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Le thème de cette thèse est l'analyse mathématique de modèles décrivant l'intrusion saline dans les aquifères côtiers. On a choisi d'adopter la simplicité de l'approche avec interface nette : il n'y a pas de transfert de masse entre l'eau douce et l'eau salée (resp. entre la zone saturée et la zone sèche). On compense la difficulté mathématique liée à l'analyse des interfaces libres par un processus de moyennisation verticale nous permettant de réduire le problème initialement 3D à un système d'edps définies sur un domaine, Ω, 2D. Un second modèle est obtenu en combinant l'approche 'interface nette' à celle avec interface diffuse ; cette approche est déduite de la théorie introduite par Allen-Cahn, utilisant des fonctions de phase pour décrire les phénomènes de transition entre les milieux d'eau douce et d'eau salée (respectivement les milieux saturé et insaturé). Le problème d'origine 3D est alors réduit à un système fortement couplé d'edps quasi-linéaires de type parabolique dans le cas des aquifères libres décrivant l'évolution des profondeurs des 2 surfaces libres et de type elliptique-parabolique dans le cas des aquifères confinés, les inconnues étant alors la profondeur de l'interface eau salée par rapport à eau douce et la charge hydraulique de l'eau douce. Dans la première partie de la thèse, des résultats d'existence globale en temps sont démontrés montrant que l'approche couplée interface nette-interface diffuse est plus pertinente puisqu'elle permet d'établir un principe du maximum plus physique (plus précisèment une hiérarchie entre les 2 surfaces libres). En revanche, dans le cas de l'aquifère confiné, nous montrons que les deux approches conduisent à des résultats similaires. Dans la seconde partie de la thèse, nous prouvons l'unicité de la solution dans le cas non dégénéré, la preuve reposant sur un résultat de régularité du gradient de la solution dans l'espace Lr (ΩT), r > 2, (ΩT = (0,T) x Ω). Puis nous nous intéressons à un problème d'identification des conductivités hydrauliques dans le cas instationnaire. Ce problème est formulé par un problème d'optimisation dont la fonction coût mesure l'écart quadratique entre les charges hydrauliques expérimentales et celles données par le modèle. / The theme of this thesis is the analysis of mathematical models describing saltwater intrusion in coastal aquifers. The simplicity of sharp interface approach is chosen : there is no mass transfer between fresh water and salt water (respectively between the saturated zone and the area dry). We compensate the mathematical difficulty of the analysis of free interfaces by a vertical averaging process allowing us to reduce the 3D problem to system of pde's defined on a 2D domain Ω. A second model is obtained by combining the approach of 'sharp interface' in that with 'diffuse interface' ; this approach is derived from the theory introduced by Allen-Cahn, using phase functions to describe the phenomena of transition between fresh water and salt water (respectively the saturated and unsaturated areas). The 3D problem is then reduced to a strongly coupled system of quasi-linear parabolic equations in the unconfined case describing the evolution of the DEPTHS of two free surfaces and elliptical-parabolic equations in the case of confined aquifer, the unknowns being the depth of salt water/fresh water interface and the fresh water hydraulic head. In the first part of the thesis, the results of global in time existence are demonstrated showing that the sharp-diffuse interface approach is more relevant since it allows to establish a mor physical maximum principle (more precisely a hierarchy between the two free surfaces). In contrast, in the case of confined aquifer, we show that both approach leads to similar results. In the second part of the thesis, we prove the uniqueness of the solution in the non-degenerate case. The proof is based on a regularity result of the gradient of the solution in the space Lr (ΩT), r > 2, (ΩT = (0,T) x Ω). Then we are interest in a problem of identification of hydraulic conductivities in the unsteady case. This problem is formulated by an optimization problem whose cost function measures the squared difference between experimental hydraulic heads and those given by the model.

