Nous abordons l'étude de deux problèmes inverses, le problème des moments de Hausdorff et celui de la déconvolution sur la sphère ainsi qu'un problème de régression en design aléatoire. Le problème des moments de Hausdorff consiste à estimer une densité de probabilité à partir d'une séquence de moments bruités. Nous établissons une borne supérieure pour notre estimateur ainsi qu'une borne inférieure pour la vitesse de convergence, démontrant ainsi que notre estimateur converge à la vitesse optimale pour les classes de régularité de type Sobolev. Quant au problème de déconvolution sur la sphère, nous proposons un nouvel algorithme qui combine la méthode SVD traditionnelle et une procédure de seuillage dans la base des Needlets sphériques. Nous donnons une borne supérieure en perte Lp et menons une étude numérique qui montre des résultats fort prometteurs. Le problème de la régression en design aléatoire est abordé sous le prisme bayésien et sur la base des ondelettes déformées. Nous considérons deux scenarios de modèles a priori faisant intervenir des gaussiennes à faible et à grande variance et fournissons des bornes supérieures pour l'estimateur de la médiane a posteriori. Nous menons aussi une étude numérique qui révèle de bonnes performances numériques.

À partir des observations Z(n) = {(Xi, Yi), i = 1, ..., n} satisfaisant Yi = f(Xi) + ζi, nous voulons reconstruire la fonction f. Nous évaluons la qualité d'estimation par deux critères : le risque Ls et le risque uniforme. Dans ces deux cas, les hypothèses imposées sur la distribution du bruit ζi serons de moment borné et de type sous-gaussien respectivement. En proposant une collection des estimateurs à noyau, nous construisons une procédure, qui est initié par Goldenshluger et Lepski, pour choisir l'estimateur dans cette collection, sans aucune condition sur f. Nous prouvons ensuite que cet estimateur satisfait une inégalité d'oracle, qui nous permet d'obtenir les estimations minimax et minimax adaptatives sur les classes de Hölder anisotropes. / From the observation Z(n) = {(Xi, Yi), i = 1, ..., n} satisfying Yi = f(Xi) + ζi, we would like to approximate the function f. This problem will be considered in two cases of loss function, Ls-risk and uniform risk, where the condition imposed on the distribution of the noise ζi is of bounded moment and of type sub-gaussian, respectively. From a proposed family of kernel estimators, we construct a procedure, which is initialized by Goldenshluger and Lepski, to choose in this family a final estimator, with no any assumption imposed on f. Then, we show that this estimator satisfies an oracle inequality which implies the minimax and minimax adaptive estimation over the anisotropic Hölder classes.