Orientador: Patricio Anibal Letelier Sotomayor / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-07-19T02:43:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Holvorcem_PauloRenatoCenteno_D.pdf: 3546179 bytes, checksum: 61dff8aaf929d24f54fca1399b884537 (MD5) Previous issue date: 1993 / Resumo: Apresentamos uma teoria linearizada para o estudo da dinâmica de pe­quenas perturbações de alguns sistemas com simetria cilíndrica em relativi­dade geral. A primeira parte refere-se a cordas cósmicas estáticas retilíneas, de espessura finita na teoria de calibre U(l) acoplada às equações de Einstein. Inici­almente, são desenvolvidos métodos numéricos específicos para a solução do sistema de equações diferenciais ordinárias que descreve este tipo de corda, incorporando informações sobre o comportamento assintótico da solução e certas identidades integrais que esta deve satisfazer. Um método baseado em colocação com splines quÍnticas mostra-se bastante eficiente, permitindo refinar os valores publicados para o déficit angular e a densidade linear de energia da corda. As equações de campo são então linearizadas em torno da solução para uma corda estática, assumindo que as perturbações têm simetria cilíndrica. Empregando o método dos modos normais, o problema é reduzido a um sistema de equações diferenciais ordinárias para a estrutura espacial dos modos normais. Empregando algoritmos para a solução numérica de proble­mas generalizados de autovalores, encontra-se evidência de que a corda em questão é estável frente a perturbações radiais. Mostra-se que a corda admite um espectro contínuo de modos neutros em que as perturbações da métrica e dos campos que compõe a corda comportam-se como ondas estacionárias. O espectro pode ser dividido em regiões de freqüência alta, intermediária e baixa; o número de modos normais independentes por freqüência (degene­rescência) é diferente em cada região. Soluções numéricas para os modos neutros são obtidas pelo método de Runge-Kutta, empregando as soluções estáticas previamente obtidas em termos de splines para a computação dos coeficientes nas equações para as perturbações. Argumenta-se que os concei­tos de modos quase-normais e de modos complexos que se propagam para o exterior, comumente usados na literatura sobre modelos estelares, não são particularmente úteis na descrição das perturbações de cordas U(l). Na segunda parte do trabalho, é introduzida uma nova classe de soluções estacionárias das equações de Einstein, representando vórtices auto-gravitantes compostos por um gás ideal relativístico com temperatura uniforme e uma distribuição arbitrária de velocidades angulares em torno do eixo de simetria. Exemplos deste tipo de soluções são determinadas numericamente por um método de shooting. Com a suposição de temperatura uniforme, é possível deduzir uma expressão integral para a densidade linear do vórtice, onde as contribuições devidas à rotação aparecem explicitamente; além disso, mostra-se que o problema de valores de contorno não-linear que define o vórtice é invariante sob certas mudanças de escala das coordenadas e cam­pos. No estudo de perturbações radiais destes sistemas, restringe-se a atenção ao caso mais simples de um politropo sem rotação. Com o auxílio da me­todologia já empregada para as cordas U(l), obtém-se evidência de que o politropo estático é estável frente às perturbações consideradas. A estrutura do espectro de modos neutros é bem mais simples do que no caso da corda U(l), com apenas um modo por freqüência; cada modo é composto por on­das gravitacionais e acústicas estacionárias acopladas. Curvas de amplitude e fase assintóticas da componente gravitacional do modo normal normalizado em função da freqüência mostram características normalmente associadas à presença de um espectro discreto de modos complexos que se propagam para o exterior; entretanto, argumenta-se que não existem modos em que tanto as perturbações gravitacionais quanto as acústicas se propagam para o exterior. Uma limitação da teoria linearizada desenvolvida neste trabalho é sua ina­bilidade para descrever a evolução final de uma perturbação que se propaga para o exterior; esta limitação é explicada pela formação de ondas de choque (um fenômeno não-linear) nas camadas mais rarefeitas do politropo. / Abstract: A linearized theory of the dynamics of small perturbations of certain cylin­drically symmetric systems in general relativity is presented. Firstly, we deal with straight, static cosmic strings of finite thickness in the U(l) gauge theory coupled to the Einstein equations. Taking into ac­count the asymptotic behavior of the solution and certain integral identities, we