In this dissertation, we use exact diagonalization to study a few strongly correlated systems, ranging from the Fermi-Hubbard model to the fractional quantum Hall effect (FQHE). The discussion starts with an overview of strongly correlated systems and what is meant by strongly correlated. Then, we extend cluster perturbation theory (CPT), an economic method for computing the momentum and energy resolved Green's function for Hubbard models to higher order correlation functions, specifically the spin susceptibility. We benchmark our results for the one-dimensional Fermi-Hubbard model at half-filling. In addition we study the FQHE at fillings $nu = 5/2$ for fermions and $nu = 1/2$ for bosons. For the $nu = 5/2$ system we investigate a two-body model that effectively captures the three-body model that generates the Moore-Read Pfaffian state. The Moore-Read Pfaffian wave function pairs composite fermions and is believed to cause the FQHE at $nu = 5/2$. For the $nu = 1/2$ system we estimate the entropy needed to observe Laughlin correlations with cold atoms via an ansatz partition function. We find entropies achieved with conventional cooling techniques are adequate. / Doctor of Philosophy / Strongly correlated quantum many-body physics is a rich field that hosts a variety of exotic phenomena. By quantum many-body we mean physics that is concerned with the behavior of interacting particles, such as electrons, where the quantum behavior cannot be ignored. By strongly correlated, we mean when the interactions between particles are sufficiently strong such that they cannot be treated as a small perturbation. In contrast to weakly correlated systems, strongly correlated systems are much more difficult to solve. That is because methods that reduce the many-body problem to a single independent body problem do not work well. In this dissertation we use exact diagonalization, a method to computationally solve quantum many-body systems, to study two strongly correlated systems: the Hubbard model and the fractional quantum Hall effect.The Hubbard model captures the physics of many interesting materials and is the standard toy model. Originally developed with magnetic properties in mind, it has been extended to study superconductivity, topological phases, cold atoms, and much more. The fractional quantum Hall effect is a novel phase of matter that hosts exotic excitations, some of which may have applications to quantum computing.

Les progrès technologiques dans la fabrication des semi-conducteurs permettent, depuis le début des années 80, de réaliser des dispositifs dans lesquels les électrons sont fortement confinés dans un plan, on parle de système d'électrons bidimensionnels. L'application d'un champ magnétique perpendiculaire intense à ce système permit l'observation des effets Hall quantiques (EHQ), entier en 1980 puis fractionnaire en 1982. En présence du champ magnétique et aux températures extrêmement faibles qui sont concernées, le spectre énergétique des électrons bidimensionnels est quantifié en niveaux de Landau macroscopiquement dégénérés. Le comportement du système est alors déterminé par le facteur de remplissage des niveaux de Landau. L'EHQ entier apparaît autour des valeurs de champ magnétiques qui correspondent à un remplissage entier des niveaux Landau, tandis que son pendant fractionnaire est obtenu autour de certaines fractions du facteur de remplissage ν (ν =1/3, 2/5, 5/2, …) . Alors qu'à remplissage ν entier c'est le comportement individuel des électrons qui gouverne le comportement du système, aux facteurs de remplissage fractionnaires les corrélations électroniques dominent. En raison de ce caractère fortement corrélé, l'EHQ fractionnaire sous-tend un effort de recherche expérimental et théorique important depuis sa découverte. En effet, dans le régime fractionnaire les corrélations fortes induisent des propriétés inédites telles l'existence de quasi-particules de charge fractionnaire, mais elles rendent également la description théorique du système ardue. En 1983, Robert Laughlin proposa une fonction d'onde variationnelle modèle pour la description de l'EHQ fractionnaire observé à remplissage ν=1/3, dont il discuta la validité au regard d'une étude numérique approfondie des interactions entre les électrons. Le succès de cette méthode l'éleva au rang de paradigme, et de nombreuses fonctions d'onde d'essai ont depuis été proposées pour l'explication des effets Hall quantiques observés aux autres facteurs de remplissages. Notamment, la fonction d'onde de Moore et Read s'avère pertinente pour la description de l'EHQ observé à demi-remplissage du second niveau de Landau. Celle-ci suggère l'existence de quasi-particules non-abéliennes qui génère des espoirs importants de par ses applications potentielles en informatique quantique protégée topologiquement. Bien que l'EHQ ait également été observé à demi-remplissage du plus bas niveau de Landau, la nature de l'état sous-jacent est encore débatue. Celui-ci n'est observé que dans les systèmes bicouches et dans les puits