, stochastique et déterministe; notamment nous démontrons qu'elles mènent au même critère de possibilité d'invasion d'une population mutante dans une population résidente.Nous présentons des simulations numériques illustrant les résultats mathématiques obtenus. / In the first part, we propose a new chemostat model in which the bacterial population is mass structured and individual-based and the substrate dynamics are modelized by an ordinary differential equation. We obtain a Markovian process which we describe as random measures. We determine, under a certain normalization of the process, a result of convergence in distribution towards the solution of a system of integro-differential equations. In the second part, we are interested in adaptive dynamic models of the chemostat. We add a mutation mechanism to the individual-based model which was studied in the first part. Under rare mutations and large population size hypotheses, the asymptotical result of the first part allows us to reduce the study of the mutant population to a growth-fragmentation-washout model in a constant environment. We study the extinction probability of this mutant population. We also describe the deterministic model related to the hybrid individual-based model with mutations and we compare these two approaches (stochastic and deterministic). In particular we prove that the two approaches lead to the same invasion criteria of a mutant population in a resident population.We present numeric simulations in order to illustrate the mathematical results.

Ce travail de thèse propose une nouvelle approche au traitement des langues naturelles. Plutôt qu'essayer d'estimer directement la probabilité d'une phrase quelconque, nous identifions des structures syntaxiques dans le langage, qui peuvent être utilisées pour modifier et créer de nouvelles phrases à partir d'un échantillon initial. L'étude des structures syntaxiques est accomplie avec des ensembles de substitution Markoviens, ensembles de chaînes de caractères qui peuvent être échangées sans affecter la distribution. Ces ensembles définissent des processus de substitution Markoviens qui modélisent l'indépendance conditionnelle de certaines chaînes vis-À-Vis de leur contexte. Ce point de vue décompose l'analyse du langage en deux parties, une phase de sélection de modèle, où les ensembles de substitution sont sélectionnés, et une phase d'estimation des paramètres, où les fréquences pour chaque ensemble sont estimées. Nous montrons que ces processus constituent des familles exponentielles quand la structure du langage est fixée. Lorsque la structure du langage est inconnue, nous proposons des méthodes pour identifier des ensembles de substitution à partir d'un échantillon, et pour estimer les paramètres de la distribution. Les ensembles de substitution ont quelques relations avec les grammaires hors-Contexte, qui peuvent être utilisées pour aider l'analyse. Nous construisons alors des dynamiques invariantes pour les processus de substitution. Elles peuvent être utilisées pour calculer l'estimateur du maximum de vraisemblance. En effet, les processus de substitution peuvent être vus comme la limite thermodynamique de la mesure invariante d'une dynamique de crossing-Over. / This thesis proposes a new approach to natural language processing. Rather than trying to estimate directly the probability distribution of a random sentence, we will detect syntactic structures in the language, which can be used to modify and create new sentences from an initial sample.The study of syntactic structures will be done using Markov substitute sets, sets of strings that can be freely substituted in any sentence without affecting the whole distribution. These sets define the notion of Markov substitute processes, modelling conditional independence of certain substrings (given by the sets) with respect to their context. This point of view splits the issue of language analysis into two parts, a model selection stage where Markov substitute sets are selected, and a parameter estimation stage where the actual frequencies for each set are estimated.We show that these substitute processes form exponential families of distributions, when the language structure (the Markov substitute sets) is fixed. On the other hand, when the language structure is unknown, we propose methods to identify Markov substitute sets from a statistical sample, and to estimate the parameters of the distribution. Markov substitute sets show some connections with context-Free grammars, that can be used to help the analysis. We then proceed to build invariant dynamics for Markov substitute processes. They can among other things be used to effectively compute the maximum likelihood estimate. Indeed, Markov substitute models can be seen as the thermodynamical limit of the invariant measure of crossing-Over dynamics.