develop specific numerical methods to solve the system of ordinary dif­ferential equations which describes this type of string. A method based on quintic spline collocation turns out to be very effective, allowing us to refine the published values for the string angular deficit and linear energy density. Assuming that the perturbations have cylindrical symmetry, the field equa­tions are then linearized about the static string solution. Using the method of normal modes, the problem is reduced to a system of ordinary differential equations for the spatial structure of the normal modes. Algorithms for the numerical solution of generalized value problems provide evidence that the string is stable against radial perturbations. We show that the string has a continuous spectrum of neutral modes, in which the perturbations of the metric and the fields which make up the string behave as stationary waves. The spectrum may be divided in regions of high, intermediate and low frequencies the number of independent normal modes per frequency is different in each region. Employing the static solutions previously obtained in terms of splines for the computation of the coefficients in the perturbation equati­ons, we obtain numerical solutions for the neutral modes by the Runge-Kutta method. It is argued that the concepts of quasi-normal modes and complex outgoing modes, commonly used in the literature on stellar models, are not particularly useful in the description of the perturbations of U (1) strings. In the second part of this work, we introduce a new class of stationary solutions of the Einstein equations, which represent self-gravitating vortices in an ideal relativistic gas with an uniform temperature distribution and an arbitrary distribution of angular velocities about the axis of symmetry. Examples of such solutions are determined numerically by a shooting method. With the assumption of uniform temperature, it is possible to derive an inte­gral expression for the linear density of the vortex, wherein the rotation contributions appear explicitly. Furthermore, we show that the non-linear boundary-value problem which defines the vortex is invariant under a certain scaling of the coordinates and fields. In the study of radial perturbations of these systems, we restrict our attention to the simplest case, namely non­rotating polytrope. Performing an analysis which is analogous to the one for U (1) strings, we find numerical evidence that the static polytrope is sta­ble with respect to radial perturbations. The structure of the spectrum of neutral modes is much simpler than that of the U(l) string, consisting of a single mode per frequency; each mode exhibits coupled stationary gravitati­onal and acoustic waves. The curves of asymptotic amplitude and phase of the gravitational component of the normalized normal mode as a function of frequency display characteristics which are normally associated with the existence of a discrete spectrum of complex outgoing modes; however, it is argued that there are no modes in which both the acoustic and the gravitati­onal perturbations are outgoing. A limitation of the present linearized theory is its inability to describe the final evolution of a perturbation which propa­gates outwards; this limitation is explained by the formation of shock waves (a non-linear phenomenon) in the outer, rarefied layers of the poly trope. / Doutorado / Doutor em Matemática Aplicada

Este trabalho visa o estudo das perturbações de sistemas gravitacionais altamente compactos, como buracos negros e estrelas de nêutrons e de quarks. As perturbações em questão podem ser de diversas naturezas (escalar, eletromagnética ou gravitacional), sendo que detivemo-nos mais atentamente naquelas de natureza gravitacional, pois estas têm despertado mais interesse por serem astronomicamente mais fáceis de detectar. Além de estudarmos tais perturbações, procedemos a uma comparação dos resultados para buracos negros, estrelas de nêutrons e de quarks. Tal comparação justifica-se pelo fato de que a confrontação de previsões teóricas com resultados experimentais pode ajudar-nos a identificar objetos astronômicos de interesse, distingüi-los e, no caso de estrelas, aprender algo sobre sua estrutura interna, particularmente sobre a equação de estado (EDE) do fluido estelar. No que se segue, dividimos o trabalho em sete partes. Em primeiro lugar, damos uma introdução bastante sucinta ao mesmo (Capítulo 1). Depois, falamos sobre a física de estrelas de nêutrons e de quarks (Capítulo 2). A seguir, fazemos um estudo comparativo dos dois tipos de estrelas (Capítulo 3). Mais adiante, discutimos as perturbações