larges qui sont au centre de ce travail de thèse. Les puits larges désignent les systèmes dans lesquels l'épaisseur du système d'électrons bidimensionnel ne peut plus être négligée, typiquement à des épaisseurs de l'ordre de 100 nm. En raison du potentiel de confinement ressenti par les électrons, leurs niveaux d'énergies dans la direction du confinement sont quantifiés en sous-bandes. Dans un puits extrêmement fin seule la plus basse sous-bande est peuplée et le degré de liberté correspondant est alors gelé, mais dans les puits large les sous-bandes excitées sont pertinentes. Dans ces conditions l'EHQ fractionnaire à demi-remplissage peut également résulter de la stabilisation d'un état à deux composantes qui peuple les sous-bande excitées. Cet état proposé par Bertrand Halperin en 1983 entre en compétition avec l'état de Moore et Read. En plus de ces deux états, un état métallique de fermions composite est possible, ainsi qu'un cristal électronique de Wigner au comportement isolant. La compétition entre ces différents états est arbitrée par une étude de Monte-Carlo variationnel combinée à des calculs de diagonalisation exacte. La nature de l'état qui est stabilisé dépend de la nature du potentiel de confinement. Dans ce manuscrit de thèse sont discutés les dispositifs de la bicouche, du puits large, ainsi que du puits large en présence d'un biais externe. / Due to technological advances in the manufacture of semiconductors enable, in it possible since the early 80s to create devices in which electrons are strongly confined in a plane, thus effectively realizing a two-dimensional electron system. The application of a strong perpendicular magnetic field to this system led to the observation of the integer quantum Hall effect (QHE) in 1980 and fractional QHE in 1982. Under a strong magnetic field the energy spectrum of the two-dimensional electrons is quantified in Landau levels that are macroscopically degenerate, and the behavior of the system is governed by the filling factor of Landau levels. The integer QHE appears around magnetic field values ​​which correspond to an integer filling of the Landau levels, while the fractional equivalent is obtained around certain fractions of the filling factor ν (ν = 1/3, 2/5, 5 / 2, ...). Although for integers values of ν is the individual behavior of electrons dictates the behavior of the system, the fractional filling factors the electronic correlations dominate. Because of those strong correlations, the underlying fractional QHE motivates an important experimental and theoretical research effort since its discovery. Indeed, in the fractional regime the strong correlations induce novel properties such as the existence fractionally-charged quasiparticles, but they also make the theoretical description of the system laborious. In 1983 Robert Laughlin proposed a variational wave function model for the description of the QHE observed at fractional filling ν = 1/3. He discussed the validity of this trial wave function in a comprehensive numerical study of interactions between electrons. The success of this method made it a paradigm, and many test wave functions have been proposed since then for the explanation of quantum Hall effects observed with other fillings factors. In particular, the wave function of Moore and Read is relevant for the description of the QHE observed at half-filling the second Landau level. This suggests the existence of non-Abelian quasiparticles with potential applications in topologically-protected quantum computing. QHE has also been observed at half filling the lowest Landau level, but the nature of the underlying quantum state is still debated; it is observed that in bilayer systems and wells wide. The large wells, which are the focus of this thesis, refer to systems in which the thickness of the two-dimensional electron system cannot be trivially neglected and usually corresponds to a thickness of about 100 nm. Due to the confinement potential felt by the electrons, their energy levels in the direction of confinement are quantized in sub-bands. In a narrow well only the lowest subband is populated and the corresponding degree of freedom is thus frozen, but in a wide well the excited sub-bands are relevant. Under these conditions fractional QHE at half-filling can also result from the stabilization of a two-state components that also populates the excited sub-band. The corresponding trial state, proposed by Bertrand Halperin in 1983, competes with the state of Moore and Read. In addition to these two states, a metal composite fermion state is a relevant trial state as well as an electronic Wigner crystal, the latter behaving as an insulator. The competition between these states is refered by a variational Monte-Carlo study combined with exact diagonalization calculations. The nature of the state that is stabilized depends on the nature of the confinement potential. In this PhD thesis three confinement potentials are studied: the bilayer, the wide well, and the wide well in the presence of an external bias.

