No description available.

Let $\bk$ be a field of characteristic zero. A Pham-Brieskorn ring is a $\bk$-algebra of the form $B_{a_0,\dots,a_n} = \bk[X_0,\dots,X_n] / \lb X_0^{a_0} + \cdots + X_n^{a_n} \rb$, where $n \geq 2$ and $a_0, \dots, a_n$ are positive integers. A ring $B$ is rigid if the only locally nilpotent derivation $D : B \to B$ is the zero derivation. Consider the following conjecture. \begin{conjnonumber}\label{PBConjectureAbstract} Let $n \geq 2$, and let $B_{a_0, \dots, a_n} = \bk[X_0, \dots, X_n] / \langle X_0^{a_0} + \cdots + X_n^{a_n} \rangle$ be a Pham-Brieskorn ring. If $\min\{a_0, \dots,a_n \} \geq 2$ and at most one element $i$ of $\{0,\dots ,n\}$ satisfies $a_i = 2$, then $B_{a_0, \dots, a_n}$ is rigid. \end{conjnonumber} The $n = 2$ case of the Conjecture is known to be true. In this thesis, we make progress towards solving the above conjecture. Our main results are: \begin{enumerate}[\rm(1)] \item For any $n \geq 3$, in order to prove the above conjecture, it suffices to prove rigidity of $B_{a_0, \dots, a_n}$ in the cases where $\bk = \Comp$ and $\cotype(a_0, \dots, a_n) = 0$. \item For any $n \geq 2$, $X = \Proj B_{a_0, \dots, a_n}$ is a well-formed quasismooth weighted complete intersection if and only if $\cotype(a_0, \dots, a_n) = 0$. \item When $n = 3$ and $\cotype(a_0, a_1, a_2, a_3) = 0$, $B_{a_0, a_1, a_2, a_3}$ is rigid, except possibly in the cases where, up to a permutation of the $a_i$, $(a_0, a_1, a_2, a_3) \in \{(2,3,4,12), (2,3,5,30)\}$. \item We summarize the list of 3-dimensional Pham-Brieskorn rings $B_{a_0, a_1, a_2, a_3}$ for which rigidity is known. It follows in particular that if $B_{2,3,4,12}$ and $B_{2,3,5,30}$ are rigid then the $n = 3$ case of the above conjecture is true. \end{enumerate} In addition to the above, we develop techniques for proving rigidity of rings in general; prove rigidity of many Pham-Brieskorn rings whose dimension is greater than 3; give simple examples of rational projective surfaces with quotient singularities that have an ample canonical divisor and prove that the members of a certain family of singular hypersurfaces are not rational.

Le résultat principal dans le travail présenté est le calcul explicite de la série génératrice des opérateurs de Hecke dans l'algèbre de Hecke locale pour les groupes symplectiques de genre 3 et 4. L'algorithme est basé sur l'isomorphisme de Satake, qui permet de réaliser toutes les opérations dans l'algèbre des polynômes à plusieurs variables. C'est la première fois que cette expression est calculée pour le genre 4. Pour obtenir le résultat principal, une méthode de calcul symbolique a été développée. Cette approche algorithmique s'applique à d'autres types de séries de Hecke. En particulier, nous formulons et prouvons un analogue du Lemme de Rankin pour le genre 2. Nous avons aussi calculé les séries génératrices des carrés symétriques et des cubes symétriques.<br /><br />Se basant sur nos résultats nous formulons une conjecture de modularité pour les convolutions des fonctions L spineurs associées aux formes modulaires de Siegel. Nous considérons d'autres conjectures importantes liées aux formes modulaires de Siegel et à leurs fonctions L. Nous utilisons ces constructions pour calculer les facteurs algébriques rationnels aux valeurs critiques de la fonction L spineur attachée à F12 de Miyawaki. A notre connaissance c'est le premier exemple d'une fonction L-spineur de forme parabolique de Siegel de degré 3, dont certaines valeurs spéciales peuvent être calculées explicitement.<br /><br />Finalement, nous appliquons la théorie des algèbres de Hecke pour construire des cryptosystèmes algébriques sur ensembles finis de classes à gauches dans l'algèbre de Hecke. Nous utilisons une relation entre les classes à gauches et les points sur certains variétés algébriques projectives.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2018-08-22T18:18:00Z No. of bitstreams: 1 giovannaarelisbaldeonpenao.pdf: 709529 bytes, checksum: 3a96b8a9a33c7117ccbff2e2ff41c7c0 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2018-09-03T16:34:23Z (GMT) No. of bitstreams: 1 giovannaarelisbaldeonpenao.pdf: 709529 bytes, checksum: 3a96b8a9a33c7117ccbff2e2ff41c7c0 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-09-03T16:34:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 giovannaarelisbaldeonpenao.pdf: 709529 bytes, checksum: 3a96b8a9a33c7117ccbff2e2ff41c7c0 (MD5) Previous issue date: 2018-05-30 / O objetivo deste trabalho é estudar um método, apresentado em [6], que nos permite determinar se uma folheação no plano projetivo possui ou não soluções algébricas, usando apenas métodos de computação algébrica. Mais especificamente usando bases de Gröbner. Com este método é possível procurar por outros exemplos de folheações sem soluções algébricas. / The aim of this work is to present a method, given by S. C. Coutinho and Bruno F. M. Ribeiro in [6], to check whether certain holomorphic foliations on the complex projective plane have algebraic solutions, using only methods of algebraic computing or more precisely, using Gröbner bases. This algorithm is then used to produce examples of foliations without algebraic solutions.