Cette thèse porte sur la méthode du gradient topologique appliquée au traitement d'images. Principalement, on s'intéresse à la détection d'objets assimilés, soit à des contours si l'intensité de l'image à travers la structure comporte un saut, soit à une structure fine (filaments et points en 2D) s'il n'y a pas de saut à travers la structure. On commence par généraliser la méthode du gradient topologique déjà utilisée en détection de contours pour des images dégradées par du bruit gaussien, à des modèles non linéaires adaptés à des images contaminées par un processus poissonnien ou du bruit de speckle et par différents types de flous. On présente également un modèle de restauration par diffusion anisotrope utilisant le gradient topologique pour un domaine fissuré. Un autre modèle basé sur une EDP elliptique linéaire utilisant un opérateur anisotrope préservant les contours est proposé. Ensuite, on présente et étudie un modèle de détection de structures fines utilisant la méthode du gradient topologique. Ce modèle repose sur l'étude de la sensibilité topologique d'une fonction coût utilisant les dérivées secondes d'une régularisation de l'image solution d'une EDP d'ordre 4 de type Kirchhoff. En particulier on explicite les gradients topologiques pour des domaines 2D fissurés ou perforés, et des domaines 3D fissurés. Plusieurs applications pour des images 2D et 3D, floutées et contaminées par du bruit gaussien, montrent la robustesse et la rapidité de la méthode. Enfin on généralise notre approche pour la détection de contours et de structures fines par l'étude de la sensibilité topologique d'une fonction coût utilisant les dérivées m−ième d'une régularisation de l'image dégradée, solution d'une EDP d'ordre 2m. / This thesis deals with the topological gradient method applied in imaging. Particularly, we are interested in object detection. Objects can be assimilated either to edges if the intensity across the structure has a jump, or to fine structures (filaments and points in 2D) if there is no jump of intensity across the structure. We generalize the topological gradient method already used in edge detection for images contaminated by Gaussian noise, to quasi-linear models adapted to Poissonian or speckled images possibly blurred. As a by-product, a restoration model based on an anisotropic diffusion using the topological gradient is presented. We also present a model based on an elliptical linear PDE using an anisotropic differential operator preserving edges. After that, we study a variational model based on the topological gradient to detect fine structures. It consists in the study of the topological sensitivity of a cost function involving second order derivatives of a regularized version of the image solution of a PDE of Kirchhoff type. We compute the topological gradients associated to perforated and cracked 2D domains and to cracked 3D domains. Many applications performed on 2D and 3D blurred and Gaussian noisy images, show the robustness and the fastness of the method. An anisotropic restoration model preserving filaments in 2D is also given. Finally, we generalize our approach by the study of the topological sensitivity of a cost function involving the m − th derivatives of a regularization of the image solution of a 2m order PDE.

We study the question of periodic homogenization of a variably scaled reaction-diffusion equation with non-linear drift of polynomial type. The non-linear drift was derived as hydrodynamic limit of a totally asymmetric simple exclusion process (TASEP) for a population of interacting particles crossing a domain with obstacle. We consider three different geometries: (i) Bounded domain crossed by a finitely thin flat composite layer; (ii) Bounded domain crossed by an infinitely thin flat composite layer; (iii) Unbounded composite domain.\end{itemize} For the thin layer cases, we consider our reaction-diffusion problem endowed with slow or moderate drift. Using energy-type estimates as well as concepts like thin-layer convergence and two-scale convergence, we derive homogenized evolution equations and the corresponding effective model parameters. Special attention is paid to the derivation of the effective transmission conditions across the separating limit interfaces. As a special scaling, the problem with large drift is treated separately for an unbounded composite domain. Because of the imposed large drift, this nonlinearity is expected to explode in the limit of a vanishing scaling parameter. To deal with this special case, we employ two-scale formal homogenization asymptotics with drift to derive the corresponding upscaled model equations as well as the structure of the effective transport tensors. Finally, we use Schauder's fixed point Theorem as well as monotonicity arguments to study the weak solvability of the upscaled model posed in the unbounded domain. This study wants to contribute with theoretical understanding needed when designing thin composite materials which are resistant to slow, moderate, and high velocity impacts. / We study the question of periodic homogenization of a variably scaled reaction-diffusion equation with non-linear drift of polynomial type. The non-linear drift was derived as hydrodynamic limit of a totally asymmetric simple exclusion process (TASEP) for a population of interacting particles crossing a domain with obstacle. We consider three different geometries: (i) Bounded domain crossed by a finitely thin composite layer; (ii) Bounded domain crossed by an infinitely thin composite  layer; (iii) Unbounded composite domain. For the thin layer cases, we consider our reaction-diffusion problem endowed with slow or moderate drift. Using energy-type  estimates, concepts like thin-layer convergence and two-scale convergence, we derive  homogenized  equations. Special attention is paid to the derivation of the effective transmission conditions across the separating limit interfaces. The problem with large drift is treated separately for an unbounded composite domain. Because of the imposed large drift, this nonlinearity is expected to explode in the limit of a vanishing scaling parameter.  This study wants to contribute with theoretical understanding needed when designing thin composite materials which are resistant to slow, moderate, and high velocity impacts.