The first and main part of this thesis concerns the quantization of the transverse transport in diverse periodic quantum systems. From a theoretical point of view, the Hall conductivity's quantization may be understood at the single-particle level in terms of topological invariants. In periodic media such as crystals, the single-particle energy spectrum depicts a specific band structure. A modern approach, based on topology and differential geometry, consists in assigning an abstract mathematical object, a fibre bundle, to each energy band. The fibre bundle's topology is measured by a topological invariant, called the Chern number, which only takes integral values. Surprisingly, the transverse conductivity can be expressed as a sum of Chern numbers. In this work, one provides a rigorous derivation of this fact and one presents several methods which allow the numerical and analytical computation of the Chern numbers for diverse systems. <p><p>The first original study concerns the physics of ultracold atoms trapped in optical lattices. These very popular experimental setups, which are currently designed in several laboratories worldwide, allow for the exploration of fundamental problems encountered in modern physics. In particular atoms trapped in optical lattices reproduce with a very high accuracy the physics of the Hubbard-type models which describe a huge variety of condensed <p>matter phenomena, such as high-Tc superconductivity and the Mott quantum phase transition. Particularly interesting is the possibility to create artificial magnetic fields in optical lattices. Generated by complex laser configurations or by rotation of the trap, these artificial fields allow the simulation of electronic systems subjected to intense magnetic fields. In this thesis, one explores the possibility of a quantum Hall-like effect for neutral particles in such arrangements. In particular one focuses on the exotic situation in which non-Abelian gauge potentials are generated in the system. In these interesting arrangements, the atomic hoppings are assisted by external lasers and are described by non-commutating translation operators. The non-Abelian fields which are generated in these systems are well known in high-energy physics, where they play a key role in modern theories of fundamental interactions. <p>Thereafter, our study of the IQHE in periodic systems concerns quantum graphs. These models which describe the propagation of a quantum wave within an arbitrary complex object are extremely versatile and hence allow the study of various interesting quantum phenomena. Quantum graphs appear in diverse fields such as solid state physics, quantum chemistry, quantum chaology and wave physics. On the other hand, in the context of quantum chaology, graphs have been the vehicle to confirm important conjectures about chaos signatures. In this thesis, one studies the spectral and chaological properties of infinite rectangular quantum graphs in the presence of a magnetic field. One then establishes the quantization of the Hall transverse conductivity for these systems.<p><p>The second part of the thesis is devoted to the physics of interacting atoms trapped in optical lattices and subjected to artificial gauge potentials. One explores the Mott quantum phase transition in both bosonic and fermionic optical lattices subjected to such fields. The optical lattices are described through the Hubbard model in which the dynamics is ruled by two competing parameters: the interaction strength U and the tunneling amplitude t. The Mott phase is characterized by a commensurate filling of the lattice and is reached by increasing the ration U/t, which can be easily achieved experimentally by varying the depth of the optical potential. In this thesis one studies how this quantum phase transition is modified when the optical lattice is subjected to diverse artificial gauge potentials. <p><p>Moreover, one shows that vortices are created in bosonic optical lattices in the vicinity of the Mott regime. The vortices are topological defects in the macroscopic wave function that describes the superfluid. One comments on the vortex patterns that are observed for several configurations of the gauge potential. <p><p>%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%<p>%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%<p>%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%<p><p><p>La physique statistique quantique prédit l’émergence de propriétés remarquables lorsque la matière est soumise à des conditions extrêmes de basses températures. Aujourd’hui ces nouvelles phases de la matière jouent un rôle fondamental pour les technologies actuelles et ainsi méritent d’être étudiées sur le plan théorique. <p><p>Dans le cadre de ma thèse, j’ai