Nous abordons l'étude de deux problèmes inverses, le problème des moments de Hausdorff et celui de la déconvolution sur la sphère ainsi qu'un problème de régression en design aléatoire. Le problème des moments de Hausdorff consiste à estimer une densité de probabilité à partir d'une séquence de moments bruités. Nous établissons une borne supérieure pour notre estimateur ainsi qu'une borne inférieure pour la vitesse de convergence, démontrant ainsi que notre estimateur converge à la vitesse optimale pour les classes de régularité de type Sobolev. Quant au problème de déconvolution sur la sphère, nous proposons un nouvel algorithme qui combine la méthode SVD traditionnelle et une procédure de seuillage dans la base des Needlets sphériques. Nous donnons une borne supérieure en perte Lp et menons une étude numérique qui montre des résultats fort prometteurs. Le problème de la régression en design aléatoire est abordé sous le prisme bayésien et sur la base des ondelettes déformées. Nous considérons deux scenarios de modèles a priori faisant intervenir des gaussiennes à faible et à grande variance et fournissons des bornes supérieures pour l'estimateur de la médiane a posteriori. Nous menons aussi une étude numérique qui révèle de bonnes performances numériques.

On s'intéresse aux problèmes de régression, classification et à un problème inverse en finance. Nous abordons dans un premier temps le problème de régression en design aléatoire à valeurs dans un espace euclidien et dont la loi admet une densité inconnue. Nous montrons qu'il est possible d'élaborer une stratégie d'estimation optimale par projections localisées sur une analyse multi-résolution. Cette méthode originale offre un avantage calculatoire sur les méthodes d'estimation à noyau traditionnellement utilisées dans un tel contexte. On montre par la même occasion que le classifieur plug-in construit sur cette nouvelle procédure est optimal. De plus, il hérite des avantages calculatoires mentionnés plus haut, ce qui s'avère être un atout crucial dans de nombreuses applications. On se tourne ensuite vers le problème de régression en design aléatoire uniformément distribué sur l'hyper-sphère et on montre comment le tight frame de needlets permet de généraliser les méthodes traditionnelles de régression en ondelettes à ce nouveau contexte. On s'intéresse finalement au problème d'estimation de la densité risque-neutre à partir des prix d'options cotés sur les marchés. On exhibe une décomposition en valeurs singulières explicite d'opérateurs de prix restreints et on montre qu'elle permet d'élaborer une méthode d'estimation de la densité risque-neutre qui repose sur la résolution d'un simple programme quadratique.

Cette thèse porte sur l'utilisation d'ondelettes de seconde génération pour l'étude statistique de champs aléatoires sphériques. Parmi les phénomènes modélisables par un tel champ, on s'intéressera en particulier au Fond diffus cosmologique (CMB).<br /><br />La localisation des needlets (récente construction d'ondelettes) sur la sphère est étudiée et optimisée en terme de concentration spatiale et d'estimation statistique. Ces fonctions sont ensuite utilisées pour construire un nouvel estimateur du spectre de puissance angulaire. L'examen des propriété de cet estimateur, d'un point de vue théorique (dans l'asymptotique des hautes fréquences angulaires) et pratique, montre qu'il améliore les méthodes existantes dans un modèle réaliste comportant des données manquantes et un bruit hétéroscédastique. A côté de l'estimation spectrale, l'utilisation des needlets est également introduite dans un problème de séparation de sources.<br /><br />Après quatre chapitres introductifs (dédiés respectivement aux aspects physiques, analytiques et statistiques de l'étude du CMB, puis à une présentation d'ensemble des résultats), quatre articles de revue (en collaboration) sont présentés : "Practical wavelet design on the sphere" ; "CMB power spectrum estimation using wavelets" ; "Spectral estimation on the sphere with needlets: high frequency asymptotics" et "A full sky, low foreground, high resolution CMB map from WMAP".