de diversos tipos, além de definir os MQNs (Modos Quasi-Normais) de buracos negros de Schwarzschild (Capítulo 4). Prosseguimos a discussão com a métrica de Reissner-Nordström-de Sitter (Capítulo 5) e introduzimos, na seqüência, os MQNs estelares, de forma muito breve (Capítulo 6). Por fim, apresentamos nossas conclusões (Capítulo 7). A parte inédita deste trabalho está concentrada nos capítulos 5 e 6, os quatro anteriores servindo de preparativo e de base comparativa para estes dois. / This work aims the detailed study of the perturbations of highly compact gravitational systems, such as black holes and both neutron and quark stars. Such perturbations may have several different characters, such as scalar and electromagnetic fields as well as gravitational (either axial or polar) disturbances. We have focused more closely on the latter kind of perturbation, since they offer better possibilities of detection in the near future, in the form of gravitational waves. Besides studying the aforementioned perturbations, we have proceeded to a comparison between black holes and neutron and quark stars , when it comes to the outcomes of the perturbations, usually called QNMs (quasi-normal modes). Such a comparison is actually in order, since a direct comparison of theoretical and observational data may help us identify astronomical objects and, in the case of compact stars, may provide valuable insights into these stars' inner structure, particularly when it comes to their equation of state (EOS). In what follows, we have subdivided this work in seven parts. We begin with a brief introduction (Chapter 1), then proceed to a description of the physics of both neutron and quark stars (Chapter 2) and, in the sequence, to a comparative study of both kinds of star (Chapter 3). Subsequently, we develop the perturbation theory of the Schwarzschild black holes, discussing their QNMs (Chapter 4) and doing the same, later, for a more general Reissner-Nordström-de Sitter geometry (chapter 5). After that, we provide a very brief introduction to the stellar MQNs (Chapter 6). Finally, we present our conclusions (Chapter 7). The chapters 5 and 6 carry the inedit part of this work, and the chapters from 1 to 4 pave the way and provide a comparative basis for them.

Orientador: Sandra dos Santos Padula / Banca:Eduardo de Moraes Gregores / Banca: Fernando Silveira Navarra / Banca: Lauro Tomio / Banca: Marcelo Gameiro Munhoz / Resumo: Apresentamos resultados de um estudo sistemático do papel das equações de estado no modelo hidrodinâmico. Simulamos colisões Au+Au para duas energias do Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC), 130 e 200 GeV por nucleon, para compararmos os nossos resultados aos dados experimentais desse acelerador. Utilizando as mesmas condições iniciais e mecanismo de desacoplamento, analisamos os efeitos de diferentes equações de estado sobre alguns observáveis físicos através dos resultados de suas respectivas evoluções hidrodinâmicas. Os observáveis de interesse nesse trabalho são o espectro de partículas, o fluxo elíptico, usado para estudar o impacto das equações de estado nas anisotropias do estado final, e os parâmetros de raio estimados através do efeito Hambury-Brown-Twiss (HBT). São estudadas três diferentes equações de estado, cada uma enfocando diferentes características do sistema formado, tais como a natureza da transição de fase, densidades de estranheza e bariônica. Essas diferentes equações de estado implicam em diferentes respostas hidrodinâmicas sobre os observáveis. Embora as três equações de estado utilizadas no cálculo descrevam razoavelmente bem os dados experimentais, as diferenças observadas são pequenas, demonstrando pouca sensibilidade dos resultados finais a cada escolha particular de equação de estado / Abstract: We present results of a systematic study of the role of the equation of state in the hydrodynamic model. We simulate Au+Au collisions for two energies of the Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC), 130 and 200 GeV per nucleon, in order to compare our results to the collider data. By using the same initial conditions and freeze-out scenario, we analysed the effects of different equations of state on some physical observables trough the results of their respective hydrodynamical evolution. The observables of interest investigate here are particle spectra, elliptic flow, used to study the impact of the equations of state on final state anisotropies, and radii parameters estimated by the Hambury-Brown-Twiss effect (HBT). Three different types of equation of state are studied, each focusing on different features of the system, such as the nature of the phase transition, strangeness and baryon densities. These different equations of state imply different hydrodynamic responses on the observables. Although the three equations of state used in the calculations describe the data reasonably well, some small differences are observed, showing weak sensitivity of the results on the particular choice of equation of state / Doutor