étudié l’effet Hall quantique qui se manifeste dans des systèmes bidimensionnels ultra froids et soumis à des champs magnétiques intenses. Cet effet remarquable se manifeste par la quantification parfaite d’un coefficient de transport appelé conductivité de Hall. Cette grandeur physique évolue alors sur divers plateaux qui correspondent à des valeurs entières d’une constante fondamentale de la nature. D’un point de vue théorique, cette quantification peut être approchée par la théorie des espaces fibrés qui permet d’exprimer la conductivité de Hall en termes d’invariants topologiques. <p><p>Nous explorons l'effet Hall quantique pour différents systèmes en nous appuyant sur l’interprétation topologique de la quantification de la conductivité de Hall. Nous démontrons ainsi que l’effet Hall quantique se manifeste aussi bien dans les métaux que dans les graphes quantiques et les réseaux optiques. Les graphes quantiques sont des modèles permettant l’étude du transport dans des circuits fins, alors que les réseaux optiques sont des dispositifs actuellement réalisés en laboratoire qui piègent des atomes froids de façon périodique. Considérant différents champs magnétiques externes et variant la géométrie des systèmes, nous montrons que cet effet subit des modifications remarquables. Notamment, l’effet Hall quantique est représenté par des diagrammes des phases impressionnants :les multiples phases correspondant à la valeur entière de la conductivité de Hall se répartissent alors dans des structures fractales. De plus, ces diagrammes des phases se révèlent caractéristiques des différents systèmes étudiés. <p><p>D’autre part, nous étudions la transition quantique de Mott dans les réseaux optiques. En augmentant l’interaction entre les particules, le système devient isolant et se caractérise par le remplissage homogène du réseau. Nous étudions également l’apparition de tourbillons quantiques lorsque le système est soumis à un champ magnétique au voisinage de la phase isolante. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

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Nous avons étudié la formation de nanogaps par électromigration dans des nanofils d'or. Cette technique consiste à provoquer la rupture d'un nanofil en lui appliquant de fortes densités de courant et peut être utilisée pour la caractérisation électrique de nano-objets. L'étude en temps réel du processus d'électromigration par microscopie à force atomique a permis d'apporter un éclairage nouveau de la dynamique du processus. En effet, il apparaît que la structure globale du dispositif est définie dans les premiers temps de l'électromigration et nous avons montré que cette structure est directement liée à la microstructure du film métallique. Pour la première fois, des nanogaps ont été élaborés par électromigration dans des films monocristallins. Malgré l'absence de joints de grain, il est possible de former des nanogaps dans un matériau épitaxié. L'utilisation de ces matériaux permet d'obtenir des nanogaps avec une morphologie plus reproductible. Les propriétés de transports des nanogaps obtenus à partir de films polycristallins ont été caractérisées. Les caractéristiques obtenues présentent toutes des signatures particulières, attribuées à la présence d'agrégats d'or provenant de la procédure d'électromigration et/ou de polymères issus du procédé de nanofabrication. Ces résultats montrent la difficulté à réaliser des mesures à l'échelle de la molécule unique.

Graphene is widely considered to be a promising candidate for a new generation of electronics, but there are many outstanding fundamental issues that need to be addressed before this promise can be realized. This thesis focuses on the production and properties of graphene grown epitaxially on the carbon terminated face (C-face) of hexagonal silicon carbide leading to the construction of a novel graphene transistor structure. C-face epitaxial graphene multilayers are unique due to their rotational stacking that causes the individual layers to be electronically decoupled from each other. Well-formed C-face epitaxial graphene single layers have exceptionally high mobilities (exceeding 10,000 cm ²/Vs), which are significantly greater than those of Si-face graphene monolayers. This thesis investigates the growth and properties of C-face single layer graphene. A field effect transistor based on single layer graphene was fabricated and characterized for the first time. Aluminum oxide or boron nitride was used for the gate dielectric. Additionally, an all graphene/SiC Schottky barrier transistor on the C-face of SiC composed of 2DEG in SiC/Si₂O ₃ interface and multilayer graphene contacts was demonstrated. A multiple growth scheme was adopted to achieve this unique structure.