This thesis is in the field of non-linear partial differential equations (PDE), focusing on problems which show some type of phase-transition. A single phase Hele-Shaw flow models a Newtoninan fluid which is being injected in the space between two narrowly separated parallel planes. The time evolution of the space that the fluid occupies can be modelled by a semi-linear PDE. This is a problem within the field of free boundary problems. In the multi-phase problem we consider the time-evolution of a system of phases which interact according to the principle that the joint boundary which emerges when two phases meet is fixed for all future times. The problem is handled by introducing a parameterized equation which is regularized and penalized. The penalization is non-local in time and tracks the history of the system, penalizing the joint support of two different phases in space-time. The main result in the first paper is the existence theory of a weak solution to the parameterized equations in a Bochner space using the implicit function theorem. The family of solutions to the parameterized problem is uniformly bounded allowing us to extract a weakly convergent subsequence for the case when the penalization tends to infinity. The second problem deals with a parameterized highly oscillatory quasi-linear elliptic equation in divergence form. As the regularization parameter tends to zero the equation gets a jump in the conductivity which occur at the level set of a locally periodic function, the obstacle. As the oscillations in the problem data increases the solution to the equation experiences high frequency jumps in the conductivity, resulting in the corresponding solutions showing an effective global behaviour. The global behavior is related to the so called homogenized solution. We show that the parameterized equation has a weak solution in a Sobolev space and derive bounds on the solutions used in the analysis for the case when the regularization is lost. Surprisingly, the limiting problem in this case includes an extra term describing the interaction between the solution and the obstacle, not appearing in the case when obstacle is the zero level-set. The oscillatory nature of the problem makes standard numerical algorithms computationally expensive, since the global domain needs to be resolved on the micro scale. We develop a multi scale method for this problem based on the heterogeneous multiscale method (HMM) framework and using a finite element (FE) approach to capture the macroscopic variations of the solutions at a significantly lower cost. We numerically investigate the effect of the obstacle on the homogenized solution, finding empirical proof that certain choices of obstacles make the limiting problem have a form structurally different from that of the parameterized problem. / <p>QC 20180222</p>

Dans cette thèse, nous étudions l’existence, non existence et multiplicité des ondes stationnairesavec les normes prescrites pour deux types d’équations aux dérivées partiellesnon linéaires elliptiques découlant de différents modèles physiques. La stabilité orbitale desondes stationnaires est également étudiée dans certains cas. Les principales méthodes denos preuves sont des arguments variationnels. Les solutions sont obtenues comme pointscritiques de fonctionnelle associée sur une contrainte.La thèse se compose de sept chapitres. Le Chapitre 1 est l’introduction de la thèse. Dansles Chapitres 2 à 4, nous étudions une classe d’équations de Schrödinger-Poisson-Slaternon linéaires. Nous établissons dans le Chapitre 2 des résultats optimaux non existencede solutions d’énergie minimale ayant une norme L2 prescrite. Dans le Chapitre 3, nousmontrons un résultat d’existence de solutions L2 normalisées, dans une cas où la fonctionnelleassociée n’est pas bornée inférieurement sur la contrainte. Nos solutions sonttrouvées comme des points de selle de la fonctionnelle, mais ils correspondent à des solutionsd’énergée minimale. Nous montrons également que les ondes stationnaires associéessont orbitalement instables. Ici, puisque nos points critiques présumés ne sont pas desminimiseurs globaux, il n’est pas possible d’utiliser de façon systématique les méthodesde compacité par concentration développées par P. L. Lions. Ensuite, dans le Chapitre4, nous montrons que sous les hypothèses du Chapitre 3, il existe une infinité de solutionsayant une norme L2 prescrite. Dans les deux chapitres suivants, nous étudions uneclasse d’équations de Schrödinger quasi-linéaires. Des résultats optimaux non existence desolutions d’énergie minimale sont donnés dans le Chapitre 5. Dans le Chapitre 6, nousprouvons l’existence de deux solutions positives ayant une norme donnée. L’une d’elles,relativement à la contrainte L2, est de type point selle. L’autre est un minimum, soit localou global. Le fait que la fonctionnelle naturelle associée à cette équation n’est pas biendéfinie nécessite l’utilisation d’une méthode de perturbation pour obtenir ces deux pointscritiques. Enfin, au Chapitre 7, nous mentionnons quelques questions que cette thèse asoulevées. / In this thesis, we study the existence, non-existence