Made available in DSpace on 2016-04-27T17:27:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 JAIRO DE SOUSA MELO.pdf: 52195 bytes, checksum: fa611b6f5aac9f7b6b06a3f55339ee20 (MD5) Previous issue date: 2009-09-23 / Basically, this work is about the origins of the Theory of Relativity. However, most importantly, it intends to interpret how and in which ways the Michelson´s experiment may have contributed or not to ideas that led Einstein in developing his seminal theory. Most specifically, this work leans over a text of 1949, by philosopher Gaston Bachelard in which he, in according with common sense of his age, declare that the experiment made by Michelson in 1881 is the starting point of the development of Theory of Relativity. At last, this paper made a comparative analysis of Einstein s own statements and a demonstration that, although the experiment had been crucial to resolve the ether problem, it, that is, its result, doesn t bear any significant value in the theories developed by the physicist, and, beyond that, contrary to what was postulated, the theory explains the failure of the experiment, its null result; and this result didn t lead, in its age, to any postulation about the subjacent principle to Theory of Relativity / Basicamente este trabalho versa sobre as origens da Teoria da relatividade. Mas, sobretudo, busca interpretar como e de que forma o experimento de Michelson pode ter contribuído ou não para as idéias que conduziram Einstein no desenvolvimento de sua teoria seminal. Mais especificamente, o trabalho debruça-se sobre um texto de 1949, do filósofo Gaston Bachelard no qual o mesmo, em concordância com o senso comum de sua época, afirma ter sido o experimento realizado por Michelson em 1881 o ponto de partida para o desenvolvimento da Relatividade. Finaliza este trabalho, uma analise comparativa das declarações do próprio Einstein e uma demonstração de que, embora o experimento tenha sido crucial para o fechamento do problema do éter, ele, ou melhor, seu resultado não tem peso significativo nas teorias desenvolvidas pelo físico, e, muito mais, ao contrário do que se postulava, a teoria explica o insucesso do experimento, seu resultado nulo; e o resultado nulo do experimento não remeteu, em sua época, a nenhuma postulação sobre os princípios subjacentes à Teoria da Relatividade

Acompanha: Produto educacional: uma sequência didática para ensinar relatividade restrita no ensino médio com o uso de TIC / FUNPESQ / A Sequência Didática proposta neste trabalho contempla as recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), no sentido de uma progressiva inserção da Física do século XX no ensino médio, tema este que, infelizmente, ainda é muito pouco abordado nas salas de aula do país. O uso das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) na educação pode proporcionar processos de educação mais participativos, tornando a relação professor‐aluno mais aberta e interativa. Com este intuito, o presente trabalho apresenta a aplicação de uma sequência didática, incluindo suas análises e resultados em sala de aula, para o ensino da Relatividade Restrita aos alunos do ensino médio de um Colégio da rede particular de ensino, no município de Apucarana-Pr. A proposta tem como base teórica a Aprendizagem Significativa de David Ausubel. A sequência em questão faz uso sistemático de recursos computacionais, com destaque para uma planilha original desenvolvida em Excel, com o propósito de melhorar o entendimento de conceitos básicos da Relatividade Restrita, bem como para a dedução de relações matemáticas fundamentais que são decorrência lógica dos postulados de Einstein. Além deste recurso, também foi utilizada a História da Ciência para contextualizar os alunos acerca do momento histórico em que o mundo estava inserido na época que a Teoria da Relatividade Restrita foi desenvolvida. Com isto, os alunos puderam ainda aprender um pouco sobre a vida, a obra e a contribuição deixada por Albert Einstein. Ainda foi utilizado um trecho do filme Interestelar que aborda a viagem no tempo, além de simuladores computacionais. Todos os recursos foram aplicados buscando aproximar a tecnologia (bem conhecida dos jovens) com a sala de aula, com o intuito de melhorar o processo de