Neste trabalho, nossa principal motivação foi o entendimento da dinâmica de pacotes de onda em isolantes topológicos 2D. Como excitações de carga se movem nesses materiais? De que maneira essas trajetórias dependem das condições iniciais, e de que forma as condições de contorno influenciam nessa dinâmica? Essas foram algumas das perguntas que guiaram nosso trabalho. Através de simulações computacionais, estudamos o movimento de pacotes de onda gaussianos em poços quânticos de HgTe/CdTe. O comportamento de isolante topológico para essa heteroestrutura foi prevista teoricamente no importante trabalho de Bernevig et al. (Science, vol. 314, no. 5806, 2006) e confirmada experimentalmente por König et al. (Science, vol. 318, no. 5851, 2007). Estudando-se a evolução temporal desse sistema, foi possível observar trajetórias que dependem de forma evidente, não apenas da orientação de spin, mas também da orientação de um pseudo-spin proveniente do modelo BHZ. Em sistemas com condições de contorno periódicas em ambas as dimensões e sem a aplicação de campos externos, foram observadas trajetórias com formato de espiral, acompanhadas por um \"side-jump\" dependente da direção do spin e do pseudo-spin. Em especial, para o caso em que o pseudo-spin está inicialmente orientado na direção-z, as trajetórias espiraladas foram subtituidas por um padrão do tipo \"zitterbewegung\" dependente de um potencial de \"bias\". Para sistemas confinados com bordas impenetráveis, observou-se a formação de estados de borda helicais característicos de isolantes topológicos. / In this work, our main motivation was the understanding about the dynamics of wave packets in 2D topological insulators. How charge excitations move throughout theses materials? In what way their trajectories depend on the initial conditions, and how boundary conditions change this dynamics? These were some of the questions that have guided us in our work. Using numerical simulations, we have studied the movement of gaussian wave packets in HgTe/CdTe quantum wells. The topological insulator behavior for this heterostructure was theoretically predicted on the important work conducted in 2006 by Bernevig et al. (Science, vol. 314, n. 5806, 2006), and experimentally confirmed by König et al. (Science, vol. 318, no. 5851, 2007) a year later. Studing the time evolution of this system, was possible to observe trajectories that depend evidently, not only from the spin projection, but also from the pseudospin orientation coming from the BHZ model. From simulations with periodic boundary conditions in both of the two dimensions, and without the application of any external fields, we observed spiral trajectories accompanied by a spin and pseudospin dependent side-jump. Especially, for the case in which the pseudospin was iniatially oriented in \"z\" direction, the spiral trajectories were replaced by a pattern of the type \"zitterbewegung\" dependent of a bias potential. For the confined systems with barriers of hardwall type, was observed the formation of helical edge states, that is the fingerprint of topological insulators.