Cette thèse se concentre sur certaines extensions de la théorie des processus empiriques lorsque les données sont Markoviennes. Plus spécifiquement, nous nous concentrons sur plusieurs développements de la théorie du bootstrap, de la robustesse et de l’apprentissage statistique dans un cadre Markovien Harris récurrent positif. Notre approche repose sur la méthode de régénération qui s’appuie sur la décomposition d’une trajectoire de la chaîne de Markov atomique régénérative en blocs d’observations indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.). Les blocs de régénération correspondent à des segments de la trajectoire entre des instants aléatoires de visites dans un ensemble bien choisi (l’atome) formant une séquence de renouvellement. Dans la premiére partie de la thèse nous proposons un théorème fonctionnel de la limite centrale de type bootstrap pour des chaînes de Markov Harris récurrentes, d’abord dans le cas de classes de fonctions uniformément bornées puis dans un cadre non borné. Ensuite, nous utilisons les résultats susmentionnés pour obtenir unthéorème de la limite centrale pour des fonctionnelles Fréchet différentiables dans un cadre Markovien. Motivés par diverses applications, nous discutons la manière d’étendre certains concepts de robustesse à partir du cadre i.i.d. à un cas Markovien. En particulier, nous considérons le cas où les données sont des processus Markoviens déterministes par morceaux. Puis, nous proposons des procédures d’échantillonnage résiduel et wild bootstrap pour les processus périodiquement autorégressifs et établissons leur validité. Dans la deuxième partie de la thèse, nous établissons des versions maximales d’inégalités de concentration de type Bernstein, Hoeffding et des inégalités de moments polynomiales en fonction des nombres de couverture et des moments des temps de retour et des blocs. Enfin, nous utilisons ces inégalités sur les queues de distributions pour calculer des bornes de généralisation pour une estimation d’ensemble de volumes minimum pour les chaînes de Markov régénératives. / This thesis concentrates on some extensions of empirical processes theory when the data are Markovian. More specifically, we focus on some developments of bootstrap, robustness and statistical learning theory in a Harris recurrent framework. Our approach relies on the regenerative methods that boil down to division of sample paths of the regenerative Markov chain under study into independent and identically distributed (i.i.d.) blocks of observations. These regeneration blocks correspond to path segments between random times of visits to a well-chosen set (the atom) forming a renewal sequence. In the first part of the thesis we derive uniform bootstrap central limit theorems for Harris recurrent Markov chains over uniformly bounded classes of functions. We show that the result can be generalized also to the unbounded case. We use the aforementioned results to obtain uniform bootstrap central limit theorems for Fr´echet differentiable functionals of Harris Markov chains. Propelledby vast applications, we discuss how to extend some concepts of robustness from the i.i.d. framework to a Markovian setting. In particular, we consider the case when the data are Piecewise-determinic Markov processes. Next, we propose the residual and wild bootstrap procedures for periodically autoregressive processes and show their consistency. In the second part of the thesis we establish maximal versions of Bernstein, Hoeffding and polynomial tail type concentration inequalities. We obtain the inequalities as a function of covering numbers and moments of time returns and blocks. Finally, we use those tail inequalities toderive generalization bounds for minimum volume set estimation for regenerative Markov chains.

L'objectif de cette thèse est de proposer une méthode permettant d'optimiser la stratégie de maintenance d'un système multi-composants. Cette nouvelle stratégie doit être adaptée aux conditions d'utilisation et aux contraintes budgétaires et sécuritaires. Le vieillissement des composants et la complexité des stratégies de maintenance étudiées nous obligent à avoir recours à de nouveaux modèles probabilistes afin de répondre à la problématique. Nous utilisons un processus stochastique issu de la Fiabilité Dynamique nommé processus markovien déterministe par morceaux (Piecewise Deterministic Markov Process ou PDMP). L'évaluation des quantités d'intérêt (fiabilité, nombre moyen de pannes...) est ici réalisée à l'aide d'un algorithme déterministe de type volumes finis. L'utilisation de ce type d'algorithme, dans ce cadre d'application, présente des difficultés informatiques dues à la place mémoire. Nous proposons plusieurs méthodes pour repousser ces difficultés. L'optimisation d'un plan de maintenance est ensuite effectuée à l'aide d'un algorithme de recuit simulé. Cette méthodologie a été adaptée à deux systèmes ferroviaires utilisés par la SNCF, l'un issu de l'infrastructure, l'autre du matériel roulant.