ensino-aprendizagem. Nossos resultados apontam que a utilização das TIC neste processo propiciam uma aula interativa e dinâmica tanto para o aluno quanto para o professor. Sendo assim, podemos dizer que a proposta aplicada possui um grande potencial pedagógico, pois os alunos, no decorrer da aplicação, mostraram-se mais motivados para as aulas de física. Acreditamos que esse seja o primeiro passo para que a aprendizagem ocorra de forma significativa. / The Didactic sequence proposed in this paper considers the recommendations of the National Curriculum Parameters (PCN), towards a gradual integration of twentiethcentury physics in high school, a topic that unfortunately is still very little explored in the country's classrooms. The use of Information and Communication Technologies (ICT) in education can provide more participatory education process, making it more open and interactive teacher-student relationship. To this end, this work presents the application of a didactic sequence, including its analysis and results in the classroom for teaching relativity to high school students of the College of private schools in the municipality of Apucarana- Pr. The proposal is based on theoretical Meaningful Learning of David Ausubel. The sequence in question is systematic use of computational resources, especially an original spreadsheet developed in Excel, in order to improve understanding of basic concepts of relativity, as well as the deduction of fundamental mathematical relationships that are logical consequence of the postulates Einstein. In addition to this feature, it was also used the History of Science to contextualize students about the historical moment in which the world was inserted at the time that the theory of relativity was developed. With this, students could still learn a little about life, work and contribution left by Albert Einstein. Interstellar a movie part that deals with time travel, and computer simulators also was used. All resources were applied seeking to approach the technology (well-known youth) in the classroom, in order to improve the teachinglearning process. Our results indicate that the use of ICT in this process provide an interactive lesson and dynamic for both the student and the teacher. Thus, we can say that the proposal applied has a great pedagogical potential as students, during the application, were more motivated to physics classes. We believe this is the first step in learning to occur significantly.

Orientador: Wladimir Seixas / Banca: Manoel Borges Ferreira Neto / Banca: Henrique Lazari / Resumo: Esta dissertação tem a proposta de organizar, discutir e apresentar de maneira precisa os conceitos matemáticos de variedade diferenciável e de tensores envolvidos no estudo da Cosmologia sob o ponto de vista da Teoria da Relatividade Geral para o modelo de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. Busca-se assim apresentar um texto didático que possa ser utilizado tanto nos cursos de graduação em Matemática como de Física para uma disciplina optativa de Introdução Matemática à Cosmologia / Abstract: The goal of this dissertation is to organize and discuss in a rigorous way the mathematical concepts of manifolds and tensors needed to the study of Cosmology and the Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker model under the point of view of the General Relativity. In this way, this dissertation was written as textbook that could be used in an undergraduate course of Physics and Mathematics / Mestre

Orientador: George Emanuel Avraam Matsas / Banca: Alberto Vasquez Saa / Banca: Daniel Augusto Turolla Vanzella / Banca: Nathan Jacob Berkovits / Banca: Carlos Monken / Resumo: Mesmo tratando a gravidade classicamente, a Teoria Quântica de Campos em Espaços Tempos Curvos (TQCEC) faz previsões impressionantes sobre o comportamento de campos quânticos na presença de campos gravitacionais. Entretanto, ao mesmo tempo em que nos revela efeitos surpreendentes, a TQCEC levanta uma série de questionamentos. O desenvolvimento de uma teoria na interface entre a teoria da relatividade, a mecânica quântica e a teoria da informação poderá não só lançar uma nova luz em tais questões como também nos permitir descobrir novos efeitos de gravitação quântica de baixas energias. Entretanto, os efeitos que a teoria da relatividade causa na teoria da informação quântica são não triviais já no espaço-tempo de Minkowski. Faz-se necessáaria portanto uma análise cuidadosa de tais efeitos já no contexto da relatividade especial. Sendo assim, estudamos primeiro o comportamento das desigualdades de Bell usando férmions de spin 1/2 e fótons quando os detetores que medem