Cette thèse est consacrée à l'amélioration de la cohérence dans le régime d'effet Hall quantique entier (EHQE) à facteur de remplissage ν=2, obtenu en appliquant un fort champ magnétique perpendiculairement au plan d'un gaz bidimensionnel d'électrons formé à l'interface d'une hétérostructure semiconductrice d'AlGaAs/GaAs. On obtient alors des conducteurs unidimensionnels chiraux (états de bord) permettant de réaliser l'équivalent électronique de l'interféromètre de Mach-Zehnder (IMZ), pour étudier la cohérence dans ce régime. L'observation inattendue d'une structure périodique en forme de lobes dans la visibilité des interférences en fonction de la tension appliquée en entrée suggère un rôle non négligeable des interactions.Dans un première partie nous expliquons l'émergence des états de bord dans le régime d'EHQE. Nous faisons ensuite l'état de l'art des connaissances concernant leur cohérence, puis nous présentons l'IMZ électronique du point de vue expérimental.Ensuite, nous détaillons les résultats expérimentaux, d'abord concernant la visibilité à tension finie: nos mesures confirment une prédiction théorique concernant un transition de phase quantique en fonction de la dilution de l'état de bord qui interfère ; nous ne voyons pas d'effet flagrant de la relaxation en énergie. Enfin, de précédents travaux(1) ayant identifié clairement l'état de bord voisin de celui qui interfère comme l'environnement limitant la cohérence du système, nous avons réalisé un nouveau type d'échantillon afin de diminuer le couplage à cet environnement de manière contrôlée. Nous avons ainsi augmenté la cohérence de moitié en accord quantitatif avec la théorie issue de précédents travaux(1).(1)P. Roulleau, F. Portier, P. Roche, A. Cavanna, G. Faini, U. Gennser, and D. Mailly. Noise Dephasing in Edge States of the Integer Quantum Hall Regime. Physical Review Letters, 101(18):186803–4, October 2008 / This PhD thesis is devoted to the engineering of quantum coherence in the integer quantum Hall effect regime (IQHE) at filling factor ν=2, obtained by applying a strong perpendicular magnetic field to a bidimensional electron gas formed at the interface of a GaAlAs/GaAs semiconducting heterostructure. Then unidimensional chiral conductors called edge states appear which can be used as electron beams to build the equivalent in condensed matter of a Mach-Zehnder interferometer (MZI) so as to study coherence in this regime. The unexpected periodic lobe structure of the visibility as function of the bias voltage suggests that interactions play an important role.In the first part, we explain how edge states emerge in the IQHE regime. We picture the state of the art on the edge states coherence. Then we present the MZI from the experimental point of view.Next we show our results, first concerning the visibility at finite bias: our measurements confirm a prediction about a quantum phase transition as function of the interfering edge state dilution. We don't see any significant manifestation of energy relaxation in the visibility. Finally, having identified the adjacent edge state as the noisy environment limitating coherence thanks to previous works, we have designed a new kind of sample to decrease the coupling of the system to this environment in a controlled manner. We thus decreased dephasing by half, in quantitative agreement with the theory developped previously in our group.

L’effet Hall quantique (EHQ) apparaissant dans des gaz bidimentionnels d’électrons places à basse température et sous fort champ magnétique a révolutionné la métrologie des résistances depuis sa découverte en 1980 par Klaus von Klitzing. Cet effet apporte une représentation de l’ohm uniquement basé sur la constante de Planck et la charge de l’électron. En 2004, le graphène, un arrangement purement bi-dimensionnel d’atomes de carbone en nid d’abeille, dans lequel les porteurs de charge se comportent comme des fermions de Dirac, a permis de mettre à jour une nouvel effet Hall quantique. Du point de vue de la métrologie des résistances l’EHQ dans le graphène est très prometteur car plus robuste que celui apparaissant dans les hétérostructures semi-conductrices. Ceci pourrait mener à la création d’un étalon de résistance plus pratique, fonctionnant à plus haute température et plus faible champ magnétique ce qui serait un avantage notable pour une dissémination accrue d’un étalon de résistance précis vers les acteurs industriels. Dans ce manuscrit une étude complète de l’impact des défauts linéaires, omniprésent dans le graphène crû par dépôt chimique en phase vapeur sur métal, dans le régime d’effet Hall quantique est menée. Nous avons montré que ces défauts linéaires mènent à des processus de dissipation non-conventionnels qui viennent altérer la quantification de la résistance de Hall. Cette étude pointe vers l’utilisation de monocristaux pour les prochaines investigations du graphène CVD pour une application en