Cette thèse porte sur la modélisation et l'evaluation d'algorithmes de transfert de charge dans des systèmes parallèles et/ou distribués. Après une synthèse des différentes approches possibles du transfert de charge et des problèmes rencontres pour leurs mises en oeuvre et leurs évaluations quantitatives, nous développons plusieurs modèles basés sur une évolution markovienne de la configuration des charges de l'ensemble des processeurs. Les indices de performance étudiés afin de comparer les valeurs obtenues avec transfert et sans transfert sont la saturation mémoire, le débit du système, la charge de travail et le temps de réponse moyen. Dans les deux premiers modèles seuls deux sites se transfèrent des tâches, mais les temps de communication et de transfert sont modélisés. Des valeurs critiques concernant la pertinence ou non du transfert sont obtenues. Lorsque les temps de communication et de transfert sont négligés devant les temps de calculs, deux modèles sont étudies. Le premier permet d'évaluer un algorithme d'équilibrage de charge pour un nombre quelconque de sites homogènes totalement connectés, de capacité mémoire finie. Cette étude permet de prévoir le comportement de systèmes massivement parallèles et des bornes supérieures de bénéfices que l'on peut attendre d'un réel transfert sont explicitées. Le deuxième prend en compte l'architecture du réseau et l'algorithme induit un transfert dés que la différence de charge entre deux sites voisins excède un. Dans le cas de réseaux infinis dont la topologie est régulière, ce modèle est ergodique et converge à vitesse exponentielle vers son régime stationnaire. Des résultats de simulations sont présentés pour différentes architectures et comparés aux solutions des équations de champ moyen, qui donnent de très bonnes approximations dans la plupart des cas pour les quantités d'intérêt pratique. Enfin, l'incidence sur la valeur des indices de performance est étudiée et interprétée.

M.H.A. Davis a introduit les processus markoviens déterministes par morceaux (PDMP) comme une classe générale de modèles stochastiques non diffusifs, donnant lieu à des trajectoires déterministes ponctuées, à des instants aléatoires, par des sauts aléatoires. Dans cette thèse, nous présentons et analysons des estimateurs non paramétriques des lois conditionnelles des deux aléas intervenant dans la dynamique de tels processus. Plus précisément, dans le cadre d'une observation en temps long de la trajectoire d'un PDMP, nous présentons des estimateurs de la densité conditionnelle des temps inter-sauts et du noyau de Markov qui gouverne la loi des sauts. Nous établissons des résultats de convergence pour nos estimateurs. Des simulations numériques pour différentes applications illustrent nos résultats. Nous proposons également un estimateur du taux de saut pour des processus de renouvellement, ainsi qu'une méthode d'approximation numérique pour un modèle de régression semi-paramétrique.

Les Processus Markoviens D eterministes par Morceaux (PDMP) ont et e introduits dans la litt erature par M.H.A Davis comme une classe g en erale de mod eles stochastiques. Les PDMP forment une famille de processus markoviens qui d ecrivent une trajectoire d eterministe ponctu ee par des sauts al eatoires. Dans une premi ere partie, les PDMP sont utilis es pour calculer des probabilit es d' ev enements redout es pour un cas-test de la abilit e dynamique (le r eservoir chau e) par deux m ethodes num eriques di erentes : la premi ere est bas ee sur la r esolution du syst eme di erentiel d ecrivant l' evolution physique du r eservoir et la seconde utilise le calcul de l'esp erance de la fonctionnelle d'un PDMP par un syst eme d' equations int egro-di erentielles. Dans la seconde partie, nous proposons une m ethode num erique pour approcher la fonction valeur du probl eme d'arr^et optimal pour un PDMP. Notre approche est bas ee sur la quanti cation de la position apr es saut et le temps inter-sauts de la chaî ne de Markov sous-jacente au PDMP, et la discr etisation en temps adapt ee a la trajectoire du processus. Ceci nous permet d'obtenir une vitesse de convergence de notre sch ema num erique et de calculer un temps d'arrêt epsilon-optimal.