spin e polarização, respectivamente, movemse com certa velocidade. Além disso, usamos o limite de Holevo para estudar sistemas de comunicação quando as partes que trocam informação tem um movimento relativo. Como um desenvolvimento natural, estudamos diversos aspectos da teoria da informação quântica no contexto da teoria quântica de campos e, em particular, do efeito Unruh. Tais resultados nos permitiram prever o comportamento de qubits nas vizinhanças de um buraco negro de Schwarzschild / Abstract: Although it treats gravity classically, the Quantum Field Theory in Curved Spacetimes (QFTCS) makes remarkable predictions about de behavior of quantum fields in the presence of gravitational fields. However, these striking discoveries raises several issues. The development of a theory at the interface between the theory of relativity, quantum mechanics and information theory could not only shed new light on such questions as well as allow us to uncover new low-energy quantum gravity effects. However, relativity affects quantum information theory in a highly non-trivial way already in Minkowski spacetime. Therefore, a careful analysis of these effects in the context of special relativity is needed. For this purpose, we begin investigating how the movement of the spin and polarization detectors influences the Bell inequalities using spin 1/2 fermions and photons, respectively. Then, we use the Holevo bound to investigate quantum communication channels when the parts that trade information have a relative motion. As a natural development, we use quantum field theory and, in particular, the Unruh effect to analyze several aspects of quantum information theory. This enables us to predict the behavior of qubits in the vicinity of a Schwarzschild black hole / Doutor

As propriedades termodinâmicas relacionadas a um gás composto por partículas bosônicas em geometrias esfericamente simétricas são apresentadas ao longo deste trabalho. Utilizando o formalismo proposto por Ishibashi e Kodama, verificou-se que as equações de movimento associadas aos campos escalar e eletromagnético podem ser reduzidas a uma equação tipo Schrödinger. Ao considerarmos algumas soluções esfericamente simétricas observou-se que o espectro de energia associado às partículas é discretizado. Em particular, no estudo das lightspheres, superfícies onde os fótons estão confinados em órbitas fechadas, propomos um mecanismo de quantização para as partículas bosônicas. Estudamos algumas propriedades termodinâmicas e dentro deste tratamento, é apresentada uma expressão para a densidade de energia espectral da radiação emitida. Nossos resultados sugerem que as lightspheres quando termalizadas com o seu ambiente, possuem propriedades termodinâmicas não-usuais. Ao levarmos em consideração a presença da constante cosmológica negativa, constatou-se que além de um espectro de energia discretizado, a geometria adS possui um comportamento confinante, podendo ser interpretada como uma caixa de tamanho conhecido. Considerando um gás de partículas bosônicas confinadas na geometria anti-de Sitter, obtivemos as grandezas termodinâmicas associadas tais como energia interna, entropia e pressão. Para a energia interna observamos um comportamento diferente do usual para o limite de baixas temperaturas. / The thermodynamic properties related to a gas composed of bosonic particles in spherically symmetrical geometries are presented in this work. Using the formalism proposed by Ishibashi and Kodama, we have seen that the equations of motion associated to the scalar and electromagnetic fields can be reduced to a Schrödinger-like equation. For some spherically symmetrical solutions it has been demonstrated that the energy spectrum associated with the particles is discretized. In particular, when we considered lightspheres, surfaces where photons are confined in closed orbits, we propose a quantization procedure for the bosonics particles. In this treatment, it is presented an expression for the spectral energy density of the emmited radiation. Our results suggest that lightspheres thermalized with its environment, have unusual thermodynamical properties. When taken into account the presence of the negative cosmological constant, it has been shown that, besides a discretized energy spectrum, the geometry has a confining behavior and can be interpreted as a finite size box. Considering a gas of bosonic particles confined in the anti-Sitter geometry, we obtained the associated thermodynamics quantities such as internal energy, entropy and pressure. For the internal energy, in the low temperatures limit, we observe a different behavior from the usual one.