and multiplicity of standing waves withprescribed norms for two types of nonlinear elliptic partial differential equations arisingfrom various physical models. The orbital stability of the standing waves is also discussedin some cases. The main ingredients of our proofs are variational arguments. The solutionsare found as critical points of an associated functional on a constraint.The thesis consists of seven chapters. Chapter 1 is the Introduction of the thesis.In Chapters 2 to 4, we study a class of nonlinear Schrödinger-Poisson-Slater equations.We establish in Chapter 2 sharp non-existence results of least energy solutions having aprescribed L2-norm. In Chapter 3 we prove an existence result for L2-normalized solutions,in a situation where the associated functional is unbounded from below on the constraint.Our solutions are found as saddle points of the functional but they correspond to leastenergy solutions. We also prove that the associated standing waves are orbitally unstable.Here a key feature is that, since our suspected critical points are not global minimizers, itis not possible to use in a standard way the machinery of compactness by concentrationdeveloped by P. L. Lions. Then, in Chapter 4, we prove that under the assumptions ofChapter 3, there do exist infinitely many solutions having a prescribed L2-norm. In thefollowing two chapters, we investigate a class of quasi-linear Schrödinger equations. Sharpnon-existence results of least energy solutions are given in Chapter 5. In Chapter 6 weprove the existence of two positive solutions having a given norm. One of them, is relativeto the L2-norm constraint, of saddle point type. The other one is a minimum, either localor global. The fact that the natural functional associated with this equation is not welldefined requires the use of a perturbation approach to obtain these two critical points.Finally, in Chapter 7 we mention some questions that this thesis has raised.

Le projet de thèse comporte différentes directions possibles: a) Améliorer la compréhension des relations entre la théorie des structures de régularité développée par M. Hairer et la méthode des Distributions Paracontrolées développée par Gubinelli, Imkeller et Perkowski, et éventuellement fournir une synthèse des deux. C'est très spéculatif et, pour le moment, il n'y a pas de chemin clair vers cet objectif à long terme. b) Utiliser la théorie des Distributions Paracontrolées pour étudier différents types d'équations aux dérivés partiels: équations de transport et équations générales d'évolution hyperbolique, équations dispersives, systèmes de lois de conservation. Ces EDP ne sont pas dans le domaine des méthodes actuelles qui ont été développées principalement pour gérer les équations d'évolution semi-linéaire parabolique. c) Une fois qu'une théorie pour l'équation de transport perturbée par un signal irregulier a été établie, il sera possible de se dédier à l'étude des phénomènes de régularisation par le bruit qui, pour le moment, n'ont étés étudiés que dans le contexte des équations de transport perturbées par le mouvement brownien, en utilisant des outils standard d'analyse stochastique. d) Les techniques du Groupe de Renormalisation (GR) et les développements multi-échelles ont déjà été utilisés à la fois pour aborder les EDP et pour définir des champs quantiques euclidiens. La théorie des Distributions Paracontrolées peut être comprise comme une sorte d'analyse multi-échelle des fonctionnels non linéaires et il serait intéressant d'explorer l'interaction des techniques paradifférentielles avec des techniques plus standard, comme les "cluster expansions" et les méthodes liées au GR. / The thesis project has various possible directions: a) Improve the understanding of the relations between the theory of Regularity Structures developed by M.Hairer and the method of Paracontrolled Distributions developed by Gubinelli, Imkeller and Perkowski, and eventually to provide a synthesis. This is highly speculative and at the moment there are no clear path towards this long term goal. b) Use the theory of Paracontrolled Distributions to study different types of PDEs: transport equations and general hyperbolic evolution equation, dispersive equations, systems of conservation laws. These PDEs are not in the domain of the current methods which were developed mainly to handle parabolic semilinear evolution equations. c) Once a theory of transport equation driven by rough signals have been established it will become possible to tackle the phenomena of regularization by transport noise which for the moment has been studied only in the context of transport equations driven by Brownian motion, using standard tools of stochastic analysis. d) Renormalization group (RG) techniques and multi-scale expansions have already been used both to tackle PDE problems and to define Euclidean Quantum Field Theories. Paracontrolled Distributions theory can be understood as a kind of mul- tiscale analysis of non-linear functionals and it would be interesting to explore the interplay of paradifferential techniques with more standard techniques like cluster expansions and RG methods.