métrologie des résistances. La deuxième partie de ce manuscrit est dédiée à l’étude du graphène crû par dépôt chimique en phase vapeur sur carbure de silicium. Nous avons comparé précisément la résistance de Hall d’un échantillon de graphène entre 10 et 19 T à la température de 1.4 K avec celle donnée par un étalon de résistance en GaAs/AlGaAs avec une incertitude relative de ( -2 ± 4 ) × 10⁻¹⁰. Pour la première fois un étalon de résistance en graphène a pu fonctionner dans les mêmes conditions de température et de champs magnétique que celui fabriqué en GaAs/AlGaAs et de plus sur un intervalle de champ magnétique plus de dix fois plus grand. Nous avons également étudié les processus de dissipation apparaissant dans cet échantillon de graphène. Cette étude montre que la longueur de localisation des porteurs de charge sature à une valeur proche de l’extension de la fonction d’onde et ce sur une grande plage de champs magnétique, ce qui soulève des questions intéressantes concernant le désordre présent dans ce type de graphène. Finalement dans un second échantillon provenant de la même technique de fabrication nous avons comparé précisément la résistance de Hall de l’échantillon de graphène avec celle d’un étalon de résistance en GaAs/AlGaAs. Il apparait que la résistance de Hall dans l’échantillon de graphène est quantifié avec une précision métrologique pour des champs magnétiques allant jusqu’à 3.5 T, des températures atteignant 9 K et reste dans un état non dissipatif jusqu’à des courants de 500 µA. Ceci ouvre une voie directe à la réalisation d’étalons quantiques de résistance réalisés en graphène. / The quantum Hall effect (QHE) observed in two dimensional electron gas placed at low temperature and under a strong perpendicular magnetic field, has revolutionized the resistance metrology since its discovery in 1980 by Klaus von Klitzing. It provides a representation of the ohm based on the Planck constant and the electron charge only. In 2004, graphene, a purely two dimensional arrangement of carbon atoms in an honeycomb lattice, where the charge carriers behave as Dirac fermions, has revealed a new flavor of the QHE. From the metrological point of view the QHE in graphene is very promising since it is much more robust than the effect appearing in conventional semiconductors and it could lead to a more convenient resistance standard operating at higher temperature and lower magnetic induction which is an advantage for a broader dissemination of a precise standard towards industrial end-users. In this manuscript, a complete study about the impact in the QHE regime of line defects such as wrinkles or grain boundaries, ubiquitous in graphene grown by chemical vapor deposition on metal is treated. We show that these line defects lead to a non conventional dissipation mechanism that jeopardize the quantum Hall effect accuracy pointing to the use of wrinkle-free monocrystals for further metrological studies. The second part of my manuscript is focused on monolayer graphene grown by chemical vapor deposition on silicon carbide. We precisely compared the Hall resistance of the graphene sample from 10 T to 19 T at the temperature of 1.4 K with a GaAs/AlGaAs resistance standard with a relative uncertainty of ( -2 ± 4 ) × 10⁻¹⁰. For the first time a graphene-based standard was able to operate in the same temperature and magnetic field conditions as semiconductor-based one, furthermore, on a magnetic range more than ten times larger. We thus made a careful study of the dissipation mechanisms taking place in this sample and measured precisely the magnitude of the localization length in the QHE regime that saturate interestingly at the extension of the charge carrier wavefunction itself, opening interesting questions about the close link between Hall quantization and localization physics in graphene grown on SiC. Finally in a second sample grown using the same technique we precisely compared the Hall resistance of the graphene sample and a GaAs/AlGaAs resistance standard that turned out to be in agreement at the metrological level for magnetic fields as low as 3.5 T current as high as 500 µA and temperature as high 9 K. This paves the way for the realization of easy to use quantum Hall resistance standards made out of graphene.

I consider the Hofstadter and the Harper operators, regarded as e ective models for a Bloch electron in a uniform magnetic eld, in the limit of weak and strong eld respectively. For each value of the Fermi energy in a spectral gap, I prove that the corresponding Fermi projectors exhibit a geometric duality, expressed in terms of some vector bundles canonically associated to the projectors. As a corollary, I get a rigorous geometric derivation of the TKNN equations. More generally, I prove that analogous equations hold true for any orthogonal projector in the rational rotation C -algebra, alias the algebra of the (rational) noncommutative torus.