A hierarquia de equações de Boltzmann que descreve a temperatura e polarização da radiação cósmica de fundo ´e tratada no espaço das posições. Mostramos neste formalismo que temperatura e polarização podem ser descritas como medias dos termos de fonte ponderados por probabilidades associadas a um problema de voos aleatórios. Decorre da estrutura geral da hierarquia que se pode fazer uma expansão da temperatura e polarização em termos do numero de espalhamentos ocorridos durante a recombinação. Incorporamos o efeito de lentes gravitacionais sobre a radiação cósmica de fundo tirando proveito da estrutura das equações no espaço das posições. Mostraremos que o efeito ´e incorporado através de correções aos coeficientes da decomposição angular dos campos de temperatura e polarização. Para descrever o efeito de lentes gravitacionais fazemos uma revisão sobre resultados formais da teoria e apresentamos uma derivação de equações centrais em espaços-tempo arbitrários. / The Boltzmann hierarchy describing the temperature and polarization of the cosmic microwave background is presented in a position space formalism. We show that temperature and polarization can be described in terms of averages over source terms weighted by probabilities densities that appear in problems of random flights. The temperature and polarization signals can be expanded in terms of the number of scatterings photons suffered during the recombination. The gravitational lensing effects are incorporated over the free-propagation phase of the CMB photons. This effect can be included in the position space formalism as a correction to the expansion coefficients of the temperature and polarization fields. The bases of the theory of gravitational lensing are also presented and a rederivation of the central equations of the theory in arbitrary spacetimes is here developed.

Dadas as necessidades da inserção da Física Moderna e Contemporânea no Ensino Médio e a escassez de materiais didáticos que abordem a Relatividade Geral, propomos a construção e aplicação de uma Sequência Didática sobre o tema com o intuito de responder à questão: como os alunos se engajam em atividades propostas a partir de uma Sequência Didática sobre Relatividade no Ensino Médio? A partir das ideias do Engajamento Disciplinar Produtivo (EDP) e pela Teoria das Situações Didáticas, elaboramos uma ferramenta para analisar o engajamento dos alunos nas diferentes interações ocorridas na aula sobre Princípio da Relatividade de Galileu. A partir dos resultados podemos observar a importância das interações ocorridas em torno das situações de validação do conhecimento, nos momentos em que os alunos procuram justificar suas hipóteses e quando a professora realiza a sistematização com base no conhecimento científico, pois revelam progresso intelectual do aluno e, portanto, evidencias de Engajamento Disciplinar Produtivo. Deste modo fica claro a importância do papel das atividades e ações da professora para estimular o uso de mecanismos de prova por parte dos alunos. / Given the needs of the insertion of Modern and Contemporary Physics in High School and the shortage of didactic materials that address General Relativity, we propose the construction and application of a Didactic Sequence on the theme in order to answer the question: How students engage in activities proposed from a Didactic Sequence on Relativity in High School? Based on the ideas of Productive Disciplinary Engagement (DPE) and the Theory of Didactic Situations, we have developed a tool to analyze students\' engagement regarding different interactions that occurred in Galileo Principle of Relativity class. According to the results, we could observe the importance of interactions taken around the validation of knowledge, when the students seek to justify their hypotheses and when the teacher performs the systematization based on scientific knowledge, because they reveal student\'s intellectual progress and, therefore, evidences of Productive Disciplinary Engagement. This makes clear the importance of the role of the teacher\'s activities and actions to stimulate students\' use of proof mechanisms.